中考数学专题训练---相似的综合题分类附详细答案

1、中考数学专题训练一相似的综合题分类附详细答案一、相似1.如图1,在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,E、F分别是ABBD的中点，连接EF,点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s,同时，点Q从点D出发，沿DB方Q也停止运动.连接PQ,设运动时间向匀速运动，速度为2cm/s,当点P停止运动时，点为t(0vtv4)s,解答下列问题：(1)求证：BEFDCB;(2)当点Q在线段DF上运动时，若4PQF的面积为0.6cm2,求t的值；(3)如图2过点Q作QGXAB,垂足为G,当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由;更备用更(4)当t为何值时，4PQF为等腰三角形？试说明理

2、由.【答案】(1)解：证明：二.四边形圈窗是矩形，ZAD=耽=1AD"BC,4=90率，在R1的中，的川，*及分别是用的中点，IEF步AD*EF二二芦二/ffF-DF-5f二ZBEF=9Q-=上GEFdBQ二ZBFE=ZDBCt.：ABEFDCBi(2)解：如图1,过点©作强上材于企，21砌5»2t）-。后113-：SAm=-fFX=-(4-t)X-(5（舍）或，二秒540r帝解得:2,PF-QFt当点/在如上时，抨=Ml如图3,:4-1=21-不网片时，如图4,20月时,如图5,Ip(2t5)2综上所述，F-/或5或7或6秒时，A是等腰三角形.【解析】【分析】(

3、1)根据矩形的性质可证得AD/BC,/A=/C,根据中位线定理可证得EF/AD,就可得出EF/BC,可证得/BEF土C,/BFE土DBC,从而可证得结论。(2)过点Q作QMLEF,易证QM/BE,可证得QMFsBEF,得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据4PQF的面积为0.6cm2,建立关于t的方程，求解即可。(3)分情况讨论：当点Q在DF上时，如图2,PF=QF当点Q在BF上时，PF=QF,如图3;PQ=FQ时，如图4;PQ=PF时，如图5,分别列方程即可解决问题。r=-x#52.如图，在平面直角坐标系中，直线3分别交x轴，y轴于点A,C,点(m,4)在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且

4、OB=2OC.点E是y轴上任意一点，连结DE,将线段DE按顺时针旋转90符线段DG,作正方形DEFG记点E为(0,n).(1)求点D的坐标；(2)记正方形DEFG的面积为S,求S关于n的函数关系式；当DF/x轴时，求S的值；(3)是否存在n的值，使正方形的顶点F或G落在4ABC的边上？若存在，求出所有满足条彳的n的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)解：二点D(m,4)在直线AC上；3,4)4=1m+8,解得m=-3,点D的坐标为(-(2)解：如图1,过点D作DHy轴于H,贝UEH=|n-4|.S=dE?=EH2+DH2=(n-4)2+9；当DF/x轴时，点H即为正方形DEFG的中心，EH=

5、DH=3,n=4+3=7,S=(7-2+9=18(3)解：.OB=2OC=16,B为(16,0),，BC为:当点F落在BC边上时，如图2,作DMy轴于M,FNI±y轴于N.ZDME±ZENF=90上TO=/EFNDE=EF在ADEM与EFN中，.ADEMAEFN(AAS),.NF=EM=n-4,EN=DM=3F为(n-4,n-3)a31- n-3=-(n-4)+8,n=3；当点G落在BC边上时，如图3,作DMy轴于M,GN，DM轴于N,AB图31,由同理可得ADEMAGDN,，GN=DM=3,DN=EM=n-4,点G纵坐标为-x,1.x=14,1.DN=14+3=17=n-

6、4,.n=21;当点F落在AB边上时，如图4,作DMy轴于M,图4由同理可得DEM0EFO,OE=DM=3,即n=3;当点G落在AC边上时，如图5.CECb8-n3/CDE土AOC=90；/DCENOCA,/.DCEAOCA,/.AC况,/.川8,-'-n=f，,显然，点G不落在AB边上，点F不落在AC边上，故只存在以上四种情况.-箕十十"、铲的币占十少综上可得，当n=3或21或3或4时，正万形的顶点F或G洛在ABC的边上.【解析】【分析】(1)根据点D在直线AC上；于是将D(m,4)代入直线AC的解析式得出m=-3，从而得出D点的坐标；(2)如图1,过点D作DHLy轴于H,

7、根据和y轴垂直的直线上的点的坐标特点及y轴上两点间的距离，则DH=|n-4,根据正方形的面积等于边长的平方及勾股定理得出S=DE=EH2+DH2=(n-4)2+9;当DF/x轴时，点H即为正方形DEFG的中心，故EH=DH=3,n=7,将n=7代入函数解析式即可得出S的值；(3)首先找到C点的坐标，得出OC的长度，然后根据OB=2OC=16得出B点的坐标，禾U用待定系数法得出直线BC的解析式，当点F落在BC边上时，如图2,作DMy轴于M,FN±y轴于N.利用AAS判断出z.ADEMAEFN,根据全等三角形对应边相等得出NF=EM=n-4,EN=DM=3从而得出F点的坐标，根据F点的纵

8、坐标的两种不同表示方法得出关于n的方程，求解得出n的值；当点G落在BC边上时，如图3,作DM±y轴于M,GNXDM轴于N,由同理可得DEMAGDN,GN=DM=3,DN=EM=n-4,从而得出G点的纵坐标为1,根据点G的纵坐标列出方程，求解得出N的值；当点F落在AB边上时，如图4,作DMy轴于M,由同理可得DEMEFQOE=DM=3,即n=3;当点G落在AC边上时，如图5.首先判断出DCa4OCA,根据相似三角形对应边成比例得出CE：AC=CD：OC,从而得出关于n的方程，求解得出n的值，综上所述得出所有答案。3.如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(awQ与x轴交于另一点A(

9、二，0),在第象限内与直线y=x交于点B(2,t).(1)求这条抛物线的表达式;(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标；(3)如图2,若点M在这条抛物线上，且ZMBO=ZABO,在(2)的条件下，是否存在点P,使得POSMOB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：.B(2,t)在直线y=x上，2 .t=2,B(2,2),4ab-2出3金把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得二，解得必，抛物线解析式为y=2x2-3x(2)解：如图1,过C作CD/y轴，交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF±CD于点F,图1

10、 点C是抛物线上第四象限的点， 可设C(t,2t2-3t),则E(t,0),D(t,t),.OE=t,BF=2-t,CD=t-(2t23t)=-2t2+4t,/.SaobC=Sacdo+SacdB=WCD?OE+-CD?BF=(-2t2+4t)(t+2-t) .OBC的面积为2,-2t2+4t=2,解得ti=t2=1,.C(1,T)=-2t2+4t,(3)解：存在.设MB交y轴于点N,如图2,图23 .B(2,2),ZAOB=ZNOB=45,°在AOB和ANOB中上AOB-jNOBOB=OBNAB0=ZNBC4 .AOBANOB(ASA),J.ON=OA=.N(0,-),.3，可设直

11、线BN解析式为y=kx+_,把B点坐标代入可得2=2k+二，解得,；3直线BN的解析式为y=lx+3,联立直线BN和抛物线解析式可得尸=#-去，解得x=45产_qv=一>_成32445BBS M(-、，3二)，.C(1,-1),ZCOA=ZAOB=45,且B(2,2),.0B=2«-,0C='-,.POGAMOB,/ObOf=OC=2,ZPOCBOM,当点P在第一象限时，如图3,过M作MGLy轴于点G,过P作PH"轴于点H,图3ZCOA=ZBOG=45, ZMOG=ZPOH,且ZPHO=ZMGO,例匣例MOGAPOH,§F=Fh=Oh=2,且-

12、9;M（一、，3），445.MG="0G二3上,1314b2 .PH=KMG=16,OH=£oG="4,4A33 P（，“，",）；当点P在第三象限时，如图4,过M作MGLy轴于点G,过P作PHLy轴于点H,/aj45同理可求得PH=一MG=76,OH=-二OG=6"|J|45.P(力，冽)；4533国综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(汨，云)或(-五，汨)【解析】【分析】(1)根据已知抛物线在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t),可求出点B的坐标，再将点A、B的坐标分别代入y=ax2+bx,建立二元一次方程组，求出a、b的值，即可求得

13、答案。(2)过C作CD/y轴，交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF,CD于点F,可知点C、D、E、F的横坐标相等，因此设设C(t,2t23t),则E(t,0),D(t,t),F(t,2),再表不出OE、BF、CD的长，然后根据Sobc=Scdc+Sacdb=2,建立关于t的方程，求出t的值，即可得出点C的坐标。(3)根据已知条件易证AOBNOB,就可求出ON的长，得出点N的坐标，再根据点B、N的坐标求出直线BN的函数解析式，再将二次函数和直线BN联立方程组，求出点M的坐标，求出OB、OC的长，再根据POgMOB,得出处',/POC=/BOM,然后分情况讨论：当点P在第一象限时，如图3

14、,过M作MGy轴于点G,过P作PHI±x轴于点H,证MOGsPOH,得出对应边成比例，即可求出点P的坐标；当点P在第三象限时，如图4,过M作MGy轴于点G,过P作PHy轴于点H,同理可得出点P的坐标，即可得出答案。4.如图1,过等边三角形ABC边AB上一点D作:比"。交边AC于点E,分另取BC,DE的中点M,N,连接MN.33Cc图1图3SA/图2(1)发现:在图MM1中，BD(2)应用:如图2,将/ADE绕点A旋转，请求出MNBD的值;(3)拓展:如图3,ABC和|/ADE是等腰三角形，且|/BAC二-DAE,M,N分别是底边BC,MXDE的中点，若比工CE,请直接写出而

15、的值.AM、AN,【答案】(1):上BAD上MAN?：2ABC,AADE都是等边三角形，BYMC,帆%:媪1BC*土DE?AN-sinfit?AD-MAN?MNAM。j3BDAB-sin&O-r(3)解：如图3中，连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于O,A图3ACADAE醐CM踹NEAM1K城1DE:'nBACjDAE,:JIBC/疝目，：siiijABYsin/ADY?AMAN-9"ABAD.【解析】【解答】解：（1）如图1中，作DH工EC于H,连接am,ASi丁妞AC,网CM,-AM1BC：*£ADE时等边三角形，：-ADE="二*B|

16、?:DEZ吟:*AM1BC?-AM工DE,：W平分线段DE,:*DM-NE?：A、N、M共线，.：/NMH=上MNI)=NDMM=90四边形MNDH时矩形，:MNDH?mDH,4二一-sintft?-1BDBD2?也故答案为：J.【分析】（1）作DH，BC于H,连接AM.证四边形MNDH时矩形，所以MN=DH,则MN:BD=DH:BD=sin60；即可求解；(2)利用ABC,ADE都是等边三角形可得AM:AB=AN:AD,易得/BAD=/MAN,从而得BADsman,贝UNM:BD=AM:AB=sin60；从而求解；(3)连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于O.先证明BADsman可得

17、NM:BD=AM:AB=sin/ABC;再证明BAD叁CAE,贝U/ABD=/ACE,进而可得/ABC=45,可求出答案.5.如图，已知AB是。的直径，点C在。O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC/COB=2ZPCB.(1)求证：PC是。的切线;(2)求证：BC=：AB;(3)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N,若AB=4,求MNMC的值.【答案】(1)证明：OA=OC,，/A=/ACO,又./COB=2ZA,/COB=2ZPCR，/A=/ACO=/PCB,又AB是。的直径，ZACO+ZOCB=90,/PCB叱OCB=90,即OCXCP,OC是。的半径，PC是。O的切线(2)

18、证明：.AC=PC，/A=/P,，/A=/ACO=/PCB之P.又/COB=ZA+/ACO,/CBO=ZP+ZPCR./COB=ZCBO,.BC=OQ(3)解：连接MA,MB,点M是弧AB的中点，弧.附-找AM=MBM,zacm=zbcm, ZACM=ZABM,ZBCM=ZABM,RifM ZBMN=ZBMC,AMBNAMCB,.,.BM2=MN?MC,又AB是。O的直径，弧AM=MBM,/AMB=90；AM=BM, AB=4,幽N,MN?MC=BM2=8.【解析】【分析】(1)根据等边对等角得出/A=/ACO,运用外角的性质和已知条件得出/A=/ACO=/PCB再根据直径所对的圆周角是直角得

19、出/PCB+ZOCB=90；进而求解.(2)根据等边对等角得出ZA=ZP,再根据第一问中的结论求解即可，(3)连接MA,MB,根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出/ACM=ZABM,，/BCM=/ABM,证出MBNsmcb,得出比例式进而求解即可.6.如图1,在RtAABC中，/B=90；BC=2AB=8点D、E分别是边BCAC的中点，连接4c5D图1(1)问题发现D当a二附，(2)拓展探究;当a=180Bt,加=DE,将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为Ah试判断：当0°y360°时，面的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.(3)问题解决当4EDC旋转至A,D,E

20、三点共线时，直接写出线段BD的长.34Z-当0°抬360°时，血的大小没有变化,【答案】(1)(2)解：如图2,/ECD=ZACB,/ECA=ZDCB,£CAC二又DC8r.ECADCBAEEC4'=:BDDC2(3)解：如图3, .AC=4'匚，CD=4,CD±AD,.,AD=、 .AD=BC,AB=DC/B=90；四边形ABCD是矩形，BD=AC=入日.如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点 .AC=入后，CD=4,CD±AD, AD=.点D、E分别是边BC、AC的中点，1II-AB=

21、-X(8-r2)=-X4DE=-二-=2,.AE=AD-DE=8-2=6,由(2),可得髭w而一?,6.BD=综上所述，BD的长为A/J或§.【解析】【解答】（1）当”=0时，ABC中，ZB=90；,AC=U加靖二二刃？*卢川点D、E分别是边BC、AC的中点,BD=8+,2=4当a=180时，可得AB/DE,AEAC班位【分析】(1)当a=0时，RtABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得出AE,BD的长，从而得出答案；如图1,当a=180时，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=BC：BD,再根据比例的性质得出AE：BD=AC：BC从而得出答案。(2)当0°

22、;抬360°时，AE：BD的大小没有变化，由旋转的性质得出/ECD叱ACB,进而得出ZECA=ZDCB,又本据EC：DC=AC：BC=/，根据两边对应成比例，及夹角相等的二角形相似得出ECADCB,根据相似三角形对应边成比例得出AE：BD=EC：DC=-'；(3)如图3,在RtAADC中，根据勾股定理得出AD的长，根据两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等得出BD=AC=A何；如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P,在RtAADC中，利用勾股定理得出AD的长，根据中点的定义得出DE

23、的长，卞据AE=AD-DE算出AE的长，由(2),可得AE：BD=?,从而得出BD的长度。7.如图，在ABC中，ZC=90°,/ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,。是4BEF的外接圆.(2)过点E作EH，AB,垂足为H,求证：CD=HF;(3)已知：CD=1,EH=3,求AF的长.【答案】(1)证明：如图，连接OE.BE平分/ABC,/CBE=ZOBE,1 .OB=OE,/OBE=/OEB,/OEB=/CBE,2 .OE/BC,/AEO=ZC=90； .AC是。O的切线；(2)解：如图，连结DE. /CBE玄OBE,EC±BC于C,EHLAB于H,

24、.EC=EH /CDE+/BDE=180HFE+ZBDE=180,° /CDE土HFE在CDE与HFE中，/COE=ZHFEiZC-上E塞-1EC=诩.,.CDEAHFE(AAS),.CD=HF.(3)解：由(2)得，CD=HF.又CD=1.HF=1在RtHFE中，Ef4/FEF±BE/BEF=90°/EHF=ZBEF=90° /EFH=ZBFE .EHFABEFEF苏亚J.尼一乐，即传入五.BF=10/四二M二百于，0H514,c。，/以附-二 在RtOHE中，5,0E4cosZfQI- 在RtEOA中，OAJ,54.向一工纪0A-一425<5A

25、F=-5=-441.【解析】【分析】(1)连接OE.利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证得OE/BC,从而得/AEO=/0=90°,可得到证明；(2)连结DE.利用AAS可证CDEHFE,从而得到证明；(3)证EHD4BEF,由相似三角形的性质可求得BF,从而彳#到OE,在RtAOHE和EOA中，由cos/EOA可求出OA,从而求出AF.8.已知在ABC中,/ABC=90°,AB=3,BC=4点Q是线段AC上的一个动点，过点AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P(1)当点P在线段AB上时，求证：APQsABC;(2)当4PQB为等腰三角形时，求

26、AP的长.【答案】（1）证明：./A+/APQ=90,/A+/C=90,./APQ=/C.在APQ与ABC中，./APQ=/C,/A=ZA,.APQsMBC.(2)解：在RtABC中，AB=3,BC=4,由勾股定理得：AC=5./BPQ为钝角，当APQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ.(I)当点P在线段AB上时，如题图1所示,由（1）可知，APQABC,4PB-3|PApd3-PBFB二.ACBC,即51,解得:45AP-AB-PB-3-33.(II)当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示，BP=BQ,/BQP=ZP./BQP+ZAQB=90；/A+ZP=90；：./AQB=ZA。.B

27、Q=AR.AB=BP,点B为线段AB中点。.AP=2AB=2X3=6.综上所述，当4PQB为等腰三角形时，AP的长为,：或6.APQAABCo【解析】【分析】(1)由两对角相等(/APQ=/C,/A=/A),证明(2)当4PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论.(I)当点P在线段AB上时，如题图1所示.由三角形相似(APQsABQ关系计算AP的长；(II)当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示.利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP.9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=(x-a)(x-3)的图像与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点D,过其

28、顶点C作直线CP±x轴，垂足为点P,连接(1)求点A、B、D的坐标;(2)若4AOD与4BPC相似，求a的值;(3)点DkO、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.【答案】(1)解：.y=(x-a)(x-3)(0<a<3)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)A(a,0),B(3,0),当x=0时，y=3a,.D(0,3a)(2)解：/A(a,0),B(3,0),D(0,3a).，对称轴x=,AO=a,OD=3a,当x=a斗2时，y=-3PB=3-PC=)当AOgBPC时,AO解得：a=士3(舍去)AAODACPB,-CP3it3-A解得：ai=3

29、(舍)，a2=综上所述：a的值为(3)解：能；连接BD,取BD中点M,D、B、。三点共圆，且BD为直径，圆心为M若点C也在此圆上，.MC=MB,化简彳导:a4-l4a2+45=0,(a-5)(a2-9)=0,a2=5或a2=9,ai=VI,a2=-W,a3=3(舍)，a4=-3(舍)，,0<a<3,.a=-.!:当a=4时，D、O、C、B四点共圆.x轴相交，则y=0,得出A(a,0),B【解析】【分析】(1)根据二次函数的图像与(3,0),与y轴相交,则x=0，得出D(0,3a).(2)根据(1)中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴,AO=a,OD=3a,代入求得顶点C(x=3),

30、从而得3再分情况解得：a=讨论：当AODBPC时，根据相似三角形性质得I3(舍去)；AODCPB,根据相似三角形性质得,解得：ai=3(舍)，a2=(3)能；连接BD,取BD中点M,根据已知得D、B、O在以BD为直径，M为圆心(上，"a)的圆上，若点C也在此圆上，则MC=MB,根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案求证10.如图，在菱形ABCD中，4：=诩，-也，点E是边BC的中点，连接DE,AE.求DF的长.【答案】（1）解：连结BDDE的长；F为边CD上的一点，连接AF,交DE于点G,连接EF,若上加G-二月晶,AGEsMF；(1)求点：四边形邮是声总.：CB=

31、CD=AB=乩ICDB是等边三地港:点£是胸的中点DE1BC了ZDAG-/限.EGFQZrZAGE=/DCF.tAAGEMF :ZEAG=ZGDF=90-ZC=30V上超遥-ZEGFrZAGE-上腿 ：ZGFE二ZADG二90又：*DE=%用 ：EF-E='*+D国二小J-a'过点E作EH±DC/点K在和AECH中，bH4£声-琲=2工CF=FH+b=2一=3DF=CD-CF=1【解析】【分析】(1)连结BD,根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE，BC,CE=2然后利用勾股定理算出DE的长；

32、AGDG(2)首先判断出AGgEGF,根据相似三角形对应边成比例得出比越，又ZAGE=ZDGF,故AG&DGF;根据相似三角形的性质及含30。直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EHI±DC于点H,在RtECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案.11.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点P是边AB上的一动点，连结DPAD(1)若将4DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上点A'处，试求AP的长；(2)点P运动到某一时刻，过点P作直线PE交BC于点E,将DAP与PBE分另I沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点

33、A',B'处，若P,A',B'三点恰好在同一直线上，且A'R'2,试求此时AP的长；(3)当点P运动到边AB的中点处时，过点P作直线PG交BC于点G,将4DAP与4PBG分别沿DP与PG折叠，点A与点B重合于点F处，连结CF,请求出CF的长.【答案】(1)解：当点A落在对角线BD上时，设AP=PA=x,图1在RtADB中，-.AB=4,AD=3,BD=*/=5,/AB=DA=3,BA=2,在RtBPA中，(4-x)2=x2+22,解得x=.AP=；由翻折性质可知：PDXAC,则有DA2AABC,AD.后=L3臼.AP的长为E或?(2)解：如图3中，设AP=x,则PB=4-x,3根据折叠的性质可知：PA=PA'=x,PB=PB=4-x,-'A=B2,4xx=2,x=1,PA=1;如图4中，A£副设AP=x,贝UPB=4-x,根据折叠的性质可知：PA=PA'=x,PB=PB=4-x,.A'君2,.x-(4x)=2,.x=3,PA=3;综上所述