中考数学初中数学旋转大题培优及详细答案

1、中考数学初中数学旋转(大题培优)及详细答案一、旋转1.已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BCDC的延长线交于点E、F,连接EF,设CE=a,C已b.(1)如图1,当a=4&时，求b的值；(2)当a=4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；(3)如图3,请直接写出/EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式.【答案】(1)4v2；(2)b=8;(3)ab=32.【解析】试题分析：(1)由正方形ABCD的边长为4,可得AC=4垃,/ACB=45°.再CE=a=4j2,可得/CAE=/AEC,从而可得/CAF的度数，既而可

2、得b=AC;(2)通过证明ACD4ECA即可得；(3)通过证明ACD4ECA即可得.试题解析：(1)正方形ABCD的边长为4,.-.AC=4五,/ACB=45°.CE=a=4&,ZCAE=ZAEC=竺-=22.5/CAF=/EAF/CAE=22.5°,/AFC=/ACD-/CAF=22.5,/CAF=/AFQb=AC=CF=472；(2) ZFAE=45°,ZACB=45°,./FAU/CAE=45°,/CAE+/AEC=45°,./FACACCF.也_0ECCA'4472'=/AEC又./ACF=/ECA=1

3、35°,AACFAEC/8,即b=8.(3) ab=32.AC提不：由(2)知可证ACQECA,ECCF4.2,CAab4.2.ab=32.2.(探索发现)ACD绕点A逆时针旋转如图，ABC是等边三角形，点D为BC边上一个动点，将60得到AEF,连接CE.小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形.小明是这样想的：等边三角影X3CI>心-3C-AC将绕点T逆时针应转的得«=>到Xd£rI>一纽-BCCE-JiI>爱珊X5C5(1)请参考小明的思路写出证明过程；(2)直接写出线段CD,CF,AC之间的数量关系：；(理解运用)如图，在ABC中

4、，ADBC于点DMABD绕点A逆时针旋转90得到AEF,延长FE与BC,交于点G.(3)判断四边形ADGF的形状，并说明理由；(拓展迁移)(4)在(3)的前提下，如图，将AFE沿AE折叠得到AME,连接MB,若AD6,BD2,求MB的长.DC营口c08dcG图1BB2图3【答案】(1)详见解析；(2)CDCFAC;(3)四边形ADGF是正方形；(4)213【解析】【分析】(1)根据旋转得：4ACE是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE则四边形ABCE是菱形；(2)先证明C、F、E在同一直线上，再证明BADCAF(SAS,则/ADB=/AFC,BD=CF可得AC=CF+CD(3)先根据/AD

5、C=/DAF=ZF=90。，证明得四边形ADGF是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF是正方形；(4)证明BAMEAD(SAS,卞据BM=DE及勾股定理可得结论.【详解】(1)证明：ABC是等边三角形，ABBCAC.ACD绕点A逆时针旋转60得到AEF,CAE60,ACAE.ACE是等边三角形.ACAECE.ABBCCEAE.，四边形ABCE是菱形.(2)线段DC,CF,AC之间的数量关系：CDCFAC.(3)四边形ADGF是正方形.理由如下：3 RtABD绕点A逆时针旋转90得到AEF,4 AFAD,DAF90.ADBC,ADCDAFF90.四边形ADGF是矩形.5 AFAD,四边形ADGF是

6、正方形.(4)如图，连接DE.6 .四边形ADGF是正方形，7 DGFGADAF6.ABD绕点A逆时针旋转90得到AEF,4.BADEAF,BDEF2,EGFGEF62;将AFE沿AE折叠得到AME,MAEFAE,AFAM.BADEAM.8 BADDAMEAMDAM,即BAMDAE.9 AFAD,AMAD.AMAD在BAM和EAD中，BAMDAE,ABAE10 BAMEADSAS.BMDE.EG2DG2-42622.13.【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全

7、等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解.3.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF，BD交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接EGCG(1)求证：EG=CG;(2)将图中4BEF绕B点逆时针旋转45°,如图所示，取DF中点G连接EGCG问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)将图中4BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能彳#出什么结论(均不要求证明).【答案】解：(1)CG=EG(2) (1)中结论没有发生变化，即EG=CG证明：连接AG,过G点作MNXAD于M,与EF

8、的延长线交于N点.在4DAG与4DCG中， AD=CD,/ADG=/CDG,DG=DG,DAGDCGAG=CG在4DMG与4FNG中， /DGM=/FGN,FG=DG/MDG=/NFG,ADMGAFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在RtAAMG与RtENG中， AM=EN,MG=NG,AAMGAENG.AG=EGEG=CG(3) (1)中的结论仍然成立.【解析】试题分析：(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG(2)结论仍然成立，连接AG,过G点作MNLAD于M,与EF的延长线交于N点；再证明DAGWDCG,得出AG=CG再证出DMGFNG,得到MG=NG

9、；再证明AMGAENG,得出AG=EG最后证出CG=EG(3)结论依然成立.还知道EG±CG;试题解析：解：(1)证明：在RtAFCD中，.G为DF的中点，.CG-FD2，同理，在RtDEF中，EG二ED,-CG=EG(2)(1)中结论仍然成立，即EG=CG连接AG,过G点作MNLAD于M,与EF的延长线交于N点，如图所示：在4DAG与4DCG中，.AD=CD,/ADG=/CDG,DC=DG.DAGADCG,.AG=CG在4DMG与4FNG中，/DGM=ZFGN,DG=FG/MDG=ZNFG, .DMG0"NG,，MG=NG,在矩形AENM中，AM=EN.,在RtAAMG与

10、RtENG中， .AM=EN,MG=NG, .AMGAENG,.AG=EG,EG=CG(3)(1)中的结论仍然成立，即EG=CG且EG±CG过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N,如图所示：由于G为FD中点，易证CDGWMFG,得到CD=FM,又因为BE=EF易证/EFM=/EBC,贝UEFMEBC/FEM=/BECEM=EC /FEEBEC=90,° /FEEFEM=90；即/MEC=90； .AMEC是等腰直角三角形， .G为CM中点，EG=CGEG±CG。【点睛】本题解题关键是作出辅助线，且利用了直角三角形斜边上的中线

11、等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质，难度较大。4.在RABC中，AB=BC=5,ZB=90°,将一块等腰直角三角板白直角顶点放在斜边AC的中点。处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB,BC或其延长线于E,F两点，如图与是旋转三角板所得图形的两种情况.(1)三角板绕点O旋转，OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况(即给出OFC是等腰直角三角形时BF的长)；若不能，请说明理由；(2)三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图或加以证明；(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图)，当AP:AC=1:4时，PE和PF有怎样的数量关系？

12、证明你发现的结论.o图【答案】(1)OFC是能成为等腰直角三角形，(【解析】【小题1】由题意可知，当F为BC的中点时，由AB=BC=5,可以推出度，即可推出BF的长度，当B与F重合时，根据直角三角形的相关性质,的长度，即可推出BF的长度；【小题2】连接OB,由已知条件推出OEg4OFC,即可推出OE=OFCF和OF的长即可推出OF5.如图1,在锐角4ABC中，/ABC=45°,高线AD、BE相交于点F.(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由；(2)如图2,将4ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M,AM与BE相交于点N,当DE/AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由.B_D

13、C3MDC图1m2【小题3】过点P做PMAB,PNI±BC,结合图形推出PNFPME,AAPMAPNC,继而推出PM:PN=PEPF,PM:PN=AP:PC,根据已知条彳即可推出PA:AC=PEPF=1:4.【答案】(1)BF=AC理由见解析；(2)NEAC,理由见解析.2【解析】试题分析：(1)如图1,证明AADCABDF(AAS),可得BF=A(C(2)如图2,由折叠得：MD=DC,先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC由线段垂直平分线的性质得：AB=BC贝U/ABE=/CBE结合(1)得：BDF0ADM,贝U1/DBF=ZMAD,最后证明/ANE=ZNAE=45,°

14、彳导AE=EN,所以EN=-AC.2试题解析：(1) BF=AC理由是：如图1,AD±BC,BEXAC, ./ADB=/AEF=90,° /ABC=45;.ABD是等腰直角三角形，口.AD=BD, /AFE=ZBFD,/DAC=ZEBG在ADC和4BDF中，DACDBFADCBDF,ADBD .ADCABDF(AAS),BF=AC1 (2) NE=,AC,理由是：如图2,由折叠得：MD=DC,1.DE/AM,.AE=EC.BEXAC,.AB=BC,/ABE=ZCBE,J由(1)得：AADCABDF, .ADCAADM,.,.BDFAADM,/DBF=ZMAD, /DBA=Z

15、BAD=45； /DBA-/DBF=ZBAD-/MAD,即/ABE=ZBAN, /ANE=ZABE+ZBAN=2/ABE,/NAE=2/NAD=2/CBE/ANE=ZNAE=45；.AE=EN,.EN=1AC.26.如图1,4ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm,点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将4ACD绕点C逆时针方向旋转60。得到BCE连结DE.(1)求证：4CDE是等边三角形；(2)如图2,当6vtv10时，4BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出4BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)如图3,当点D在射线

16、OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到/DCE=60。，DC=EC,即可得到结论；（2）当6vt<10时，由旋转的性质得到BE=AD,于是得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD）±AB时，4BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，当点D于点B重合时，D,B,E不能构成三角形，当04V6时，由旋转的性质得到/ABE=60。，/BDE<60。，求得

17、/BED=90。，根据等边三角形的性质得到ZDEB=60；求得/CEB=30；求得OD=OA-DA=6-4=2,于是得到t=2+1s2当6<t<10sADB图2时，此时不存在；当t>10s时，由旋转的性质得到/DBE=60°,求得/BDE>60°,于得到t=14+1=14>.试题解析：（1）证明：二.将4ACD绕点C逆时针方向旋转60。得到abce/DCE=60；DC=EC,.cde是等边三角形；（2）存在，当6<t<10时,由旋转的性质得，BE=AD,Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，cde是等边三角

18、形,DE=CD,Cadbe=CD+4,由垂线段最短可知，当CD）±AB时，4BDE的周长最小,此时，CD=2、,3cm,.BDE的最/J、周长=CD+4=2T3+4；（3）存在，二当点D与点B重合时，D,B,E不能构成三角形,当点D与点B重合时，不符合题意；当04<6时，由旋转可知，ZABE=60°,/BDEv60°,/BED=90；由（1）可知，4CDE是等边三角形，/DEB=60；/CEB=30；/ceb=zcda,/CDA=30；/CAB=60；/ACD=/ADO30:DA=CA=4,.OD=OA-DA=6-4=2,.t=2+1=2当6vtv10s时，

19、由ZDBE=120°>90°,，此时不存在；当t>10s时，由旋转的性质可知，ZDBE=60°,又由（1）知/CDE=60°, /BD曰/CD曰/BDC=60+ZBDC,而/BDC>0°, /BDE>60； 只能/BDE=90；从而/BCD=30°,.BD=BC=4,1.OD=14cm,-t=14+1=sl4综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情

20、况考虑全面，控制变量，从某一个方面出发去分类.7.已知4ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6,点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将4ACD绕点C逆时针方向旋转60°得至iJBCE,连接DE.（1）如图1,猜想：4CDE的形状是三角形.（2）请证明（1）中的猜想（3）设OD=m,当6vmv10时，4BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出4BDE周长的最小值;若不存在，请说明理由.m的值；若不存在,是否存在m的值，使4DEB是直角三角形，若存在，请直接写出请说明理由.【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）273+4;当m=2或14时，以D、E、B

21、为顶点的三角形是直角三角形.【解析】【分析】(1)由旋转的性质猜想结论；(2)由旋转的性质得到/DC&60°,DC=EC,即可得到结论；(3)当6vmv10时，由旋转的性质得到BE=AD,于是得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当GDIAB时，4BDE的周长最小，于是得到结论；存在，分四种情况讨论：a)当点D与点B重合时，D,B,E不能构成三角形；b)当0用<6时，由旋转的性质得到ZABE=60°,/BDEv60°,求得/BED=90°,根据等边三角形的性质得到/DEB

22、=60°,求得/CEB=30°,求得OD=OA-DA=6-4=2=m;c)当6<m<10时，此时不存在；d)当m>10时，由旋转的性质得到ZDBE=60°,求得/BDE>60°,于是得到m=14.【详解】(1)等边；(2)二将4ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到4BCE1/DGE=60°,DG=EG,.CDE是等边三角形.(3)存在，当6vt<10时，由旋转的性质得：BE=AD, Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由(1)知，4CDE是等边三角形，.DE=CD, Cadbe=CD+4,

23、由垂线段最短可知，当GDIAB时，4BDE的周长最小，此时，CD=2J3, .8口£的最/、周长=CD+4=273+4;存在，分四种情况讨论：a)二当点D与点B重合时，D,B,E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意；b）当0用<6时，由旋转可知，ZABE=60°,/BDEv60°,z.ZBED=90°,由（1）可知,CDE是等边三角形，./DEB=60°,/GEB=30°./GEB=ZCDA,/GDA=30:.OD=OADA=6-4=2,.m=2;c）当6vmv10时，由ZDBE=120°>90

24、6;,，此时不存在；d）当m>10时，由旋转的性质可知，ZDBE=60°,又由（1）知/CDE=60°,ZBDE=ZCDEfZBDC=60+ZBDC,而/BDC>0°,./BDE>60°,.只能/BDE=90；从而/BCD=30°,BD=BC=4,.-.OD=14,，m=14.综上所述：当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.8.如图,在OABCD中，AB=10cm,BC=4cm,ZBCD

25、=120°,CE平分/BCD交AB于点E.点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接CP,将PCE绕点C逆时针旋转60°,使CE与CB重合，得到aQUB,连接PQ.(1)求证：4PCQ是等边三角形；(2)如图，当点P在线段EB上运动时，4PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求出4PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形？【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析；(3)t为2s或者14s.【解析】分析：(1)根据旋转的性质，证明PC®4QCB,然后根据全等三角形的性质

26、和等边三角形的判定证明即可；(2)利用平行四边形的性质证得4BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到PBQ的周长为4+CP,然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可；(3)根据点的移动的距离，分类讨论求解即可.详解：(1):旋转.,.PCEAQCB .CP=CQZPCE=/QCB, /BCD=120,°CE平分/BCD,/PCQ=60； /PCE吆QCE=/QCB+/QCE=60,° .PCQ为等边三角形.(2)存在 .CE平分/BCD,/BCE=60,.在平行四边形ABCD中， .AB/CD/ABC=180-120=60°BCE为等边三角形BE=CB=

27、4;旋转.-.PCEAQCB .EP=BQ CapbcfPB+BQ+PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=4+CP.CP±AB时，APBQ周长最小当CP,AB时，CP=BCsin60=2/3 .PBQ周长最小为4+2J3(3)当点B与点P重合时，P,B,Q不能构成三角形当0wy6时，由旋转可知，/CPE=ZCQB,/CPQ=ZCPB+/BPQ=60°则：/BPQ+/CQB=60°,又/QPB+ZPQC+ZCQB+ZPBQ=180/CBQ=1806060=60°/QBP=60；BBPQ<60°,所以/PQB可能为直角由(1)知，aPCQ为等边

28、三角形，/PBQ=60；CCQB=30°/CQB=/CPB/CPB=30°/CEB=60；/ACP=/APC=30°PA=CA=4,所以AP=AE-EP=6-4=2所以t=212s当6vtv10时，由/PBQ=120°>90°,所以不存在当t>10时，由旋转得：/PBQ=60°,由（1）得/CPQ=60°/BPQ=ZCPQ+/BPC=60+°/BPC,而/BPC>0°,/BPQ>60°/BPQ=90；从而/BCP=30BP=BC=4所以AP=14cm所以t=14s综上所述

29、：t为2s或者14s时，符合题意。点睛：此题主要考查了旋转图形变化的应用，结合平行四边形、等边三角形、全等三角形的判定与性质，进行解答即可，注意分类讨论思想的应用，比较困难9.如图1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与CD不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG连接BG,DE.（1）猜想图1中线段BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度得到如图2情形.请（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4）,且AB=a,BC=b,CE=kaCG=kb（ahk>0）,第（1）题中得到的结论哪些成立

30、，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由.（3）在第（2）题图4中，连接DGBE,且a=3,b=2,k=-,求BE2+DG2的值.2【答案】（1）BG，DE,BG=DE;BG，DE,证明见解析；（2）BG±DE,证明见解析；（3）16.25.【解析】DCE,分析：(1)根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90。即可得到三角形从而判断两条直线之间的关系；结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定BC84DCE,从而证明结论；(2)根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到(1)中的位置关系仍然成立；(3)连接BE、DG.根据勾股定理即可把BH+

31、DG2转换为两个矩形的长、宽平方和.详解：(1)BG±DE,BG=DE二.四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，.BC=DGCG=CE/BCD=/ECG=90,°/BCG=ZDCE.-.BCGADCEBG=DE,/CBGNCDE又/CBG+/BHC=90,/CDE+/DHG=90；.BG±DE.(2) AB=a,BC=b,CE=kaCG=kb,BCCGb一DCCEa又/BCG=ZDCE,.,.BCGADCE/CBG=ZCDE又/CBG+/BHC=90,/CDE+/DHG=90；BGXDE.(3)连接BE、DG.根据题意，得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=

32、1,BG±DE,/BCD=ZECG=90°BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CC2+cE?+CG2=9+4+2.25+1=16.25.点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理.10.如图1,ABC中，CA=CB,ZACB=90°,直线l经过点C,AF±l于点F,BEXl于点E.(1)求证：AACFACBE(2)将直线旋转到如图2所示位置，点D是AB的中点，连接DE.若AB=4/2,CCBE=30；求DE的长.j图1配7月【答案】(1)答案见解析；(2)J2褥【解析】试题分析：(1)根据垂直的定义

33、得到/BEG=/ACB=90。，根据全等三角形的性质得到/EBO/CAF,即可得到结论；(2)连接CD,DF,证得BCEACF,根据全等三角形的性质得到BE=CF,CE=AF,证得DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF=&DE,EF=C&BE,进而得到DE的长.试题解析：解：(1).BEXCE,ZBEC=ZACB=90°, /EBG/BCE=/BCEnZACF=90；./EBO/CAF.-.AFXl于点F,./AFC=90：AFCBEC90在ABCE与AACF中，EBCACF,.AACFACBE(AAS);BCAC(2)如图2,连接CD,DF.BEX

34、CE,./BEC=/ACB=90°, /EBG/BCE=/BC&/ACF=90；./EBO/CAF.-.AFXl于点F,./AFC=90：AFCBEC90在ABCE与ACAF中，EBCACF,ABCEACAF(AAS);BCACBE=CF.,点D是AB的中点,CD=BD,/CDB=90；./CBD=/ACD=45；而BECF/EBO/CAF,./EBD=/DCF.在BDE与CDF中，EBDFCD,BDCF.,.BDEACDF(SAS,，/EDB=/FDC,DE=DF./ZBDE+ZCDE=90；/FDG/CDE=90:即/EDF=90；.EDF是等腰直角三角形，.EF=J5D

35、E,EF=CE+CF=CE+BE./CA=CB,ZACB=90；AB=472，BC=4.又一/CBE=30°,CE=1bC=2,BE=V3cE=2B.EF=C'BE=2+273,:.DE=F=23=/2+46.点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证得ABC®4ACF是解题的关键.11.在ABC中，AB=AC,/A=300,将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD,再将线段BD平移到EF,使点E在AB上，点F在AC上.(1)如图1,直接写出/ABD和/CFE的度数；(2)在图1中证明：AE=CF(3)如

36、图2,连接CE,判断4CEF的形状并加以证明._1【答案】(1)15。，45。；(2)证明见解析；(3)4CEF是等腰直角三角形，证明见解析.【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形的性质得到/ABC的度数，由旋转的性质得到/DBC的度数，从而得到/ABD的度数；根据三角形外角性质即可求得/CFE的度数.(2)连接CDDF,证明4BCD是等边三角形，得到CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形，从而AB/FD,证明4AE图4FCD即可得AE=CF(3)过点E作EG,CF于G,根据含30度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即可证明4CEF是等腰直角三角形.(1) .在4ABC中

37、，AB=AC,ZA=300,，/ABC=7夕将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD,即/DBC=60</ABD=15./CFE=/A+ZABD=45,°(2)如图，连接CD、DF.;线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD,BD=BC：/CBD=6。.BCD是等边三角形.CD=BD.线段BD平移到EF,.EF/BD,EF=BD四边形BDFE是平行四边形，EF=CD1 .AB=AC,/A=300,ZABC=ZACB=7£./ABD=/ACD=15.2 .四边形BDFE是平行四边形，.AB/FD,，/A=/CFD.3 .AEFAFCD(AAS).AE=CF(3)4C

38、EF是等腰直角三角形，证明如下：如图，过点E作EG，CF于G, /CFE=45,FEG=45.°.EG=FG ./A=300,/AGE=90,EG=；讦EG=-CF .AE=CF金.八.，G为CF的中点.EG为CF的垂直平分线.EF=EC/CEF=/FEG=90.°.CEF是等腰直角三角形.考点：1.旋转和平移问题；2.等腰三角形的性质；3.三角形外角性质；4.等边三角形的判定和性质；5.平行四边形的判定和性质；6.全等三角形的判定和性质；7.含30度直角三角形的性质；8.垂直平分线的判定和性质；9.等腰直角三角形的判定.12.（特例发现）如图1,在4ABC中，AG

39、7;BC于点G,以A为直角顶点，分别以AB,AC为直角边，向4ABC外作等腰RtAABE和等腰RtACF,过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.求证：EP=FQ（延伸拓展）如图2,在4ABC中，AG±BC于点G,以A为直角顶点，分别以AB,AC为直角边，向4ABC外作RtAABE和RACF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论.（深入探究）如图3,在4ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向ABC外作任意4ABE和ACF,射线GA交EF于点H,若/EAB=/AGB,/FAC=ZAGC,AB=kAE,AC=k

40、AF,上一问的结论还成立吗？并证明你的结论.（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角/IHJ分别与4AEF的两边AE、AF分别交于点M、N,若4ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中/BAC=120,且/IHJ=/AGB=0=60k=2;求证：当/IHJ在旋转过程中，EMH、4HMN和4FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）.【答案】证明参见解析；（2）HE=HF;（3）成立，证明参见解析；（4）证明参见解析，MN最小值为1.【解析】试题分析：特例发现：易证AEPBAG,AFQ0CAG,即可求得EP=AGFQ=AG,即可解题；（2）延伸拓展：过点E、F作射线

41、GA的垂线，垂足分别为P、Q.易证1II ABGsEAP,AC84FAQ,得到PE=AG,FQ&AG,.PE=FQ然后证明1 EPHAFQHI,即可得出HE=HF;（3）深入探究：判断PEAGAB,得到PE=AG,1 AQFACGA,FQ=,得到FQAG,再判断EPHFQH,即可得出HE=HF;（4）应用推广：由前一个结论得到4AEF为正三角形，再依次判断MHNsHFNMAMEH,即可得出结论.试题解析：（1）特例发现，如图：/PEA+/PAE=90/GAB+/PAE=90,o./PEA=ZGAB,G图1/EPA之AGB,AE=AB,.PE心AGAB,.PE=AG同理，4QF心GAC,

42、(2)延伸拓展，如图:FQ=AG,.1.PE=FQ/PEA+ZPAE=90,°/GAB+ZPAE=90,°/PEA=ZGAB,/EPA=ZAGB,IPFAE1MBH,-.AB=kA.A(：MR.PE=AG,同理，IF?AFIIQFAAGAC,",AC=kAF,.FQ=AG,.PE=FQ/EP/FQ,，/EPH=/FQH,ZPHE=ZQHF,.EP噌FQH,.HE=Hp(3)深入探究，如图2,在直线AG上取一点P,使得/EP/AGB,彳FQ/PE,/EAP+ZBAG=180/AGB,ZABG+ZBAG=180-/AGB,/EAP=ZABG,/EPAAGB,AAPEA

43、BGA,PEAEII：AGAB=kAE,PE=AG,由于/FQA=/FAC玄AGC=180-ZAGB,同理可得,FQAF11_._AGAC_fr_AQFsCGA,AC=kAFFQ=AG,.EP=FQ/EP/FQ,，/EPH=/FQH,ZPHE=ZQHF,.EPHFQH,.HE=Hp(4)应用推广，如图3,在前面条件及结论，得到，点H是EF中点，AE=AF,/ZEAB=ZAGB,/FAC=ZAGO.-./EAB+ZFAC=180，°/EAF=360-°(/EAB+ZFAQ-/BAC=60，AEF为正三角形.又H为EF中点，ZEHM+ZIHJ=120°,ZIHJ+ZF

44、HN=120,HMEHZEHM=ZFHNI./ZAEF=ZAFE,.HEMsHFN,FN,.EH=FHHMFil.HNFN且/MHN=/HFN=60.MHNshfN,.MHNsHFNsMEH,在HMN中，/MHN=60°,根据三角形中大边对大角，要MN最小，只有HMN是等边三角形，ZAMN=60,./AEF=60,MN.MN/EF,.AEF为等边三角形，.MN为11AEF的中位线，MNmin='EF=X2=1考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质.13.(1)问题发现如图1QACB和ADCE均为等腰直角三角形，/ACB=90,B,C,D在一条直线上.填空:线

45、段AD,BE之间的关系为.(2)拓展探究如图2QACB和ADCE均为等腰直角三角形，/ACB=/DCE=90，请判断AD,BE的关系，并说明理由.解决问题如图3,线段PA=3点B是线段PA外一点，PB=5连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90。得到线【答案】(1)AD=BE,AD±BE.(2)AD=BE,ADXBE.(3)5-372<PO<5隹.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质证AC*4BCE(SAS,得AD=BE,/EBC=ZOAD,延长BE交AD于点F,由垂直定义得AD±BE.(2)根据等腰三角形性质证AC*4BCE(SAS,AD=BE,/CAD=/C

46、BE由垂直定义得/OHB=90,AD±BE;(3)作AE±AP,使得AE=PA则易证AP图AACP,PC=BE当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE故5-3&WBEW5段.【详解】(1)结论：AD=BEAD±BE. ACB与DCE均为等腰直角三角形，.AC=BC,CE=CD/ACB=ZACD=90；在RtACD和RtBCE中AC=BCACD=BCECD=CE .ACDABCE(SAS,.AD=BE,/EBC4CAD延长BE交AD于点F,BC±AD, /EBC+ZCEB=90,°

47、/CEB=AEF /EAD+/AEF=90,° ./AFE=90,°即AD±BE.AD=BE,AD±BE.故答案为AD=BE,ADXBE.(2)结论：AD=BE,AD±BE.理由：如图2中，设AD交BE于H,AD交BC于O.3 ACB与DCE均为等腰直角三角形，.AC=BC,CE=CD/ACB=/ECD=90,4 .ACD=ZBCE,在RtACD和RtBCE中AC=BCACD=BCE,CD=CE5 .ACDABCE(SA§,.AD=BE,/CAD=/CBE6 /CAO+/AOC=90；/AOC=ZBOH,7 /BOH+ZOBH=90；

48、/OHB=90；ADXBE,.AD=BE,AD±BE.(3)如图3中，作AE±AP»,使得AE=PA则易证APEACP.PC=BE图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-3/2,图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3/2,.5-3VWBEW5+32,即5-3-220PCW5+32.【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.14.正方形

49、ABCD和正方形AEFG的边长分别为2和2J2,点B在边AG上，点D在线段EA的延长线上，连接BE.(1)如图1,求证：DG，BE;(2)如图2,将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，当点B恰好落在线段DG上时,求线段BE的长.圉IS2【答案】(1)答案见解析；(2)J2J6.【解析】【分析】(1)由题意可证ADG24ABE,可得/AGD=/AEB,由/ADG+/AGD=90°,可得/ADG+ZAEB=90°,即DG±BE;(2)过点A作AMLBD,垂足为M,根据勾股定理可求MG的长度，即可求DG的长度,由题意可证DA84BAE,可得BE=DG.【详解】(1)如图，延长EB