中考数学复习圆与相似专项易错题及答案解析

1、中考数学复习圆与相似专项易错题及答案解析一、相似1.如图，已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线于点M.(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)已知点F(0,一)，当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：由抛物线过点A(-1,0)、B(4,0)可设解析式为4),将点C

2、(0,2)代入，得：-4a=2,解得：a=-,2则抛物线解析式为y=-(x+1)(x-4)=-x2+/x+2y=a(x+1)x-(2)解：由题意知点D坐标为(0,-2),设直线BD解析式为y=kx+b,将B(4,0)、D(0,-2)代入，得：/j4=-品+b=0i2'ST,解得：厂",I，直线BD解析式为y=-x-2,.QM，x轴，P(m,0),口1w1. Q(m,-;m2+-m+2)、M(m,-m-2),1 31I贝UQM=-区m2+上m+2-(1m-2)=-区m2+m+4,7,.F(0,d)、D(0,-2),但.DF=,1. QM/DF,j|b当-金m2+m+4=二时，四

3、边形DMQF是平行四边形,解得：m=-1或m=3,即m=-1或3时，四边形DMQF是平行四边形。(3)解：如图所示:1. QM/DF,/ODB=ZQMB,分以下两种情况：当/DOB=/MBQ=90时，DOBsMBQ,DOMB21则丽一而一7二， /MBQ=90°, /MBP+ZPBQ=90,° /MPB=ZBPQ=90,° /MBP+ZBMP=90;/BMP=ZPBQ.MBQABPQ,B/解得：m=3、m2=4,当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，m=3,点Q的坐标为(3,2);当/BQM=90时，此时点Q与点A重合，BO24BQM,此时m

4、=-1，点Q的坐标为(-1,0);综上，点Q的坐标为(3,2)或(-1,0)时，以点BQ、M为顶点的三角形与ABOD相似.【解析】【分析】(1)A(-1,0)、B(4,0)是抛物线与x轴的交点，则可由抛物线的两点式，设解析为y=a(x+1)(x-4),代入C(0,2)即可求得a的值；(2)由QM/DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF,由D,F的坐标可求得DF的长/J度；由P(m,0)可得Q(m,-_m2+_m+2),而M在直线BD上，由B,D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式，并当=m时，表示出点M的坐标，可用m表示出QM的长度。由QM=DF,列出关于m的方程，解之可得；(3)在A

5、DOB和4MBQ中，由QM/DF,可知/ODB=/QMB,因为/MBQ=90要使DOB和MBQ相似，则需要/DOB=ZMBQ=90°或/DOB=ZBQM=90°。2.如图，在4ABC中，/C=90°,AC=8,BC=6。P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作ACBC边的垂线，垂足为M、N设AP=x.C(1)在ABC中，AB=;(2)当x=时，矩形PMCN的周长是14;(3)是否存在x的值，使得4PAM的面积、4PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。【答案】(1)105(3)解：PMXAC,PN±BC,/AM

6、P=ZPNB=ZC=90o.AC/PN,ZA=ZNPB.AMPspnBsabc.当P为AB中点时，可得AMPPNB此时SAMP=SPNB=二'X4X3=6而S矩形pmcn=PMMC=34=12.所以不存在x的值，能使AMP的面积、4PNB的面积与矩形PMCN面积同时相等.【解析】【解答】(1).4ABC为直角三角形，且AC=8,BC=6,.：ab=Jac2+二+*="(2)PMXACPN!BC.MP/BC,AC/PNI(垂直于同一条直线的两条直线平行)，PNBIACAB.AP=x,AB=10,BC=6,AC=8,BP=10-x,BC-AP6-：PM=二xAB108一(10-x

7、)10AC'贷AB3y4(10-x)4s-2T7矩形PMCN周长=2(PM+PN)=23x+8-3x)=14,解得x=5;【分析】在ABC中，/C=90,AC=8,BC=6根据勾股定理，可求出AB的长；AP=x,可以得到矩形PMCN的周长的表达式，构造方程，解方程得到x值.可以证明AMPsPNBAABC,只有当P为AB中点时，可得AMP0PNB,此时Saamp=Spnb,分别求出当P为AB中点时4PAM的面积、4PBN的面积与矩形PMCN的面积比较即可.3.如图，正方形ABCD等腰RtBPQ的顶点P在对角线AC上(点P与A、C不重合)，QP与BC交于E,QP延长线与AD交于点F,连接C

8、Q.DC(1)求证：AP=CQ求证：PA2=AF?AD;(2)若AP：PC=1:3,求tan/CBQ.【答案】(1)证明：二.四边形ABCD是正方形，AB=CB,ZABC=90, /ABP+ZPBC=90,° .BPQ是等腰直角三角形，BP=BQ,/PBQ=90；./PBC+/CBQ=90°，/ABP=/CBQ,AABPACBQ,.AP=CQ;二.四边形ABCD是正方形，ZDAC=ZBAC=ZACB=45°, /PQB=45；CCEP=/QEB,./CBQ=ZCPQ由得ABPCBQ,/ABP=/CBQ /CPQ=ZAPF,/APF=ZABP,APMABP,APAF

9、n二一二一,二d尸-AF'AB=AFAD：ABAP(本题也可以连接PD,证APFsADP)(2)证明：由得4AB国ACRQ,，/BCQ=/BAC=45, /ACB=45；./PCQ=45+45=90° .tan/CPQ=仃,由得AP=CQ,又AP:PC=1:3,，tan/CPQ=产CP3,由得/CBQ=/CPQ1tanZCBQ=tanZCPQ=3.【解析】【分析】(1)利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证ABPACBQ,可得AP=CQ;利用正方形的性质可证得/CBQ=/CPQ,再由ABPCBQ可证得/APF=/ABP,从而证出APMABP,由相似三角形的性质得证；(2)

10、由ABP4CBQ可得/BCQ=/BAC=45,可得ZPCQ=45+45°=90°,再由三角函数可CC1/LJ得tan/CPQ=f,由AP:PC=1:3,AP=CQ可得tan/CPQ=,再由/CBQ=/CPQ可求出答案.4.定义：如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点./dVXBAD1ACB(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，若AM=3,MN=4求BN的长；(2)已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D,使C,D是线段AB的勾股分割点(要求尺规作图，

11、保留作图痕迹，画出一种情形即可)；(3)如图3,正方形ABCD中，M,N分别在BC,DC上，且BWDN,/MAN=45,AM,AN分别交BD于E,F.求证：E、F是线段BD的勾股分割点；4AMN的面积是4AEF面积的两倍.【答案】(1)解：(1)当MN为最大线段时， 点M,N是线段AB的勾股分割点，BM=曲/一出=-#=G,当BN为最大线段时， 点M,N是线段AB的勾股分割点，BN=I而J相=J产，-H=5,综上，BN="下或5;(2)解：作法：在AB上截取CE=CA作AE的垂直平分线，并截取CF=CA连接BF,并作BF的垂直平分线，交AB于D;点D即为所求；如图2所示.(3)解：如

12、图3中，将4ADF绕点A顺时针性质90°得至UABH,连接HE.图3 /DAF+/BAE=90-/EAF=45,°/DAF=ZBAH,/EAH=ZEAF=45,° .EA=EAAH=AF,EAHEAF,.EF=HE/ABH=ZADF=45=ZABD,/HBE=90；在RtBHE中，HE2=BH2+BE?,.BH=DF,EF=HEef2=bE2+df2,E、F是线段BD的勾股分割点.证明：如图4中，连接FM,EN.图4 四边形ABCD是正方形，/ADC=90；BBDC=ZADB=45； /MAN=45°,/EAN=ZEDN,ZAFE=ZFDNI, .AFE

13、ADFNI,AFEF/AEF=ZDNF,OFF,AF必EFFA,.ZAFD=ZEFN, .AFDAEFN,/DAF=ZFEN, /DAF+/DNF=90,° /AEF+ZFEN=90,°/AEN=90°.AEN是等腰直角三角形，同理4AFM是等腰直角三角形；AEN是等腰直角三角形，同理4AFM是等腰直角三角形, .AM=LTAF,AN=.AE,/Saamn=二AM?AN?sin45；Saaef=KAE?AF?sin45,Saamn=2Saaef.【解析】【分析】(1)此题分两种情况：当MN为最大线段时，当BN为最大线段时，根据线段的勾股分割点的定义，利用勾股定理分

14、别得出BM的长；(2)利用尺规作图，将线段AC,CD,DB转化到同一个直角三角形中，在AB上截取CE=CA作AE的垂直平分线，并截取CF=CA这样的作图可以保证直角的出现，及AC是一条直角边，连接BF,并作BF的垂直平分线，交AB于D;这样的作图意图利用垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即BD=DF,从而实现将三条线段转化到同一直角三角形的目的；(3)如图3中，将4ADF绕点A顺时针性质90°得至UABH,连接HE.根据正方形的性质及旋转的性质得出/EAH=/EAF=45,AH=AF,利用SAS判断出EAHEAF,根据全等三角形对应边相等得出EF=HE根据正方形的每条对角线平

15、分一组对角，及旋转的性质得出/ABH=/ADF=45=/ABD,故ZHBE=90,在RtBHE中，HE2=BH2+bE2,根据等量代换得出结论；证明：如图4中，连接FM,EN.根据正方形的性质及对顶角相等判断出AF&4DFN,根据相似三角形对应角相等，对应边成比例得出/AEF=/DNF,AF：DF=EF：FN,根据比例的性质进而得出AF：EF=DF：FN,再判断出AFDsEFN,根据相似三角形对应角相等得出/DAF=ZFEN,根据直角三角形两锐角互余，及等量代换由/DAF+ZDNF=90,°得出/AEF+ZFEN=90即/AEN=90,°从而判断出4AEN是等腰直角

16、三角形，同理4AFM是等腰直角三角形；根据等腰直角三角形的边之间的关系AM=V-AF,AN=AE,从而分另J表示出Saamn与Saaef,求出它们的比值即可得出答案。5.在平面直角坐标系中，抛物线V=也式二.bx"匕6-0)与上轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),与y轴交于点D(0,3),过顶点C作CHI±x轴于点H.(2)连结AD、CD,若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合)，当4ADE与ACD面积相等时，求点E的坐标；(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q,以P、CQ为顶点的三角形与4ACH相似时，

17、求点P的坐标.【答案】(1)解：设抛物线的解析式为y殴4皿，匚向,川，抛物线过点A(-3,0),B(1,0),D(0,3),9a-3b+s=Gabc=0°：3,解得，a=-1,b=-2,c=3,顶点C(-1,4);，抛物线解析式为卜二不-木+，(2)解：如图1,A(-3,0),D(0,3),，直线AD的解析式为y=x+3,设直线AD与CH交点为F,则点F的坐标为（-1,2），CF=FH分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E,由平行间距离处处相等，平行线分线段成比例可知，ADE与ACD面积相等，直线EC的解析式为y=x+5,直线EH的解析式为y=x+1,y-x-f-5/y-xI

18、分别与抛物线解析式联立，得lr=F一+j,i=/213,-3十一.十31r-1-（，-）f，9解得点E坐标为（-2,3）,?1，二'：'；（3）解：若点P在对称轴左侧（如图2）,只能是CPgACH,得/PCQ=ZCAH,图2PQCM而一疝,?分别过点C、P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，交点为M和N,由CQMsQPN,PQPNQN,=2,/MCQ=45°,设CM=m,则MQ=m,PN=QN=2m,MN=3m,，P点坐标为(-m-1,4-3m),将点P坐标代入抛物线解析式，得-仙，+2向71+3=-Ju,解得m=3,或m=0(与点C重合，舍去).P点坐标为(-4,

19、-5);若点P在对称轴右侧(如图)，只能是PCMACH,得/PCQ=ZACH,PQAH.CQ延长CD交x轴于M,M(3,0)N,PQCQFMCM/MCH=45；CH=MH=4.MN=FN=2,.F点坐标为(5,2),直线CF的解析式为y=联立抛物线解析式，得综上所得，符合条件的【解析】【分析】(P点坐标为(-4,-5),(,解得点p坐标为(35).1)将A(-3,0)、B(1,0)、D(0,3),代入38W),y=ax2+bx+3求出即可；(2)求出直线AD的解析式，分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E,利用ADE与4ACD面积相等，得出直线EC和直线EH的解析式，联立出方程组求解即

20、可;(3)(3)分两种情况讨论：点P在对称轴左侧；点P在对称轴右侧.6.定义：如图癌，若点D在I/次的边AB上，且满足kyACD-ZB,则称满足这样条件的点为二AHC的理想点”(1)如图若点D是4ABC的边AB的中点，AC=入臼，杷="，试判断点不是AABd的理想点”，并说明理由;(2)如图，在RL/ABC中，*t=如“，AB5,AC-d,若点D是|#ABC的理想点”，求CD的长；(3)如图，已知平面直角坐标系中，点Aft2),B位。，C为x轴正半轴上一点,且满足ACB二书口，在y轴上是否存在一点D,使点A,B,C,D中的某一点是其余三点围成的三角形的理想点味若存在，请求出点D的坐标

21、；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：结论：点D是dAB&的理想点”.理由：如图中,丁口是AB中点，AB-，AD-加J,:*如'ABJAC?=AD-丽ACAB-9.访一正?I=.<?).HACDsWABd,:上ACD，点D是/血的理想点”，(2)解：如图中,：*|点D是IARC的理想点”，上ACD或jECD,当l/ACn-B时，："-ALU+JECD=909?：上BCD，ZB-如'，二4DB二如'?当|zMD=，用时，同法证明：CDAB,在RiABC|中，=上Mi=如:曲-J,AC九二BC-=J,11：*一，皿*二一,AC'BC号!?

22、(3)解：如图庵中，存在，有三种情形:?：*A也力，R故3),JOA=皿jOB3.AB-4OC二仙au-J:'皿"JC,H3,解得a-W或"舍弃P,经检验a-a是分式方程的解，C/切，M6,当上DKA二一飞网；时，点a是也双口的理想点4设山口.，:'Z!M；A=0K,|41）成/：口出， ：/D：A（s/DKB,二成二D/A1）? ：/十向-2）（in*3）,解得川-羽, ：加自囱.当4c二0）田时，点a是G欢心的理想点”易知：41）汨75：，必-0C6? :近他用.当上BCA=上ADy：时，点b是ACDm的理想点”易知：4DjO=工尸，二ODj=0C=6?

23、 :Ds俏-6）.综上所述，满足条件的点D坐标为9,或色况或1他6J.【解析】【分析】（1）结论：点D是I$A0C的理想点|只要证明|公ACDs|ABC即可解决问题；（2）只要证明CD1AB即可解决问题；（3）如图中，存在有三种情形：过点A作MA上AC交CB的延长线于M,作MH轴于H.|构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分三种情形求解即可解决问题；7.如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,/ADB=30°.P,Q两点分别从A,B同时出发，点P沿折线AB-BC运动，在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2/cm/s;点Q在BD上以2cm/s的速度向终

24、点D运动，过点P作PNXAD,垂足为点N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作？PQMN.设运动的时间为x（s）,?PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）CC(1)当PQ±AB时，x=;(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分时，直接写出2【答案】(1)丁(2)解：如图1中，当OvxWi时，重叠部分是四边形PQMNy=2xx/3x=2Sx2.如图中，当vxWl时，重叠部分是四边形PQEN.图2y=-(2x+2tx浅'x=x2+V-1x如图3中，当1vxv2时，重叠部分是四边形PNEQ.DEO3当直线AM经过

25、BC中点E时，满足条件.综上所述，y=y=上（2x+2）X&Gx-2，丐（x1）=二、32A-*甲XpX这DJ3x六邛A/5t7jcV2则有：tan/EAB=tan/QPB,解得x=$.如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件.曲此时tan/DEA=tan/QPB,解得x=?,2R综上所述，当x=/s或彳时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分【解析】【解答】解：(1)当PQ±AB时，BQ=2PB,.2x=2(2-2x),故答案为s.【分析】(1)由题意BQ=2x,PB=2-2x,当PQLAB时，根据含30°直角三角形的边之间的关系得：BQ=2PB,

26、从而列出方程，求解即可；Itjfr(2)如图1中，当0vxE时，重叠部分是四边形PQMN.由题意知：AP=2x,BQ=2x,故平行四边形AP边上的高是根据平行四边形的面积计算方法得出y与x之间的函数金关系式；如图中，当vxWl时，重叠部分的面积等于平行四边形APQM的面积减去AEM的面积，即可得出y与x的函数关系式；如图3中，当1vxv2时，重叠部分是四边形PNEQ.根据相似三角形的性质，分别表示出EQ,ME,NE的长，根据重叠部分等于平行四边形NPQM的面积减去4MNE的面积，即可列出y与x之间的函数关系；(3)如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件.根据等角的同名三角函数值相等，即

27、tan/EAB=tan/QPB,再根据三角函数的定义即可建立方程，求解得出x的值；如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件.根据等角的同名三角函数值相等，即tan/DEA=tan/QPB,再根据三角函数的定义即可建立方程，求解得出x的值；综上所述即可得出答案。8.如图，过。外一点P作。O的切线PA切。于点A,连接PO并延长，与。交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N,连接AC、CM.(1)求证：CM2=MN,MA;(2)若/P=30°,PC=2,求CM的长.【答案】(1)解：中，国点是半圆口的中点,团团 :|CM唯, :小C施上中僚?又'二可，愀，二

28、N赤R同CMAhJI而一不，即1/=5，必；(2)解：连接0A,确，了孙是9£的切线，.："刚。-前?又7WF而1，1 :OA-P0=-(PC+CO)22?设®4的半径为2,:比二幺,1 :r=-(2r)9解得：/又：*a是直径，J二曲犯'?:cma? :3f9是等腰直角三角形，二|在KIM业中，由勾股定理得5卡刎一加，即现演-尸-M,则£，二,*/'ll/=，取后9堂L-11M.团团【解析】【分析】(1)由fW/I知/£西ZDCk,根/CMA=/NMC据证AAMOACMN即可得；(2)连接OA、DM,由直角三角形PAO中/P=

29、30°知/IOA=-P0=-(PCCO),据此求得OA=OC=2再证三角形CMD是等腰直角三角形得CM的长.二、圆的综合9.如图，AB是。的直径，PA是。O的切线，点C在。O上，CB/PO.（1）判断PC与。O的位置关系，并说明理由；若AB=6,CB=4,求PC的长.3【答案】（1）PC是。的切线，理由见解析；（2）-V52【解析】试题分析：（1）要证PC是。的切线，只要连接OC,再证/PCO=90即可.（2）可以连接AC,根据已知先证明ACPPCO再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长.试题解析：（1）结论：PC是。的切线.证明：连接OC .CB/PO，/POA=/B,/PO

30、C=/OCB .OC=OB/OCB=ZBZPOA=ZPOC又.OA=OC,OP=OP.,.APOACPO/OAP=ZOCP.PA是。O的切线/OAP=90°/OCP=90° .PC是。的切线.（2）连接AC.AB是。O的直径ACB=90°（6分）由（1）知/PCO=90,/B=ZOCB=ZPOC /ACB=ZPCO .ACBAPCOl.0CAC一3小田。一阮2.3462T2.3指BC442点睛：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.同时考查了勾股定理和相似三角形的性质.10.如图所示，以RtABC的

31、直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点D,E为BC边上的中点，连接DE.（1）求证：DE是。的切线；（2）连接OE,AE,当/CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin/CAE的值.【答案】见解析；（2）二°.10【解析】分析：（1）要证DE是。的切线，必须证ED±OD,即/EDB+/ODB=90（2）要证AOED是平行四边形，则DE/AB,D为AC中点，又BD±AC,所以ABC为等腰直角三角形，所以/CAB=45,再由正弦的概念求解即可.详解：（1）证明：连接0、D与B、D两点，BDC是RtA,且E为BC中点，/EDB=ZEBD.（2分）又O

32、D=OB且/EBD+ZDBO=90,/EDB+ZODB=90:.DE是。0的切线.（2）解：ZEDO=ZB=90°,若要四边形AOED是平行四边形，则DE/AB,D为AC中点，又;BD±AC,ABC为等腰直角三角形./CAB=45:过E作EHI±AC于H,、一一2设BC=2k,则EH=k,AE=V5k,EH.10sinZCAE=AE10点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可.11.如图，AB,BC分别是。的直径和弦，点D为Be上一点，弦DE交OO于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线

33、交ED的延长线于H,且HC=HG连接BH,交。O于点M,连接MD,ME.求证：（1） DE±AB；（2） /HMD=/MHE+/MEH.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）连接OC,根据等边对等角和切线的性质，证明/BFG=/OCH=90即可；（2）连接BE,根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出ZHMD=ZBME,再根据三角形的外角的性质证明/HMD=ZDEB=ZEMB即可.详解：证明：（1）连接OC HC=HG,/HCG=ZHGC； hc切。于e点, /OCB+ZHCG=90;,.QB=OC,/OCB=ZOBC, /HGC=ZBGF, /OBC+/BG

34、F=90,°/BFG=90即DELAB;(2)连接BE,由(1)知DEXAB,.AB是。的直径，廊二前/BED=ZBME；四边形BMDE内接于OO,/HMD=ZBED,/HMD=/BME；/BME是AHEM的外角，./BME=/MHE+/MEH,/HMD=ZMHE+ZMEH.【答案】(1)证明见解析(2)DE=6(3)点睛：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质.12.如图，AD是4ABC的角平分线，以AD为弦的。交AB、AC于E、F,已知EF/BC.(1)求证：BC是。的切线；(2)若已知AE=9,CF=4,求DE长；(3

35、)在(2)的条件下，若/BAC=60,求tan/AFE的值及GD长.18.36.5试题分析：(1)连接OD,由角平分线的定义得到Z1=Z2,得到DEgF,根据垂径定理得到ODLEF,根据平行线的性质得到ODLBC,于是得到结论；(2)连接DE,由DEDF，得到DE=DF根据平行线的性质得到Z3=Z4,等量代换得到/1=74,根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)过F作FH,BC于H,由已知条件得到/1=/2=/3=/4=30°,解直角三角形得到11_.一FH=-DF=-X6=3DH=3J3,CH=JCHF2J7，根据二角函数的7E乂得到tan/AFE=tanZC=-HF氧7;根据相

36、似三角形到现在即可得到结论.CH7试题解析：(1)连接OD,AD是ABC的角平分线，/1=72,De?f, ODXEF, EF/BC, ODXBC, .BC是。O的切线;(2)连接DE,DeDf, .DE=DF EF/BC,/3=/4, /1=/3,/1=/4, /DFC玄AED .AEDADFC,AEDE9DE 一一，即一一，DFCFDE4 .DE2=36, .DE=6；(3)过F作FH,BC于H, /BAC=60；/1=72=73=74=30；.FH=1DF=16=3,DH=3石,22CH=、CF2HF2.7,EF/BC,/C=ZAFE,tan/AFE=tan/C=HF3*7CH7 /4=

37、/2./C=/C, .ADCADFC,ADCDdFCF? /5=/5,/3=/2, .ADFAFDGJ,ADDF,DFDG.CD尤即3AZ2,CFDG4DG.dg=18.36/7DG5I-S5HC点睛：本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键13.已知：如图，在四边形ABCD中，AD/BC.点E为CD边上一点，AE与BE分别为/DAB和/CBA的平分线.（1）请你添加一个适当的条件,使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O,并以AB为直径作OO（要求：尺规作图，保留作图痕迹，

38、不写作法）；（3）在（2）的条件下，。交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5.【解析】分析：(1)添加条件AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；(2)作出相应的图形，如图所示；(3)由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到/AGF=/AEB,根据sin/AGF的值，确定出s

39、in/AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径.详解：(1)当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：AD/BC,AD=BQ四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC;(2)作出相应的图形，如图所示；DC(3).AD/BC, /DAB+/CBA=180；.AE与BE分另1J为/DAB与/CBA的平分线, /EAB+ZEBA=90,°/AEB=90,°.AB为圆O的直径，点F在圆。上，/AFB=90,° /FAG+ZFGA=90；.AE平分/DAB,ZFAG=ZEAB,/AGF=ZABE,AE-sinZABE=sinZAGF=-,5AB.A

40、E=4,.AB=5,则圆O的半径为2.5.点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键.3一.如图，4ABC中，AC=BC=10,cosC=，点P是AC边上一动点(不与点A、C重合)，5以PA长为半径的OP与边AB的另一个交点为(1)当。P与边BC相切时，求OP的半径.(2)连接BP交DE于点F,设AP的长为x,接写出x的取值范围.(3)在(2)的条件下，当以PE长为直径的所得的公共弦的长.D,过点D作DE，CB于点E.PF的长为V,求y关于x的函数解析式，并直OQ与。P相交于AC边上的点G

41、时，求相交3ED备用图-40R一；95x-48x80;(3)501075.3x20(1)设。P与边BC相切的切点为H,圆的半径为3R,连接HP,则HP±BC,cosC=,则5sinC=4,sinC=5HPCP(2)首先证明PD/BE,10R4,即可求解;5则受PDBFPF即:2x5xJx28x80y,即可求解;y(3)证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=EPBD,即：AB=DB+AD=AG+AD=4.5,即可求解.【详解】(1)设。P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,贝UHP±BC,cosC=w4则sinC=,535HPsinC=CP10R5R40R=9(2)在ABC中，AC=BC=10,c3cosC=一5设AP=PD=x,/A=/ABC=3,过点B作BHI±AC,则BH=ACsinO8,同理可得：CH=6,HA=4,AB=45贝U:tanZCAB=2,BP=j82+(x4)2=Jx28x80，DA=x,则BD=45x,55如下图所示，PA=PD,/PAD=/CAB=/CBA=3,tan3=2,则cos3=%,sin