数列通项公式解法总结及习题(附详解答案)

1、 数列通项公式解法总结及习题训练（附答案）数列通项公式解法总结及习题训练（附答案）1.定义法定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。2.公式法公式法：已知（即）求，用作差法：nS12( )naaaf nna。11,(1),(2)nnnSnaSSn3.3.作商法：作商法：已知求，用作商法：。12( )na aaf nna(1),(1)( ),(2)(1)nfnf nanf n4.4.累加法累加法：若求：。1( )nnaaf nna11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n 5.5.累乘法：累乘法：已知求，用累乘法：。1( )nnaf nana121121nnnnnaaaaaa

2、aa(2)n 6.6.已知递推关系求已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列） 。na1）递推公式为（其中 p，q 均为常数） 。nnnqapaa12先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中 s，t 满足qstpts2 2）形如）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。11nnnaakab7.7.数学归纳法数学归纳法 先根据已知条件结合具体形式进行合理的猜想，然后证明。8.8.换元法换元法 换元的目的是简化形式，以便于求解。9、不动点法不动点法 对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求 1010 定系数法定系数法 适用于1( )nnaqaf n解题基本步骤：1、确定 2、设

3、等比数列，公比为？( )f n1( )naf n3、列出关系式4、比较系数求，)() 1(1211nfanfann125、解得数列的通项公式 6、解得数列的通项公式1( )naf n na习题1.1.（20102010 全国卷全国卷 2 2）(6)如果等差数列 na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+7a=（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 352.2.（20102010 安徽）安徽）(5)设数列na的前 n 项和2nSn，则8a的值为（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）643. (2011(2011 年高考四川年高考四川) )数列 na的首项为3， nb 为等

4、差数列且1(*)nnnbaa nN .若则32b ，1012b ，则8a ( ） A）0 （B）3 （C）8 （D）114.(2011 年高考全国卷年高考全国卷设为等差数列的前项和，若，公差，nS nan11a 2d ，则 A）8 （B）7 （C）6 （D）5224AnSSk 5.（2009 广东卷 理）已知等比数列na满足0,1,2,nan，且25252 (3)nnaan，则当1n 时，2123221logloglognaaa A. (21)nn B. 2(1)n C. 2n D. 2(1)n6.（2009 陕西卷）设等差数列 na的前 n 项和为ns,若6312as,则na 7.7. (2

5、011(2011 广东卷广东卷) )等差数列前 9 项的和等于前 4 项的和.若，则 na141,0kaaak8. 则其通项为1,13111aaaannn9（2009 宁夏海南卷理）等差数列na前 n 项和为nS。已知1ma+1ma-2ma=0，21mS=38,则m=_10.重庆卷理）设12a ，121nnaa，21nnnaba，*nN，则数列 nb的通项公式nb= 1111等差数列是递增数列，前 n 项和为，且成等比数列， nanS931,aaa求数列的通项公式.255aS na1212 已知数列的前项和满足求数列的通项 nannS1,) 1(2naSnnn na公式。13 已知数列满足，求

6、数列的通项公式。na112 313nnnaaa ，na14 已知数列满足，求数列的通项公式。na112(1)53nnnanaa，na15 已知数列满足，求数列的通项公式。na1123 56nnnaaa ， na16 知数列满足，求数列的通项公式。na11228(1)8(21) (23)9nnnaaann，na17 已知数列满足，求数列的通项公式。na111(14124)116nnnaaaa，na18 已知数列满足，求数列的通项公式。na1172223nnnaaaa，na答案及详解答案及详解1.【答案】C C【解析解析】本题考查了数列的基础知识。本题考查了数列的基础知识。 34512aaa， 4

7、4a 12717417 ()7282aaaaaa 2.【答案】 A【解析】887644915aSS.【方法技巧】直接根据1(2)nnnaSSn即可得出结论.3.答案：B解析：由已知知由叠加法128,28,nnnbnaan.21328781()()()642024603aaaaaaaa 4【答案】D【解析】22111(2 1)(1 1)kkkkSSaaakdakd 故选 D。12(21)akd2 1 (21) 244245kkk 5【解析】由25252 (3)nnaan得nna222，0na，则nna2， 3212loglogaa 2122) 12(31lognnan ，选 C. 6解析:由63

8、12as可得 na的公差 d=2,首项1a=2,故易得na 2n.答案:2n7【答案】10【解析解析】由题得由题得1061031) 1(123442899kdddkdd8 8 解解：取倒数：11113131nnnnaaaa是等差数列，na13) 1(111naan3) 1(1n231nan9 9 解析由1ma+1ma-2ma=0 得到1212212120,0,22138102mmmmmmmaaaaaSmam又。答案 101010 解析 由条件得111112222222111nnnnnnnnaaabbaaa且14b 所以数列 nb是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则114 22nnnb111

9、1 解解：设数列公差为 na)0(dd成等比数列，931,aaa9123aaa 即)8()2(1121daadadad12， 0dda 1 255aS 211)4(2455dada由得：，531a53dnnan5353) 1(53点评点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。1212 解解：由1121111aaSa当2n时，有,) 1(2)(211nnnnnnaaSSa1122 ( 1),nnnaa ,) 1(22221nnnaa，. 2212 aa11221122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnnnaa .) 1(2 323) 2(1 2)

10、1(2)2() 2() 2() 1(21211211nnnnnnnnn经验证也满足上式，所以11a) 1(23212nnna1313 解：由得则12 31nnnaa 12 31nnnaa11232211122112211()()()()(2 31)(2 31)(2 31)(2 31)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)31 3331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn 所以31.nnan14 解：因为，所以，则，故112(1)53nnnanaa，0na 12(1)5nnnana1321122112211(1) (2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)5

11、2(2 1) 5 2(1 1) 5 32 (1)3 2 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn 所以数列的通项公式为na(1)123 25!.n nnnan 15 解：设1152(5 )nnnnaxax 将代入式，得，等式两边消去123 5nnnaa 123 55225nnnnnaxax ，得，两边除以，得代入式得2na13 5525nnnxx5n352 ,1,xxx 则1152(5 )nnnnaa由及式得，则，则数列是以1156510a 50nna 11525nnnnaa5 nna 为首项，以 2 为公比的等比数列，则，故1151a 152nnna125n

12、nna16 解：由及，得1228(1)(21) (23)nnnaann189a 2122322243228(1 1)88 224(2 1 1) (2 1 3)99 25258(2 1)248 348(2 2 1) (2 23)2525 49498(3 1)488 480(2 3 1) (2 33)4949 8181aaaaaa 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。22(21)1(21)nnan（1）当时，所以等式成立。1n 212(2 1 1)18(2 1 1)9a （2）假设当时等式成立，即，则当时，nk22(21)1(21)kkak1nk1228(1)(21) (23)kkkaakk

13、222222222222222222222(21)18(1)(21)(21) (23)(21)1(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(21)(21) (23)(23)1(23)2(1) 112(1) 1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2由此可知，当时等式也成立。1nk根据（1） ， （2）可知，等式对任何都成立。*nN17 解：令，则124nnba21(1)24nnab故，代入得2111(1)24nnab11(14124)16nnnaaa221111(1)14(1)241624nnnbbb即2214(3)nnbb因为，故1240nnba111240nnba则，即，123nnbb11322nnbb可化为，113(3)2nnbb所以是以为首项，以为公比的等比数3nb 1131243124 132ba 21列，因此，则，即，得121132( )( )22nnnb21( )32nnb21124( )32nna。2