三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结

1、、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点变形:例1.如图在直线ABC的同一侧作结论:两个等边三角形AABD与ABCE,连结AE与CD,证明(1)AABEmADBC(2)AE与DC之间的夹角为60(3)BH平分/AHC变式精练1：如图两个等边三角形AABD与ABCE,连结AE与CD,证明(1)ABE三DBC(2) AE与DC之间的夹角为60口(3) AE与DC的交点设为H,BH平分/AHC变式精练2:如图两个等边三角形MBD与ABCE,连结AE与CD,证明(1)ABE三DBC(2)AE与DC之间的夹角为60(3)AE与DC的交点设为H,BH平分

2、/AHC例2:如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,CE,二者相交于点H问：(1)AADG三ACDE是否成立？.打心(2) AG是否与CE相等？"IL/(3) AG与CE之间的夹角为多少度？£(4) HD是否平分ZAHE?例3:如图两个等腰直角三角形ADC与CEDG,连结AG,CE,二者相交于点H问：(1)AADGmACDE是否成立？aG(2) AG是否与CE相等？/I/1(3) AG与CE之间的夹角为多少度？"7(4) HD是否平分NAHE?"例4:两个等腰三角形AABD与&BCE,其中AB=BD,CB=EB,/ABD=/CBE=ot,

3、连结AE与CD,问：(1)&ABEmADBC是否成立？p(2) AE是否与CD相等？/X.(3) AE与CD之间的夹角为多少度？乙二_一_4(4) HB是否平分/AHC?订二、倍长与中点有关的线段倍长中线类?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。【例1】已知："BC中，AM是中线.求证：AM(AB+AC).2【练1】在4ABC中，AB=5,AC=9,则BC边上的中线AD的长的取值范围是什【练2】如图所示，在AABC的AB边上取两点E、F,使AE=BF,连接CE、CF,求证：AC+BCEC

4、+FC.【例2】如图，已知在MBC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,AF=EF,求证：AC=BE.【练1】如图，已知在9BC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF=EF【练2】如图，在MBC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EFIIAD交CA的延长线于点F,交AB于点G,若BG=CF,求证：AD为MBC的角平分线.【练3】如图所示，已知MBC中，AD平分NBAC,E、F分别在BD、AD上.DE=CD,EF=AC.求证：EF/AB【例3】已知AM为MBC的中线，ZAMB,ZAMC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求

5、证：BE+CF>EF.【练1】在RtAABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足/DFE=90*.若AD=3,BE=4,贝4线段DE的长度为.【练2】在MBC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MD_LND.(1)若/A=90工以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？(2)如果BM2+CN2=DM2+DN2,求证AD2=2(AB2+AC2).4【例4】如图所示，在ZABC中，AB=AC,延长AB至ijD,使BD=AB,E为AB的中点，连接CE、CD,求证CD=2EC.【练1】已知MBC中，A

6、B=AC,BD为AB的延长线，且BD=AB,CE为MBC的AB边上的中线.求证：CD=2CE全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方1 .如图所示，AABC中，NC=900/B=450,AD平分/BAC交ABC于Do求证：AB=AC+CDK如图所示，在MBC中，/B=60°,MBC的角平xdOBBDC分线ADCE相交于点O。求证：AE+CD=AC2 .如图所示，已知/1=/2,P为BN上一点，且PD_LBC于D,AB+BC=2BD求证：ZBAP+/BCP=1800

7、。3 .如图所示，在RtAABC中，AB=AC/BAC=90°,/ABD=/CBD,CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE5 如图所示，在AABC中，/ABC=90°,AD为/BAC的平分线，NC=30°,BE.LAD于E点，求证：AC-AB=2BE6 .如图所示，已知ABCD,/ABC,/BCD的平分线恰好交BA于AD上一点E,求证：BC=AB+CD7 .如图，E是/AOB的平分线上一点，EC_LOA,ED_LOB,垂足为CD。求证：(1)OC=OD(2)AO,.三、截长补短问题1:垂直平分线（性质）定理是问题2:角平分线（性质）定理是问题3:等腰三角形

8、白两个底角，简称;如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也,简称.问题4:当见到线段的考虑截长补短，构造全等或等腰转移、车移,然后和重新组合解决问题.三角形全等之截长补短（一）一、单选题（共4道，每道25分）1.已知，如图，BM平分/ABCP为BML上一点，PDLBC于点D,BD=AB+CD或长法）证明，如图，在g匚上截取白E=艮工连接PE在ZVMF和国产中'AB=ES,Z1=Z2BF=BP:(SAS)CD=ED:FDlBC.PE=PC请你仔细观察下列序号所代表的内容：平分443C，二一；/仁/2;/A=ZBEPAP=PE/BD=AB+CD=PCD'BDAB+CD.BDB

9、E+ED+Z3=180°：.BE蚀+，B0=AB+C：a,AZBAP4-Z3=18O°；AZ3=ZfCCVZBSF+Z3=18O°，Zfi/P+ZBCF=1SO口以上空缺处依次所填最恰当的是()A.B.C.D.2.已知，如图，BM平分/ABC点P为BML上一点，PDLBC于点D,BD=AB+DC求证：/BAP廿BCP=180.切平花.Z1=Z2在Eb和中'BE=BD，Z1=Z2BP=BP:'BE0Zl>F(SAS)在Af小和乙干节匚中rPE=PD1"&4ZFTC_AE=CD二FE$连凸严口(SAS)/.ZC=ZPAE,/Z4

10、?-Z/;jr=£Oe.Z5J1P-ZJBCP=1SO3请你仔细观察下列序号所代表的内容：延长BA,过点P作PEBA于点E;延长BA到E,使AE=DC连接PE;'：BDBA+CD'：BDBA+CD延长BA到E,使DC=AE,BD=BA+AE-BS；：.BD=BE/.PE=PD,£PEA二4PDB'SPD1BC"PRE=98/.ZPQC=90°二.以上空缺处依次所填最恰当的是():PE二PD,/P£A=/PDB二PDLBG：.ZPDB=J/PDC=90Q，a4=90。A.B.C.D.3.已知，如图，在五边形ABCD中,AB

11、=AEAD平分/CDE/BAE=ZCAD,求证：BC+DE=CD>E（微长法）证明：如由，'.4D平分2CZi£二Z1=上上在a#。和乙小。中AD=AD，Z1=Z2DPDR（SAS）在瓯和d4FC巾AS=AF<Z6=Z5AC=AC/.4错04珏七($A$).,.BC-CF.'.BC-DE=CF-DF=Cl>请你仔细观察下列序号所代表的内容：在CD上截取CF=CB连接AR在DC上截取DF=DE连接AF;在DC上截取DF=DEAE=AFAF=AEZ4=Z3;Z4=Z3;'AB=AE：,AB=AF=2/CADABAEABAF：.AB=AF'

12、/=2ZCAD*：£CAD=Z3+Z6,Z4=Z3：.£CAD=Z3+Z6：NCAD=N3+/6即N4+Z5=/3+N6，/5=/6./5=N6以上空缺处依次所填最恰当的是（）即N4+/5=N3+/6；，_j_.A.B.C.D.4.已知，如图，在五边形ABCD中,AB=AE/BAE=NCAD/ABC也AED=180,求证:BC+DE=CD计阕法jLE用-如图-在中AS=ASi/心ei就，韶a”笺a斯值词-Z2-Z3,JC-JF在凸匚加用ZOD-ZiPj1£iaD-ADAC.JDS2Af.JD(SAS)请你仔细观察下列序号所代表的内容：延长DE至IF,使EF=BC连

13、接AF;延长DE至1F,使BC=EF延长DE到F近接AF;*NBAE="CADVZZ5C+££）=180°，/CRQ=N2+/4：NGW=/2+N4/1+N夜=180。=N3+N4=N3+N4.*.ZABC=Z1V4BC=Z1即/C工口=£FAD，/C盘=AFAD：.CD=DF"F=D£+EF：.CD=DF=EF=BC'DF=DE+2F：.EF=DE+BC=DE+BC/.BC+DE=CD；，BCDE=CD以上空缺处依次所填最恰当的是（）A.B.C.D.四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候，我们应

14、该想到旋转？（构造旋转的条件）问题二：旋转都有哪些模型？如图，P是正AB6的一点，若将PBC绕点B旋转到P/BA，则/PBP的度数是（）A.45°B.60°C.90°D.120°【例2】如图，正方形BAF由正方形ACG映点于A,连接BDCF,求证：BD>CFB并求出/DOH勺度数。【例3】如图，正方形ABCDK/FAD=/FAE。求证：BE+D已AE1题干中出现对图形的旋转一一现成的全等2图形中隐藏着旋转位置关系的全等形一一找到并利用3题干中没提到旋转，图形中也没有旋转关系存在一一通过作辅助线构造旋转！【例4】已知：如图：正方形ABCDK/MA仲4

15、5°,/MAN勺两边分别交CBDC于点MNL求证：BWDN=MN【例5】如图，正方形ABCDK/EAM45°,连接对角线B饺AE于M交AF于N,证明：dN+bM=miN【例6】如图，已知OAEJ口4OC奥等边三角形，连结ACfflBD,相交于点E,AC和B仪于点F,连结BC求/AEB的大小。【例7】如图所示：ABE,/AC&90°,AOBCP是ABC3的一点，且AP=3,CP=2,BP=1,求/BPC的度数。本课总结问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？（构造旋转的条件）1 .图中有相等的边（等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形）2 .这些相等

16、的边中存在共端点。3 .如果旋转（将一条边和另一条边重合），会出现特殊的角：大角夹半角、手拉手、被分割的特殊角。问题二：旋转都有哪些模型?构造旋转辅助线模型:1 .大角夹半角2 .手拉手（寻找旋转）3 .被分割的特殊角测试题1 .如图，P是正MBG内的一点，且BP是/ABC勺角平分线，若将APBG绕点P旋转到妒BA,则/PBP，的度数是（）A. 45°B. 60°C. 90°D.120°2.如图：ABC中，A及AC,BC为最大边，点DE分别在BGAC上,BACEF为BA延长线上一点，BF=CD则下列正确的是A.DF=DEB.DC=DFC.EOEAD.不确

17、定3.如图，四边形ABCDK/ABC=30,/ADG60°,AADC则下列正确的是（）c.bD>aB+bCd.不确定A.bD=a4+bCb.bDvaB+bC4.已知4ABG中，/AGB=90。，CD_LAB于D,AE为角平分线交CDFF,则图中的直角三角形有（）A.7个B.6个C.5个D.4个5.如图，DALAREA!AC,AAARAE=AG则下列正确的是（）ADFAESA.AABDAGEB.e.的心语6.如图，已知P为正方形ABCD勺对角线AC上的一点（不与A、C重合），P已BCf点E,PF，CD与点F,若四边形PECFS点C逆时针旋转，连结BEDF则下列一定正确的是（）A.

18、BP=DPB.BE+EC=BCC.BP=DFD.BE=DF7 .如图，等腰直角ADB与等腰直角AEC共点于A,连结BE、CD,则下列一定正确的是（）A.BE=DCB.AD/CEC.BE!CED.BE=CE8 .如图，等边三角形ABE与等边三角形AFC共点于A,连接BF、CE,贝NEOB的度数为（）A.45°B.60°C.90°D.120°9 .如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ND=90©,E、F分别是边BC、CD上的点，且ZEAF=-ZBAD0则下列一定正确的是（）2A.EF=BEFDB.EFBEFDC.EF二BEFDD.EF2=B

19、E2FD210 .在正方形ABC碑,BE=3,EF=5,D巳4,则/BA4/DCF（）A.45°B.60°C.90°D.120°五、寻找全等三角形的几种方法利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等.在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论.下面介绍寻找全等三角形的几种方法，供同学们参考.一、利用公共角例1如图1,AB=ACAE=AF求证：ZB=/C.分析：要证明/B=/C,只需证明BO隼ACOF或AABHACE而由图形可知/A是公共角，又由已知条件AB=ACAE=A

20、F,所以4AB图AACE于是问题获证.二、利用对顶角（题目中的隐含条件）例2如图2,B、E、F、D在同一直线上，AB=CDBE=DFAE=CF,连接AC交BD于点Q求证：AO=CO分析：要证明AO=CO只需证明AO富ACOF或AOB2COD即可.根据现有条件都无法直接证明.而由已知条件AB=CDBE=DFAE=CF可直接证明ABEEACDF则有/AEB=/CFD进而有/AEO=/CFO|禾U用对顶角相等，即可证明。三、利用公共边（题目中的隐含条件）例3如图3,AB=CDAC=BD求证：/B=/C.分析：设AC与BD交于点Q此时/B与/C分别在4AO序口ADOC中，而用现有的已知条件是不可能直接

21、证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形.此时可以连接AD那么AD是4ABD和4DCA的公共边，这本¥可以证明ABIDADCA四、利用相等线段中的公共部分例4如图4,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE求证：BE/DF分析：要证明BE/DF只需证明/BEC=/DFA此时可以转换为证明/AEB=/CFD进而证明AE乎ACFID五、利用等角中的公共部分例5如图5,已知/E=30°,AB=ADAC=AE,/BAE=/DAC求/C的度数.分析：已知/E=30°,要求/C,可考虑证明AB冬AADEE由/BAE=/DAC吉合图形可知/BAC=/DAE于是问题获解.六、利用互余或互补角的性质考点：同角或等角的余角相等例6如图6,已知/DCE=90°,/DAC=90°,BELAC于B,且DC=EC能否找出与ABAD相等的线段，并说明理由.分析：由于AC=ABfBC,可以猜想AC=ABfAD或BE=ABnAD,此时只需证明AD=BC即可.而事实上，用同角的余角相等可得到/DCA