上海高考数学试卷及答案理数

1、2012年上海高考数学(理科)试卷一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.计算：3_1=(i为虚数单位).1i2 .若集合Ax|2x10,Bx|x12,则AB=.3 .函数f(x)28sx的值域是.sinx14 .若n(2,1)是直线i的一个法向量，则i的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示).5 .在(x2)6的二项展开式中，常数项等于.x6 .有一列正方体，棱长组成以1为首项，目为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,，V),，则lim(V1V2Vn).n7 .已知函数f(x)e|xa|(a为常数).若f(x)在区间1,+)上是增函数，则a的取值范围是.8 .若一个圆锥的侧面展开

2、图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为.9 .已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2,则g(1).10 .如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角l言.若将l的极坐标方程写成f()的形式，则/一OMxf().-11 .三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).12 .在平行四边形ABCW,/A=百，边ABAD的长分别为2、1.若MN分别是边BGCD上的点，且满足IBMJLCNJ,则丽AN的取值范围是.|BC|GD|13 .已知函数yf(x)的图像是折线段ABC若中A(

3、0,0),BG，5),qi,0).函数yxf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为.14 .如图，AgBC是四面体ABC碑互相垂直的棱，BC2弋、若ADac,且AB+BD=AC+C2a=其中a、c为C常数，则四面体ABCD勺体积的最大值是ABA二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15 .若1近i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则()(A)b2,c3.(B)b2,c3.(C)b2,c1.(D)b2,c1.16 .在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C,贝ABC的形状是()(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)钝角三角形.(D)不能确定.17 .设10x1x2x

4、3x4104,x5105.随机变量1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2,随机变量2取值号、一、皇、丫、十的概率也为0.2.若记D1、D2分别为1、2的方差，则()(A)D1>D2.(B)D1=D2.(C)D1VD2.(D)D1与D2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关.18 .设a。：sin%,Sn&a2%.在SS,S00中，正数的个数是()满分(A)25.(B)50.三、解答题(本大题共有5题,19 .如图，在四棱锥P-ABC碑，底面ABC0矩形，PAL底面ABCDE是PC的中点.已知AB=2,AD=2<2,PA=2.求：(1)三角形PCD勺面积；(

5、6分)(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)20 .已知函数f(x)lg(x1).(1)若0f(12x)f(x)1,求x的取值范围；(6分)(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x)f(x),求函数yg(x)(x1,2)的反函数.(8分)21 .海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：失事船的移动路径可视为抛物线y49x2；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t0.5时，

6、写出失事船所在位置P的纵坐标.两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？(8分)22 .在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x2y21.(1)过Ci的左顶点引Ci的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积；(4分)(2)设斜率为1的直线l交Ci于P、Q两点，若l与圆x2y21相切，求证：OPLOQ(6分)(3)设椭圆C2：4x2y21.若MN分别是Ci、C2上的动点，且OMLON求证：O到直线MN勺距离是定值.(6分)23 .对于数集X1,x1,x2,xn,其中0x1x2xn,n2,定义向量集Ya|a(s,

7、t),sX,tX.若对于任意a1Y,存在02Y,使得01a20,则称X具有性质P.例如X1,1,2具有性质P.(1)若x>2,且1,1,2,x,求x的值；(4分)(2)若X具有性质P,求证：1X,且当xn>1时，x1=1;(6分)(3)若X具有性质P,且义=1,x2=q(q为常数)，求有穷数列x,x2,xn的通项公式.(8分)2012年上海高考数学(理科)试卷解答一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.计算：3_=1-2i(i为虚数单位).1i2.若集合Ax|2x10,Bx|x12,则AB=(-J,3).6.若将l的极坐标方程写成f()的形式，则f().11 .三位同学参加跳

8、高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是I(结果用最简分数表示).12 .在平行四边形ABCW,/A=有，边ABAD的长分别为2、1.若MN分别是边BGCD上的点，且满足LBMJ画，则AMAN的取值范围是2,5.|BC|GD|13 .已知函数yf(x)的图像是折线段ABC若中A(0,0),B(4,5),C(1,0).函数yxf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为14 .如图，AgBC是四面体ABC碑互相垂直的棱，BC2若ADac,且AB+BD=AC+C2a=其中a、c为常数，则四面体ABCD勺体积的最大值是|cva2c21.二、选择

9、题(本大题共有4题，满分20分)15 .若1V2i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则(B)2,c1.(D)(C)(C)钝角三角x3、x4、x5的(A)b2,c3.(B)b2,c3.(C)bb2,c1.16 .在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C,贝ABC的形状是(A)锐角三角形.(B)直角三角形.形.(D)不能确定.17 .设10x1x2x3x4104,x5105.随机变量1取值x1、x2、概率均为0.2,随机变量2取值一、W、一、一、符的概率也为0.2.若记D1、D2分别为1、2的方差，则(A)(A)D1>D2.(B)D1=D2.(C)D1<D2.(D)D1

10、与D2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关.18 .设an(sinn,Sn&a2%.在SS,S00中，正数的个数是(D)(A)25.(B)50.(C)75.(D)100.三、解答题(本大题共有5题，满分74分)px19 .如图，在四棱锥P-ABCDK底面ABCDO巨形，；,PAL底面ABCDE是PC的中点.已知AB=2,二、AD=2<2,PA2求：AAV7/D(1)三角形PCD勺面积；(6分)B(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)C解(1)因为PA1底面ABCD所以PZCD又ADLCD所以CDL平面PAD从而CD!PD3分因为PD=22(2口)22<3,

11、C*2,所以三角形PCD勺面积为J2232”3.(2)解法一如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0),C(2,2口0),E(1,、.2,1)/AE(1,诉,1),BC(0,2R0).设AE与bc的夹角为cos-E-BC4-|AE|BC|22,j2由此可知，异面直线解法二取PB中点C8AxBC与AE所成的角的大小是7F,连接EFAF,则12分EF/BC从而/AEF(或其补角)是异面BC与AE所成的角在AEF中，由EF=9、AF=/、AE=知AEF是等腰直角三角形,所以/AEF：”.8分DA因此异面直线BC与AE所成的角的大小是420.已知函数f(x)lg(x1).(1)若0f(12x)f

12、(x)1,求x的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0xyg(x)(x1,2)的反函数.(8分)(6分)1时,有g(x)12分f(x),求函数解(1)由0因为x1lg(2x1230/曰“,得102x)lg(x0,所以x11得fx31)1lg2资1得12x10x22xx110,10.23(2)y1,2g(x)g(x由单调性可得因为x310时，2-x0,1,因此2)g(2x)f(2x)lg(3x).y0,lg2.y,所以所求反函数是y310x,0,lg2.10分14分21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为

13、单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：失事船的移动路径可视为抛物线y%x2;定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救_援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为.一OAI八8分)(1)当t0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若止邹两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？(解(1)t0.5时，P的横坐标Xp=7t上代入抛物线方程y49x2中，得P的纵坐标yp=3.2分由|AR=苧，得救援船速度的大小为/函9海里/时.4分由tan/OAP342370，得/OAParctan，故救援船速度的方向为北偏东arct

14、an30弧度.6分(2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2).由vt(7t)2(12t212)2整王里徨v2144(t21)33710公V(fl)(),土巨之士|寸V(ty)。/.因为t252,当且仅当t=1时等号成立，所以V21442337252,即v25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.14分22.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x2y21.(1)过G的左顶点引&的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(4分)(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2y21相切，求证：OP

15、LOQ(6分)(3)设椭圆C2：4x2y21.若MN分别是C1、C2上的动点，且OMLON求证：O到直线MN勺距离是定值.(6分)解(1)双曲线c圣y21,左顶点A(子，0),渐近线方程：y<2x.22.过点A与渐近线yV2x平行的直线方程为yV2(x噂)，即yV2x1.解方程组y平，得x5.2分y.2x1y2所以所求三角形的面积1为s4|OA|y|摒.4分(2)设直线PQ勺方程是yxb.因直线与已知圆相切，故号1,即b22.6分2由y2x2b，得x22bxb210.2x2y21设P(x1,y1)、Qx2,y2),则x1x222b.x1x2b1又2,所以_2_22_2(b1)b2bbb2

16、0,故OPLOQ10分(3)当直线ONg直于x轴时，|ON=1,|O的零，则O到直线MN勺距离为手.当直线。垂直于x轴时，设直线ON勺方程为ykx(显然|k|字)，则直线OM勺方程为y".由丫2kX2，得4x2y212同理|OM|2呆72x2y14J,所以|ON|24k21k24k2设O到直线MN勺距离为113k23|OM|2|ON|2k21d,因为(|OM|23,即d=3.313分一22一2一2|ON|2)d2|OM|2|ON|2,综上,23.对于数集XYa|a(s,t),sO到直线MN勺距离是定值.1,X1,X2,Xn,其中0X1X,tX.若对于任意alX2存在a216分n2,定

17、义向量集丫，使得aia20,则称X具有性质P.例如X1,1,2具有性质P.(1)若X>2,且1,1,2,x,求X的值；(4分)(2)若X具有性质P,求证：1X,且当Xn>1时，X1=1;(6分),Xn的通(3)若X具有性质P,且X1=1,X2=q(q为常数)，求有穷数列x1,x2,项公式.(8分)解(1)选取a1(x,2),Y中与a1垂直的元素必有形式(1,b).2分所以x=2b,从而x=4.4分(2)证明：取a1(x1,x1)Y.设a2(s,t)Y满足a；a；0.由(st)x10得st0,所以s、t异号.因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1,另一为1,故1X.7分假设

18、Xk1,其中1kn,则0X11Xn.选取a1(4xn)y,并设a2(s,t)y满足与点。，即sx1txn0,则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为-1.若s=-1,则2,矛盾；若t=-1,则XnsX1sXn,矛盾.所以X1=1.10分(3)解法一猜测xqi1,i=1,2,，n.12分记A1,1,X2,Xk,k=2,3,，n.先证明：若A-具有性质P,则A也具有性质P.任取a(s,t),s、tAk.当s、t中出现-1时，显然有a2满足£a20；当s1且t1时，s、t>1.因为Ak1具有性质P,所以有a(s1,t1),S、LAk1,使得£00,从而s1和t中有一个是-1,不妨设s1=-1.假设t1A.1且tAk,则t141.由(s,t)(1,Xk1)0,得stXk1Xk1,与s入矛盾.所以tAk.从而人也具有性质P.15分现用数学归纳法证明：Xiqi1,i=1,2,n.当n=2时，结论显然成立;假设n=k时，Ak1,1,X2，,Xk有性质P,则xqi1,i=1,2,，k；当n=k+1时，若Ak11,1,X2,Xk,Xk1有性质P,则Ak1,1,X2,Xk也有性质P,所以Ak11,1,q,qk1,Xk1.取（Xkq）