一元二次方程应用题经典题型汇总含答案~

1、z一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意，得200(120%)(1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,解这个方程，得xi=0.l,x2=2.1(舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2=n求解，其中mvn.对于负的增长率问题，若经过两次相等

2、下降后，则有公式m(1-x)2=n即可求解，其中m>n.二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出(35010a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a21)(35010a)=400,整理，得a2-56a+775=0,解这个方程，得a1=25,82=31.因为21X1+20%)=25.2,所以82=31不合题意，舍去.所以350108=35010X25=100(件).答需要进货100件，每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的

3、重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得1000(1+x)500(1+0.9x)=530.整理，得90x2+145x3=0.解这个方程，得x产0.0204=2.04%,x2=1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2=1.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.0

4、4%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、趣味问题例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得2仅+0.1+x+1.4+0.1)x=1.8,整理，得x2+0.8x-1.8=0.解这个方程，得x1=1.8(舍去)，x2=1.所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.

5、5.答渠道的上口宽2.5m,渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解五、古诗问题例5读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.则根据题意，得x2=10(x-3)+x,即x2-iix+30=0,解这个方程，得x=5或x=6.当x=5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x=6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36

6、岁.六、象棋比赛例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979,1980,1984,1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n1)个选手比赛一局，共计n(n1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为nn(n1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n1)分.显然(n1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是197

7、9,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n(n1)=1980,得n2-n-1980=0,解得n1=45,n2=44(舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000>25=25000V27000,所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得100

8、020(x25)x=27000.整理，得x275X+1350=0,解这个方程，得xi=45,X2=30.当x=45时，100020(x25)=600<700,故舍去xi；当x2=30时，100020(x25)=900>700,符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论八、等积变形例8将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案2（如图

9、3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.2解者B能.（1）设小路宽为x,则18x+16xx2=3M8M5,即x234x+180=0,34解这个方程，得x=2，即x6.6.2（2）设扇形半径为r,则3.14r2=3><18x15,即r257.32,所以r=7.6.明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等九、动态几何问题例9如图4所示，在ABC中，/C=90?/SPAN>,AC=6cm,BC=8cm，点P从点A出发沿边AC

10、向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8平方厘米?(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由因为/C=90?/SPAN>,所以AB=Jdc2MC2=d*+S2=10(cm)(1)设xs后，可使PCQ的面积为8cm2,所以AP=xcm,PC=(6x)cm,CQ=2xcm.则根据题意，得(6x)2x=8.整理，得x26x+8=0,解这个方程，得xi=2,x2=4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使PCQ的面积为

11、8cm2.(2)设点P出发x秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半.111则根据题意，得2(6x)2x=2x2X6X8.整理，得x2-6x+12=0.由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程=速度x时间.十、梯子问题例10一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1)若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米？(2)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米？(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解依题意，梯子的顶端距

12、墙角6*=8(m).(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2=102,整理，得x2+12x15=0,解这个方程，得x产1.14,X2=13.14（舍去），所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程（8x），（6+1）2=100.整理，得x216X+13=0.解这个方程，得x1=0.86,x2=15.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.则根据勾股定理，列方程（8

13、x）2+（6+x）2=102,整理，得2x24x=0,解这个方程，得x1=0（舍去），x2=2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航.一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰

14、的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到0.1海里)解(1)F位于D的正南方向，则DFLBC.因为ABXBC,D为AC的中点，所以DF=2aB=100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.(2)设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，EF=AB+BC(AB+BE)-CF=(3002x)海里.在RtADEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2,整理，得3x2-1200x+100000=0.lOtK/610(K/6解这个方程，得x1=2003118.4,x2=200+3(不合题意，舍

15、去).所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12如图6所示，正方形ABCD的边长为12,划分成12X12个小正方形格，将边长为n(n为整数，且2WnW11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n为的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的nM个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n1)x(n1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：(1)由于正方形纸片边长n的

16、取值不同，浣成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表:纸片的边长n23456使用的纸片张数（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为Si,未被盖住的面积为S2.当n=2时，求Si：S2的值;是否存在使得Si=S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由图6解（1）依题意可依次填表为:11、10、9、8、7.(2)&=n，(12n)n2(n1)2=n，25n12.当n=2时，S1=-22+25X2-12=34,S2=12X1234=110.所以S1：S2=34：110=17：55.1若S1=S2,则有n2+25n12=2x122,即n225n+84=0,解

17、这个方程，得n1=4,n2=21（舍去）.所以当n=4时，$=S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由.解(1)设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段

18、为(20x)cm.则根据题意，得=17,解得Xi=i6当x=16时，20x=4,当x=4时，20x=16,答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.(2)不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm,则另一段为(20y)cm.则由题意得4)+4J=12,整理，得y2-20y+104=0,移项并配方，得(y-10)2=-4<0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.说明本题的第(2)小问也可以运用求根公式中的b24ac来判定若b2-4ac>0,方程有两个实数根，若b2-4ac<0,方程没有实数根，本题中的b24ac=16v0即无解.十四、平分几何图形的

19、周长与面积问题例14如图7,在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上，点F在月AB上.(1)若EF平分等月梯形ABCD的周长，设BE长为x,试用含x的代数式表示4BEF的面积；(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由Bek1U图7“，解(1)由已知条件得，梯形周长为12,高4,面积为28.过点F作FG±BC于G,过点A作AK±BC于K.12r则可得，

20、FG=5m,所以Szbef=BEFG=Xx2+5x(7<x<10).224(2)存在.由(1)得一5x2+5x=14,解这个方程，得xi=7,X2=5(不合题意，舍去)，所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7.(3)不存在.假设存在，显然有S.BEF：S多边形AFECD=1：2,21628即(BE+BF)：(AF+AD+DC)=1：2.则有一5x2+5x=3,整理，得3x224x+70=0,此时的求根公式中的b2-4ac=576-840<0,所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2=5时，并不属于7WxW10,应及时地舍去；三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十