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文档简介
1、行程问题一一环形路(教师版)一、【本讲知识点】在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题。 当二人(或物)同向运动就 是追及问题,追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和;当二人(或物)反向运动时就是相遇问题,相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。二、【本讲经典例题】【铺垫】如下图,两名运动员在沿湖周长为 2250米的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发,多少分钟后甲第1次追上乙?若两人同时同地反向出发,多少分钟后甲、乙第1次相遇?分析与解答:2250+ ( 250-200 ) =2250+50=45 (分钟),即45分钟后甲第1次追上
2、乙;2250+ (250+200) =2250+450=5 (分钟),即5分钟后甲、乙第 1次相遇.【例1】如下图,两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发,45分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向而跑,经过多少分钟后两人相遇?蜀。米/分分析与解答:根据图(1)用追及问题公式求出环形跑道的长,因从同一点出发,距离差 (250-200 ) X 45=2250 (米)。同理,在环形跑道上,若反向而行,从同一点出发两人相遇所经过的路程和 如图( 2), 2250+ ( 250+200) =5 (分钟)即经过 5分钟两人相遇。【随堂练习1】如
3、下图,两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑=跑道长。=跑道长。250米,乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发, 跑,经过多少分钟后两人相遇?54分钟后甲追上乙。如果两人同时同地反向而200米,分分析与解答:具体分析见例题。环形跑道周长:(250-200 ) X 54=2700 (米),两人相遇时间:2700+ ( 250+200) =2700+450=6 (分钟), 即经过6分钟后两人相遇。【拓展】甲、乙两运动员在周长为 400米环形跑道上同向竞走, 已知乙的平均速度是每分钟 80米,甲的平均速度是乙的 1.25倍,甲在乙前面100米处。问几分钟后,甲第一次追上乙? 分析与解答
4、:具体分析过程略。15分钟。【铺垫】下图是一个圆形中央花园,A、B是直径的两端,小军在 A点,小勇在B点,同时出发相向而行。他俩第 1次相遇时,小军走了 50米,当他们第2次相遇时,小军走了多少 米?分析与解答:第1次相遇,俩人合起来走了半周长,从 1次相遇开始到第2次相遇两人共走了一周长,两次共走了一周半。 所以,小军从开始到第2次相遇走了 50米的3倍,即走了 50X3=150 (米)。【例2】如下图,是一个圆形中央花园, A、B是直径的两端,小军在 A点,小勇在B点, 同时出发相向而行。他俩第 1次在C点相遇,C点离A点有50米;第二次在D点相遇,D 离B有30米。问这个花园一周长多少米
5、?分析与解答:第1次相遇,俩人合起来走了半周长,从 C点开始第2次在D点相遇两人共 走了一周长,两次共走了一周半。小军从A O D走了 50米的3倍,即走了 50X 3=150(米)。 去掉BD之间的距离,就是半个圆周的长,所以一周的长度为(150-30) X 2=240 (米)。【随堂练习2】如下图,A、B是圆直径的两端点,亮亮在点A,明明在点B,相向而行。他们在C点第一次相遇,C点离A点100米;在D点第二次相遇,D点离B点80米。求 圆的周长。BHU米分析与解答:具体分析过程见例题。440米。【拓展】如下图,在一圆形跑道上。小明从 A点,小强从B点同时出发,相向行走。6分钟后,小明与小强
6、相遇,再过 4分钟,小明到达 B点,又再过8分钟,小明与小强再次相分析与解答:这是一个相遇问题,因为两人6分钟相遇,且再过 4分钟小明到达 B点,所以,小明走 4分钟的路程相当于小强走 6分钟的路程。从第一次相 遇到再相遇小明走了 4+8=12分钟,当然小强也走了 12分钟,但他走的路程只相当于小明 走8分钟的路程,再次相遇,一定是两人合走了一圈,因此小明走一圈需12+8=20分钟。【铺垫】如下图三个环形跑道相切排列,每个环形跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发,甲爬虫绕 1、2号环行跑道作“ 8”字型循环运动, 乙爬虫绕3、2号环行跑道作“ 8”字型循环运
7、动,已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟17.5厘米。问:甲、乙两只爬虫多少分钟后第 次相遇?分析与解答:由题意可知,甲、乙爬虫第一次相遇走的距离是一周半,即210+210 + 2=315厘米。所以第一次相遇所用时间为315+ (17.5+17.5 ) =9 (分钟)。【例3】如下图三个环形跑道相切排列,每个环形跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发,甲爬虫绕1、2号环行跑道作“ 8”字型循环运动,乙爬虫绕3、2号环行跑道作“ 8”字型循环运动,已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟 17.5厘米。问:甲、乙两爬虫多少分钟后第二次相遇?分析与解答:解法一:由“铺垫”
8、知,甲、乙两爬虫第次相遇用9分钟。又知甲、乙两爬虫从第一次相遇到第二次相遇又走了一个圆周。所以第次相遇到第二次再相遇所用时间为:210+ (17.5+17.5 ) =210+35=6 (分钟)。即甲、乙两爬虫用15 (9+6=15)分钟后第二次相遇。解法二:因为甲、乙两爬虫的速度一样,所以,甲、乙两爬虫第二次相遇时,甲、乙爬5 一 5虫分别爬了 一周,即210X =262.5厘米。262.5+ 17.5=15 (分钟),即甲、乙两爬虫15分44钟后第二次相遇。注:这种解法用到了小数和分数的乘除法知识,超出了五年级学生的认知水平。【随堂练习3如下图,三个环形跑道相切排列。甲、乙两只爬虫分别从A、
9、B两地按箭头所示方向出发,甲爬虫绕 1、2号环行跑道作“ 8”字型循环运动,乙爬虫绕 3、2号环行跑 道作“8”字型循环运动,已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟20厘米,甲、乙两只爬虫爬行20分钟后第二次相遇,问每个环形跑道的周长为多少厘米?分析与解答:甲、乙两爬虫第二次相遇总爬行的距离为:(20+20) X 20=800 (厘米)由题意及图可知:甲、乙两爬虫第二次相遇时,共爬行的距离为5个半周长。所以每个环形跑道的周长为:800+5X 2=320 (厘米)。【拓展】如下图,三个环行跑道相切排列,每个环行跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发,甲爬虫绕1、2号
10、环行跑道作“8”字型循环运动,乙爬虫绕3、2号环行跑道作“ 8”字型循环运动,已知甲、乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。问甲、乙两爬虫第二次相遇时,甲爬虫爬了多少厘米? 分析与解答:具体分析过程略。300厘米。【铺垫】 有一条长500米的环形跑道,小军从跑道上某一点出发逆时针跑步,他总共跑了5525米。问:小军是在离起点多少米处停下来的?分析与解答: 因为5525+500=1125 (米),所以5525米相当于11圈余25米,即小军是 在离起点25米处停下来的。例4甲、乙从360米的环行跑道上的同一地点同向跑步。甲每分钟跑305米,乙每分钟跑275米。两人起跑后,第一次相遇在离起点多
11、少米处?分析与解答:甲第一次追上乙需用时间 360+ ( 305-275 ) =360+30=12 (分),第一次相遇甲跑的路程 305X 12=3660 (米),3660米相当于10圈60米(3660-360=10- -60),所以第一次相遇在离起点60米处。【随堂练习4甲、乙从1740米的环行跑道上的同一地点反向跑步。甲每分钟跑 300米,乙每分钟跑280米。两人同时起跑后,第一次相遇在离起点多少米处?分析与解答: 甲、乙第一次相遇用时间1740+ ( 300+280) =1740+580=3 (分钟),相遇时乙跑的路程 280X 3=840 (米)。(注:椭圆上两点间的距离是短弧的长)所
12、以第一次相遇离 起点840米。【拓展】如下图,沿着长为 70米的正方形,按逆时针方向,甲从A出发,每分钟走65米,乙从B出发,每分钟走72米。当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上?DB'C乙分析与解答:由题意可知,这是乙追甲的追及问题。因此甲在乙前方70X3=210米。乙第一次追上甲时用时间:210+ (72-65 ) =210+7=30(分钟)。乙追上甲时形的路程:72 X 30=2160 (米)。2160= (4X 7+2) X 70+60 (米),即,乙走了 4圈后又跑了两条边 BG CD,在AD距D点60米处追上甲。故,乙第一次追上甲时是在AD边上。【铺垫】甲、乙两名运动员
13、的速度和是800米/分,速度差是100米/分,且已知甲运动员比乙运动员跑得快,问甲、乙两名运动员的速度各是多少?分析与解答:甲运动员的速度:(800+100) + 2=450米/分,乙运动员的速度:(800-100) + 2=350米/分。例5有一条长500米的环行跑道。甲、乙两人同时从跑道上某一点出发,反向而跑,1分钟后相遇;如果两人同向而跑,则 10分钟后相遇。已知甲跑的比乙快。问甲、乙两人每分钟各跑多少米?分析与解答:甲、乙的速度和为 500+ 1=500米/分。甲、乙的速度差为 500+ 10=50米/分, 所以甲的速度为(500+50) + 2=275米/分,乙的速度为 500-27
14、5=225米/分。【随堂练习5有一条沿湖的环行跑道长1120米。甲、乙两人同时从跑道上某一点出发,如果同向而跑,25分钟相遇;如果两人反向而跑则2分钟后相遇。又已知乙比甲跑得快。问甲、乙每分钟各跑多少米?分析与解答:甲、乙两人的速度差 1120+28=40米/分,甲、乙两人的速度和1120 + 2=560 米/分.又因为乙比甲跑得快,所以,甲的速度:(560-40 ) + 2=260米/分;乙的速度:(560+40) + 2=300米/分.【拓展】一个圆的周长90厘米,甲、乙两只爬虫从同一地点同时爬行,若反向而爬, 10分钟后相遇;若同向而爬,90分钟后相遇。又已知甲爬虫比乙爬虫爬得快。问甲、
15、乙两爬虫每秒钟各爬多少米?分析与解答:具体分析过程见例题。甲爬虫 5厘米/秒,乙爬虫4厘米/秒。【铺垫】小明从A点出发,沿400米环行跑道行走,每分钟走80米,问小明第二次出现在A点时用多少分钟?(不算起始时在A点)分析与解答:小明第一次出现在 A点用时间:400+80=5 (分钟),所以第二次出现在 A点用时间:5X2=10 (分钟),【例6】甲、乙两人同时从 A点反向出发,沿 400米环行跑道行走,甲每分钟走 80米,乙每分钟走50米,这两人至少用多少分钟再在A点相遇?分析与解答:甲第一次出现在 A点用时间400+80=5 (分钟),以后每隔5分钟就会出现在A点一次;乙第一次出现在 A点用
16、时间400+50=8 (分钟),以后每隔8分钟就会出现在 A 点一次。如下表:凑L次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次甲出现 在A点时 间(分)5101522025303540乙出现 在A点时 间(分)81624340485664由上表可知,当40分钟时,甲、乙同时第一次出现在A点。注:此题也可用最小公倍数的知识解答。【随堂练习6】有一条长480米的环行跑道,甲、乙两人同时从跑道上的 A点同向出发行走,甲每分钟走60米,乙每分钟走80米。这两人至少用多少分钟再在A点相遇?分析与解答:具体分析过程见例题。甲回到A点用的时间:480+60=8 (分钟);乙回到A点用的时间:480 + 80
17、=6 (分钟)。8和6的最小公倍数是 24.故,这两个人至少 24分钟用再在 A点相遇。【拓展】有甲、乙、丙三个人,甲每分钟走120米,乙每分钟走100米,丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟后,三个人又可以相聚?分析与解答:设X分钟后,三人又可以相聚。由题意知,甲、乙相聚时,他们行走的路程差恰好是300米的整数倍,即(120 100) x X=300n ( n 是正整数)类似的有(12070) x X=300m(m是正整数)(10070) X X=300p (p 是正整数)解得,X=15n;, X=6m, X=10p;要想三人再次相聚,
18、X必是15、6、10的公倍数,取他们的最小公倍数15、 10、 6 =30即,30分钟后三人再次相聚。【铺垫】小红在400米长的环行跑道上跑了一圈,已知她前一半时间每秒跑4米,后一半时间每秒跑6米,那么小红跑一圈需要多长时间?分析与解答:小红跑一圈所用时间的一半是400+ (4+6) =40 (秒),所以小红跑一圈需要 40X 2=80 (秒)。【例7】 小明在 360 米长的环行跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑5 米,后一半时间每秒跑4 米,那么小明后一半路程用了多长时间?分析与解答:小明前一半时间:360+ ( 5+4) =40 (秒),小明前一半时间跑的路程:5X40=200 (米
19、),小明后一半时间跑的路程:4X40=160 (米)。所以小明后一半路程的180米(360+2=180)中,前20米( 180-160=20)的速度是5米 /秒,剩余的160 米路程的速度是4 米 /秒。故小明后一半路程用的时间为20+5+160+4=4+40=44 (秒)。【随堂练习7】 一条环行跑道长30 千米,一辆汽车沿着该跑道跑了一圈。已知该汽车前一半时间每分钟跑2 千米; 后一半时间每分钟跑1 千米,那么该汽车前一半路程用了多少分钟?分析与解答:该汽车前一半时间30+ (2+1) =10 (分钟),该汽车前一半时间跑的路程2X 10=20 (千米),该汽车后一半时间跑的路程1X10=
20、10 (千米),所以,该汽车前一半路程15千米(30+2=15)所用的速度都是 2千米/分。故,该汽车前一半路程用的时间为15+2=7.5 (分)。【拓展】 绕湖一周30 千米, 小刘绕湖走了一周,已知他前一半的时间的速度是4 千米/小时,后一半的时间的速度是6 千米/小时,那么小张前一半路程用多少时间?分析与解答:具体分析见例题。3.5 小时。【铺垫】在周长为200 米的圆形跑道上一条直径的两端,甲、乙两人分别以6 米 /秒、5 米 /秒的速度同时同向出发,沿跑道行进。问:6 分钟内,甲能否追上乙两次?分析与解答:甲第一次追乙时相距:200 + 2=100 (米)。故,甲第一次追上乙用的时间
21、:100+ ( 6-5) =100 (秒);甲第二次追乙时相距:200 米。故,甲第二次追上乙用的时间:200 + ( 6-5) =200 (秒)。200+100=300秒=5分钟 6分钟。所以,6分钟内,甲能追上乙两次。【例8】 在周长为200 米的圆形跑道一条直径的两端,甲、乙两人分别以6 米 /秒,5 米 /秒的速度同时同向出发,沿跑道行驶。问:16 分钟内,甲追上乙多少次?分析与解答:由“铺垫”知,甲第 1 次追上乙所用的时间是100 秒。甲第二次追上乙所用的时间200+ ( 6-5) =200秒,且以后每隔 200秒追上一次。又, 16 分钟 =960 秒,除去甲第1 次追上乙用去1
22、00 秒,剩余的时间内甲又追上乙4 次(960-100 ) + 200=860+ 200=460。故, 16 分钟内,甲追上乙5 次。【随堂练习8】 在周长 400 米的圆形跑道一条直径的两端,李明与王军分别以4 米 /秒,5 米/秒的速度同时同向出发前行。问20 分钟内,两人相遇多少次?分析与解答:第1次相遇用的时间:400+2+ (5-4 ) =200秒;第2次相遇用的时间:400+ ( 5-4) =400秒,且以后每隔400秒相遇一次。又,20 分钟=1200 秒,(1200-200 ) + 400=2 -200 秒。故, 20 分钟内两人相遇了2+1=3次。【拓展】在 400 米环行跑道上,A、 B 两点相距100 米。甲、乙两人分别从A、 B 两点同时出发,按逆时针方向跑步。 甲每秒跑5米,乙每秒跑4米。问30分钟内,甲追上乙多少次? 分析与解答:甲第一次追上乙用的时间: 100+ ( 5-4) =100 (秒) 甲第二次追上乙
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