最新行程问题——环形路(教师版)

1、行程问题一一环形路（教师版）一、【本讲知识点】在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题。 当二人（或物）同向运动就 是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。二、【本讲经典例题】【铺垫】如下图，两名运动员在沿湖周长为 2250米的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第1次追上乙？若两人同时同地反向出发，多少分钟后甲、乙第1次相遇？分析与解答：2250+ （ 250-200 ） =2250+50=45 （分钟），即45分钟后甲第1次追上

2、乙；2250+ （250+200） =2250+450=5 （分钟），即5分钟后甲、乙第 1次相遇.【例1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？蜀。米/分分析与解答：根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差 （250-200 ） X 45=2250 （米）。同理，在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和 如图（ 2）, 2250+ （ 250+200） =5 （分钟）即经过 5分钟两人相遇。【随堂练习1】如

3、下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑=跑道长。=跑道长。250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发, 跑，经过多少分钟后两人相遇？54分钟后甲追上乙。如果两人同时同地反向而200米，分分析与解答：具体分析见例题。环形跑道周长：（250-200 ） X 54=2700 （米），两人相遇时间：2700+ （ 250+200） =2700+450=6 （分钟）， 即经过6分钟后两人相遇。【拓展】甲、乙两运动员在周长为 400米环形跑道上同向竞走， 已知乙的平均速度是每分钟 80米，甲的平均速度是乙的 1.25倍，甲在乙前面100米处。问几分钟后，甲第一次追上乙？ 分析与解答

4、：具体分析过程略。15分钟。【铺垫】下图是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在 A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第 1次相遇时，小军走了 50米，当他们第2次相遇时，小军走了多少 米？分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从 1次相遇开始到第2次相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。 所以，小军从开始到第2次相遇走了 50米的3倍，即走了 50X3=150 （米）。【例2】如下图，是一个圆形中央花园， A、B是直径的两端，小军在 A点，小勇在B点， 同时出发相向而行。他俩第 1次在C点相遇，C点离A点有50米；第二次在D点相遇，D 离B有30米。问这个花园一周长多少米

5、？分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从 C点开始第2次在D点相遇两人共 走了一周长，两次共走了一周半。小军从A O D走了 50米的3倍，即走了 50X 3=150（米）。 去掉BD之间的距离，就是半个圆周的长，所以一周的长度为（150-30） X 2=240 （米）。【随堂练习2】如下图，A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A,明明在点B,相向而行。他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米。求 圆的周长。BHU米分析与解答：具体分析过程见例题。440米。【拓展】如下图，在一圆形跑道上。小明从 A点，小强从B点同时出发，相向行走。6分钟后，小明与小强

6、相遇，再过 4分钟，小明到达 B点，又再过8分钟，小明与小强再次相分析与解答：这是一个相遇问题，因为两人6分钟相遇，且再过 4分钟小明到达 B点，所以，小明走 4分钟的路程相当于小强走 6分钟的路程。从第一次相 遇到再相遇小明走了 4+8=12分钟，当然小强也走了 12分钟，但他走的路程只相当于小明 走8分钟的路程，再次相遇，一定是两人合走了一圈，因此小明走一圈需12+8=20分钟。【铺垫】如下图三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕 1、2号环行跑道作“ 8”字型循环运动, 乙爬虫绕3、2号环行跑道作“ 8”字型循环运

7、动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟17.5厘米。问：甲、乙两只爬虫多少分钟后第 次相遇？分析与解答：由题意可知，甲、乙爬虫第一次相遇走的距离是一周半，即210+210 + 2=315厘米。所以第一次相遇所用时间为315+ （17.5+17.5 ） =9 （分钟）。【例3】如下图三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“ 8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“ 8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟 17.5厘米。问：甲、乙两爬虫多少分钟后第二次相遇？分析与解答：解法一：由“铺垫”

8、知，甲、乙两爬虫第次相遇用9分钟。又知甲、乙两爬虫从第一次相遇到第二次相遇又走了一个圆周。所以第次相遇到第二次再相遇所用时间为：210+ （17.5+17.5 ） =210+35=6 （分钟）。即甲、乙两爬虫用15 （9+6=15）分钟后第二次相遇。解法二：因为甲、乙两爬虫的速度一样，所以，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲、乙爬5 一 5虫分别爬了 一周，即210X =262.5厘米。262.5+ 17.5=15 （分钟），即甲、乙两爬虫15分44钟后第二次相遇。注：这种解法用到了小数和分数的乘除法知识，超出了五年级学生的认知水平。【随堂练习3如下图，三个环形跑道相切排列。甲、乙两只爬虫分别从A、

9、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕 1、2号环行跑道作“ 8”字型循环运动，乙爬虫绕 3、2号环行跑 道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟20厘米，甲、乙两只爬虫爬行20分钟后第二次相遇，问每个环形跑道的周长为多少厘米？分析与解答：甲、乙两爬虫第二次相遇总爬行的距离为：（20+20） X 20=800 （厘米）由题意及图可知：甲、乙两爬虫第二次相遇时，共爬行的距离为5个半周长。所以每个环形跑道的周长为：800+5X 2=320 （厘米）。【拓展】如下图，三个环行跑道相切排列，每个环行跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号

10、环行跑道作“8”字型循环运动,乙爬虫绕3、2号环行跑道作“ 8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米? 分析与解答：具体分析过程略。300厘米。【铺垫】 有一条长500米的环形跑道，小军从跑道上某一点出发逆时针跑步，他总共跑了5525米。问：小军是在离起点多少米处停下来的？分析与解答： 因为5525+500=1125 （米），所以5525米相当于11圈余25米，即小军是 在离起点25米处停下来的。例4甲、乙从360米的环行跑道上的同一地点同向跑步。甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米。两人起跑后，第一次相遇在离起点多

11、少米处？分析与解答：甲第一次追上乙需用时间 360+ （ 305-275 ） =360+30=12 （分），第一次相遇甲跑的路程 305X 12=3660 （米），3660米相当于10圈60米（3660-360=10- -60）,所以第一次相遇在离起点60米处。【随堂练习4甲、乙从1740米的环行跑道上的同一地点反向跑步。甲每分钟跑 300米，乙每分钟跑280米。两人同时起跑后，第一次相遇在离起点多少米处？分析与解答： 甲、乙第一次相遇用时间1740+ （ 300+280） =1740+580=3 （分钟），相遇时乙跑的路程 280X 3=840 （米）。（注：椭圆上两点间的距离是短弧的长）所

12、以第一次相遇离 起点840米。【拓展】如下图，沿着长为 70米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？DB'C乙分析与解答：由题意可知，这是乙追甲的追及问题。因此甲在乙前方70X3=210米。乙第一次追上甲时用时间：210+ （72-65 ） =210+7=30（分钟）。乙追上甲时形的路程：72 X 30=2160 （米）。2160= （4X 7+2） X 70+60 （米），即，乙走了 4圈后又跑了两条边 BG CD,在AD距D点60米处追上甲。故，乙第一次追上甲时是在AD边上。【铺垫】甲、乙两名运动员

13、的速度和是800米/分，速度差是100米/分，且已知甲运动员比乙运动员跑得快，问甲、乙两名运动员的速度各是多少？分析与解答：甲运动员的速度：（800+100） + 2=450米/分，乙运动员的速度：（800-100） + 2=350米/分。例5有一条长500米的环行跑道。甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而跑，1分钟后相遇；如果两人同向而跑，则 10分钟后相遇。已知甲跑的比乙快。问甲、乙两人每分钟各跑多少米？分析与解答：甲、乙的速度和为 500+ 1=500米/分。甲、乙的速度差为 500+ 10=50米/分， 所以甲的速度为（500+50） + 2=275米/分，乙的速度为 500-27

14、5=225米/分。【随堂练习5有一条沿湖的环行跑道长1120米。甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，如果同向而跑，25分钟相遇；如果两人反向而跑则2分钟后相遇。又已知乙比甲跑得快。问甲、乙每分钟各跑多少米？分析与解答：甲、乙两人的速度差 1120+28=40米/分，甲、乙两人的速度和1120 + 2=560 米/分.又因为乙比甲跑得快，所以，甲的速度：（560-40 ） + 2=260米/分；乙的速度：（560+40） + 2=300米/分.【拓展】一个圆的周长90厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点同时爬行，若反向而爬， 10分钟后相遇；若同向而爬，90分钟后相遇。又已知甲爬虫比乙爬虫爬得快。问甲、

15、乙两爬虫每秒钟各爬多少米？分析与解答：具体分析过程见例题。甲爬虫 5厘米/秒，乙爬虫4厘米/秒。【铺垫】小明从A点出发，沿400米环行跑道行走，每分钟走80米，问小明第二次出现在A点时用多少分钟？（不算起始时在A点）分析与解答：小明第一次出现在 A点用时间：400+80=5 （分钟），所以第二次出现在 A点用时间：5X2=10 （分钟），【例6】甲、乙两人同时从 A点反向出发，沿 400米环行跑道行走，甲每分钟走 80米，乙每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A点相遇？分析与解答：甲第一次出现在 A点用时间400+80=5 （分钟），以后每隔5分钟就会出现在A点一次；乙第一次出现在 A点用

16、时间400+50=8 （分钟），以后每隔8分钟就会出现在 A 点一次。如下表：凑L次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次甲出现 在A点时 间（分）5101522025303540乙出现 在A点时 间（分）81624340485664由上表可知，当40分钟时，甲、乙同时第一次出现在A点。注：此题也可用最小公倍数的知识解答。【随堂练习6】有一条长480米的环行跑道，甲、乙两人同时从跑道上的 A点同向出发行走，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米。这两人至少用多少分钟再在A点相遇？分析与解答：具体分析过程见例题。甲回到A点用的时间：480+60=8 （分钟）；乙回到A点用的时间：480 + 80

17、=6 （分钟）。8和6的最小公倍数是 24.故，这两个人至少 24分钟用再在 A点相遇。【拓展】有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟后，三个人又可以相聚？分析与解答：设X分钟后，三人又可以相聚。由题意知，甲、乙相聚时，他们行走的路程差恰好是300米的整数倍，即（120 100） x X=300n （ n 是正整数）类似的有（12070） x X=300m（m是正整数）（10070） X X=300p （p 是正整数）解得，X=15n；, X=6m, X=10p；要想三人再次相聚，

18、X必是15、6、10的公倍数，取他们的最小公倍数15、 10、 6 =30即，30分钟后三人再次相聚。【铺垫】小红在400米长的环行跑道上跑了一圈，已知她前一半时间每秒跑4米，后一半时间每秒跑6米，那么小红跑一圈需要多长时间？分析与解答：小红跑一圈所用时间的一半是400+ （4+6） =40 （秒）,所以小红跑一圈需要 40X 2=80 （秒）。【例7】 小明在 360 米长的环行跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5 米，后一半时间每秒跑4 米，那么小明后一半路程用了多长时间？分析与解答：小明前一半时间：360+ （ 5+4） =40 （秒），小明前一半时间跑的路程：5X40=200 （米

19、），小明后一半时间跑的路程：4X40=160 （米）。所以小明后一半路程的180米（360+2=180）中，前20米（ 180-160=20）的速度是5米 /秒，剩余的160 米路程的速度是4 米 /秒。故小明后一半路程用的时间为20+5+160+4=4+40=44 （秒）。【随堂练习7】 一条环行跑道长30 千米，一辆汽车沿着该跑道跑了一圈。已知该汽车前一半时间每分钟跑2 千米； 后一半时间每分钟跑1 千米，那么该汽车前一半路程用了多少分钟？分析与解答：该汽车前一半时间30+ （2+1） =10 （分钟），该汽车前一半时间跑的路程2X 10=20 （千米），该汽车后一半时间跑的路程1X10=

20、10 （千米），所以，该汽车前一半路程15千米（30+2=15）所用的速度都是 2千米/分。故，该汽车前一半路程用的时间为15+2=7.5 （分）。【拓展】 绕湖一周30 千米， 小刘绕湖走了一周，已知他前一半的时间的速度是4 千米/小时，后一半的时间的速度是6 千米/小时，那么小张前一半路程用多少时间？分析与解答：具体分析见例题。3.5 小时。【铺垫】在周长为200 米的圆形跑道上一条直径的两端，甲、乙两人分别以6 米 /秒、5 米 /秒的速度同时同向出发，沿跑道行进。问：6 分钟内，甲能否追上乙两次？分析与解答：甲第一次追乙时相距：200 + 2=100 （米）。故，甲第一次追上乙用的时间

21、：100+ （ 6-5） =100 （秒）；甲第二次追乙时相距：200 米。故，甲第二次追上乙用的时间：200 + （ 6-5） =200 （秒）。200+100=300秒=5分钟 6分钟。所以，6分钟内，甲能追上乙两次。【例8】 在周长为200 米的圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以6 米 /秒，5 米 /秒的速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16 分钟内，甲追上乙多少次？分析与解答：由“铺垫”知，甲第 1 次追上乙所用的时间是100 秒。甲第二次追上乙所用的时间200+ （ 6-5） =200秒，且以后每隔 200秒追上一次。又， 16 分钟 =960 秒，除去甲第1 次追上乙用去1

22、00 秒，剩余的时间内甲又追上乙4 次（960-100 ） + 200=860+ 200=460。故， 16 分钟内，甲追上乙5 次。【随堂练习8】 在周长 400 米的圆形跑道一条直径的两端，李明与王军分别以4 米 /秒，5 米/秒的速度同时同向出发前行。问20 分钟内，两人相遇多少次？分析与解答：第1次相遇用的时间：400+2+ （5-4 ） =200秒；第2次相遇用的时间：400+ （ 5-4） =400秒，且以后每隔400秒相遇一次。又，20 分钟=1200 秒，（1200-200 ） + 400=2 -200 秒。故， 20 分钟内两人相遇了2+1=3次。【拓展】在 400 米环行跑道上，A、 B 两点相距100 米。甲、乙两人分别从A、 B 两点同时出发，按逆时针方向跑步。 甲每秒跑5米，乙每秒跑4米。问30分钟内，甲追上乙多少次？ 分析与解答：甲第一次追上乙用的时间： 100+ （ 5-4） =100 （秒） 甲第二次追上乙