数列通项公式的求法(较全)

1、常见数列通项公式的求法不同的信念，决定不同的命运公式:等差射列的定义£ -口一45之2)等差数列n(n -pd2等差数列的通项公式4 = % -等差数列的求和公式S*=(勺-4)=莽/-等差数列的性质q -4=口 - - 口/晒-林=中+ 7)等比数列的定义工=牙5之2)4-i等比数列的通项公式4三勺"7等比数列*(勺一口*厘_皿1 一 ,)等比数列的求和公式3- g =1)等比数列的性质久% = %<%<»< +林=广+ g)1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出ai与d或ai与q ,再代入公式 an = a1 + (n

2、-1 )d或 an =aiqn,中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上 2, 5, 13后成为等比数列bn的b3241b5,求数列bn的的通项公式.练习：数列an)是等差数列，数列4是等比数列，数列g中对于任何n乏N*都有, 八 127cn =an -bn,c1 =0,c2 = ,c3=，c4 =一，分别求出此二个数列的通项公式.69542、累加法形如ani-an = f (n 乂已知a1)型的的递推公式均可用累加法求通项公式.(1) 当f(n产d为常数时，an为等差数列，则an =a1+(n 1)d ；(2) 当f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由an书

3、一an = f(n y导当 n 之2时，an an=f (n 1)an= f (n-2)a3 -a2 = f (2 )a2 - a1 = f 11 以上(n -1斤等式累加得an = f n -1 +f n-2 III f 2 f 1an 二a1f n -1 +f n - 2 111f 2 f 1(3)已知a，an+-an = f (n ),其中f (n )可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通 项.若f (n)可以是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若f (n)可以是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若f (n )可以是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数

4、列求和；若f (n )可以是关于n的分式函数，累加后可裂项求和求和.例2、数列aj中已知a1 =1,an+ - an =2n - 3,求an的通项公式.练习1:已知数列an 满足 an+ = an +3n +2且a1 =2,求an.练习2：已知数列an中，a1 =1,an邛an =3n _2n,求&的通项公式11练习3：已知数列an 满足a1 =-，an4 =an+力，求求an）的通项公式2n n3、累乘法= f n/ 一 一形如an(已知&理的的递推公式均可用累乘法求通项公式.a给递推公式'±=f(n)(nuN+)中的n依次取1,2,3 , ,n1,可得到下

5、面n1个式子: an也=f 1 ,包=f 2 ,也=f 3 ,111,4=f n -1 .aa2a3an利用公式 an =a1 x2xa3x4x|x-an-,(an =0,nw n+ )可得：aa2 a3an 1an =A f 1 f 2 f 3 HI f n-1 .例3、已知数列 Qn满足a1 = 2,an =_n_ an求an.3 n 1 ，an n练习1：数列Qn中已知a1 =i,an土 =R工，求an的通项公式练习2：设Qn 是首项为1的正项数列，且(n+1)a2书na2+an书an =0 ,求an的通项公式4、奇偶分析法(1)对于形如an+ +an = f (n理的递推公式求通项公式

6、当an + +an =d(d为常数)时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为 2,其通项分奇数项和偶 数项来讨论. 当f(n)为n的 函 数 时，由an+an = f(n),an+an4=f(n1)两 式 相减，得 到an+1 - an 4 - f (n)-f (n-1),分奇偶项来求通项.例4、数列an满足a =1,an+ + an =4,求an的通项公式.练习：数列an满足a =6,an4+ a。= 6 ,求an 的通项公式例5、数列aj满足ai =0, an书+an =2n ,求Ln的通项公式练习1：数列an满足a1 =1,an书+an =n1,求an的通项公式练习2：数列an

7、满足为=2,an书+an =3n 1,求an的通项公式不同的信念，决定不同的命运(2)对于形如an4an = f (n理的递推公式求通项公式当an + an =d(d为常数 咫，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论.当f(n)为n的函数时，由an+an= f (n),anan=f (n 1)两式相除，得到an+1-二”n),分奇偶项an_if n-1来求通项.例6、已知数列an 满足ai =2自中an = 4 ,求an的通项公式.2, ,练习：已知数列满足ai =一,an书，an =-2 ,求值的通项公式.3,求an的通项公式.例7、已知数列an 满足

8、a1 =3,an书an练习1：数列an满足a =2,an平d =3n,求an的通项公式练习2：数列QJ满足ai =1的书a =2n,求an的通项公式5、待定系数法（构造法）若给出条件直接求 an较难，可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列，从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有：an书=pan +q（ p,q为常数 修an书+t = p（an +t），构造an +t为等比数列.an+ = pan+tp"（t,p为常数）一型则超当二 笔=驾十tp pnp- anp anan+ = pan+tq （t,p,q为吊数）F1 =n+t,冉参考类型（1）（3）q q q an

9、1 = pan qn r p,q, r是常数 一 an / ；in 1,=p an n and2 = pan+ + qan = an-2 -tan41 = p（an4 - tan J,构造等比数列 Qn 由tan）例8、已知数列 加中，a1 =1 , an =2an +3,求an.练习：已数列an中，ai =1且an书=1an+1,则an =.2例9、已知数列an中，a1 =3,an书=3an +3n*,求4的通项公式练习 1：已知数列an中，a1 =3,an =2an+2n,则 an =.2 n练习2：已知数列 QJ中，a1 =2,an. =3an+4 3n,求恒的通项公式3例10、已知数列

10、。满足为+=620+2日&=1,求21不同的信念，决定不同的命运练习 1：设数列 an满足 a1 =1,an4 =3an +2n,则 an =n1练习 2：已知数列an中，a1 = ,an. =-an + ' l ，求 an.632不同的信念，决定不同的命运练习3：已知数列 Qn(nw N*)的满足：a1 =1-3k,an=4n-1-3an_lc ,1 ,CI n _2,k ,k R 74n (1)判断数列«an -土是否成等比数列;7(2)求数列an的通项公式例11、数列an中已知ai =1,an#=2an+3n,求an的通项公式练习1 ：数列 匕中已知a1 =2,

11、an书=3ann+2 ,求an的通项公式练习2：数列an中已知a1 =2,an书=3an+2n2 n + 2 ,求an的通项公式不同的信念，决定不同的命运求求an的通项公式，令 bn = an书an。例12、已知数列an中，a =5,a2 =2,an =2an+3an/(n之3),求求an的通项公式练习 1：已知数列an中，a1 =1,a2 =2,an+2 =2an+1+1an ,33332练习 2：在数列an中，a1 =1 , 32=-, an = an邛+ 一553 求证：数列bn是等比数列，并求bn 。(2)求数列an的通项公式。不同的信念，决定不同的命运6、利用an与Sn的关系如果给出

12、条件是an与Sn的关系式,可利用ana1n = 1求解.Sn-Snj，n.2例13、已知数列an的前n项和为Sn =n2 2n+3,求an的通项公式.练习1：已知数列 Q的前n项和为Sn=1n2n+3,求 匕0的通项公式4练习2：若数列&的前n项和为Sn =3an_3,求an的通项公式21,，练习3:已知数列 匕前门项和5口=4-21-,求2/的通项公式 2 n -*7、倒数法(1)an4 = _pan ,nqaLLp-l+Z构造工、是等差数列 qan + pan +panan p 科(2)pan 一 1an 1 = 一qan tan iS，.9pan p an p2a例14、已知数列

13、an满足a1=1, an噂 =,求an的通项公式3an 2练习：已知数列劣中，© =3,烝邛=a，则an =1 2an2a,例15、已知数列an满足a1=1, an =,求an的通项公式3%4练习：已知数列an中，a1 =2,an由=上a-,则an =31 anc _r._ c_ c. 网边取河缴 _ _ _， _ _ 十士八/ 4 _ _ , 一并 il8、an斗二pan(p A0,an >0)" lgan子=lg p+rlgan,转化为an41= pan+q型例16、已知数列an中，ai =100自#=10 a2,求an练习：已知数列an中，a1 =2,an. =2 a3,求an9、其他例17、已数列 中，a=1, an*尔=an 1 an ,则数列通项an =例18、在数列an中，a1 = 1, n>2时，an、Sn、Sn 1成等比数列.2(1)求a2,a3,a4；(2)求数列 心口的通项公式.例19、已知在等比数列an中，a1 =1