最新椭圆知识点总结附练习题

1、椭圆知识点总结椭圆的定义：平面内一动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数 (PF1 | + PF2 | = 2a >|F1F2 ),这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若(PFi | +|PF2 |=|FiF2),则动点P的轨迹为线段F1F2；若(PFi +PF2 <F1F2),则动点P的轨迹无图形.椭圆的标准方程221 .当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：*2 + y2 = 1 (a a b a 0),其中c2=a2 - b2；a b222.当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：与+ =1 (a Ab a 0),其中c2 = a2b

2、2；a b注意：(1)只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；(2 )在椭圆的两种标准方程中，都有 (a a b >0)和c2 = a2 b2 ；(3)椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0) , (c,0);当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为 (0,c), (0,-c)椭圆的简单几何性质：22椭圆： 、+q=1 (a > b > 0)的简单几何性质 a b1 .对称性：2 2对于椭圆标准方程 x2 + y2 =1(aAb>0)： a b以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形；以原点为对称中心的中心对称图形

3、2 .范围：椭圆上所有的点都位于直线 x = ±a和y = 士b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 x <a, y |<b o3 .顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。x2 y2椭圆2 + 2 =1 (a Ab > 0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为a bAA2=2a, B1B2= 2b。a 和A(-a,0), A2(a,0), B1(0-b) , Bz(0,b)线段AA2, B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴， b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4 .离心率:2c c椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e表小，记作e=2a

4、 a因为（a >c >0）,所以e的取值范围是（0<e<1）。e越接近1,则c就越接近a,从而b=Ja2 -c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a = b时，c = 0,这时两个焦点重合，图形变22为圆，万程为x + y =a。22椭圆 1 +4 = 1的图像中线段的几何特征（如下图）a2 b2(1) (PFi + PF?PFiPF2= 2a)； JL = JL=e； (PM1 + PM2PM 1 PM2过)c(2) (BFi = BF2 =a); (OFiOF2 =c); AiB = A2Bb2(

5、3) AX I =|A2F2I =ac；AF2I= A2EI =a+c；acWPFI Wa + c；5,通径：（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）2b2,通径长为a6,设FF2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，当 P、FF2三点不在同一直线上时,P、FF2构成了一个三角形焦点三角形.两种椭圆标准方程的区别和联系:2222椭圆 )+22=1与 Y2 +与=1 (a >b >0)的区别和联系 a ba b标准方程22二 十t=1 (a >b > 0) a b22。+J = 1 (a > b > 0) a b图形 M y33k «A瓦!%性质焦点Fi(-c,

6、0), F2(c,0)F1 (0-c), F2(0,c)焦距F1F2 | = 2c| F1F2 | = 2c范围xWa, 1y I外x | <b ,ywa对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(士a,0), (0, 土b)(0,±a), (土b,0)轴长长轴长=2a,短轴长=2b离心率ce = (0 <e <1) a准线方程2,ax = 土一 c2, a y =± c焦半径|PE= a+exb, PF2 =a-ex0PF1 = a + ey°, PF2 = a-ey02222xy. yx.注意：椭圆行+%=1, %+=1 (a Ab A 0)的相同点

7、：形状、大小都相同；参 ab ab数间的关系都有(a Ab >0)和 e=W(0<e<1), a2=b2+c2； a不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法：1,求椭圆方程的常用方法(1)待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；(2)定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。2,共焦点的椭圆标准方程形式上的差异22XV,共焦点，则c相同。与椭圆 F +2- =1 (a A b A 0)共焦点的椭圆方程可设为 a2 b222

8、XV2、 十 得一 =1 (m > -b ),此类问题常用待定系数法求解。a m b m3,方程Ax2 +By2 =C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件方程Ax2 +By2 =C可化为“22至=1,C C22即工+L=1 ,所以只有A,B,C同号, C CA B且A#B时，方程表示椭圆。x轴上;y轴上。“ C C当 a 时，椭圆的焦点在A B.C C当一 < 一时，椭圆的焦点在A B4,焦点三角形APEF2 ( P为椭圆上的点)有关的计算问题令 PF/=r1,PF2 =r2/FFF2=e；1常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式 SaF1f2 =21T2

9、sine相结合的方法进行计算解题。(此处信息量较大)将有关线段1,2,怛血，有关角/FFF2 ( /F1PF2 M/F1BF2)结合起来，建立1+r2,1 丫2之间的关系. Smax的最大值为bC；5,椭圆的扁圆程度与离心率的关系1-(b)2(0<e<1)o a一、- C222离心率 e= (0<ec1),因为 c =a -b , 2>00,即6 = a显然：当b越小时，e(o<e<i)越大，椭圆形越扁；当 b越大，e(0<e< 1)越小,aa椭圆形状越趋近于圆。6,点与椭圆的位置关系：22(1)点P(xo,yo)在椭圆外u 组+空下1;a b2

10、2(2)点P(Xo,yo)在椭圆上U 鸟+与=1;a b22(3)点P(x0,y0)在椭圆内u组+除<1a b7,直线与椭圆的位置关系： 22若直线y=kx+b与圆锥曲线XT+yT=1 (a>b>0)相交于两点A(Xi, yi), B(Xi, y2),将 a b直线方程联立曲线方程可得：(a2k2 - b2)x2 - 2a2mkx - a2(m2 - b2) = 0 : =(2a2mk)2 -4a2(m2 -b2)(a2k2 b2) (1)相交：A>0u直线与椭圆相交;(2)相切：0=0直线与椭圆相切;(3)相离： <0匕直线与椭圆相离;8,椭圆的切线方程22(1

11、)椭圆 与+ %=1(2>：>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是 x2x+*2y = 1.a ba b22(2)过椭圆-2- + -y2-=1 (a>b>0)外一点P(x0, y0)所引两条切线的切点弦方程是 a b21 2a b2 x若直线y=kx+b与圆锥曲线j a2+=1(a >b A 0)相交于两点 A(Xi, yi), B(x1, y?),b则 AB = Jl+k2'.1若弦AB所在直线方程设为x = ky +b ,则AB =1Wx1 x2.。注意：要注意两种直线方程的应用时的优缺点(详细介绍韦达定理在圆锥曲线中的应用)10,中点弦问题常用

12、“韦达定理”或“点差法”求解抓住两点：中点坐标，弦所在直线斜率设交点坐标为A(x1，y3 B(x2,y2),线段AB的中点为M(%,yo),则由2222/、/、/、/、£+2=1, X2+y2= 1 将两式相减(x1+ x2)(x1- X2)= 一(y1 + y2)(y1- y2)a2 b2a2 b2a2b2y -y2b2(xx2)727x -x2a (y1(1)斜率问题：kAB- 2 ，、b (X x2)2a (y y2)(2)弦中点轨迹问题时:222V y2 _ b 2xo _ b_X0_ 2x0_ _ 2 c 2，kAB 2x 一x2a 2yoay。a yo(3)要注忌：kOM

13、 =" , x。(4)直线 AB 的方程：y _ y。= _ b2xo (x -x0);a yo2(5)线段AB的垂直平分线方程：y-yo =a(x xo).b xoxi -x2 = 1 +正 yi - y2 ；椭圆的几何性质练习一，椭圆的几何性质的简单运用2231,已知椭圆x +(m+3)y =m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴2的长，焦点坐标，顶点坐标。2,求与椭圆4x2+9y2 =36有相同的焦距，且离心率为 占5的椭圆的标准方程。523,在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为 2过Fi的直线l交C于A,B两点，且

14、AABF2的周长为16,求C的方程。二，求椭圆的离心率1,已知椭圆的中心在原点，焦点 Fi,F2在x轴上，A是椭圆的上顶点，B是椭圆的右顶点,P是椭圆上的一点，且PFi_Lx轴，PF?” AB,求此椭圆的离心率。222,已知椭圆 与+)=1(a Ab0)的左焦点F(c,0), A(a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点, a b若Fi到直线AB的距离为 手,求椭圆的离心率。3,已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段 BF的延长线交C于D点, 且BF =2FD ,求C的离心率。4,设椭圆上存在一点 P ,它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率的 取值范围。三，直线与椭

15、圆的位置关系22；1椭圆x2+MHaAbA。)的离心率为 型.，且椭圆与直线x + 2y+8 = 0相交于P,Q , ab2且PQ =J而,求椭圆的方程。222,直线l过点P(1,1)与椭圆工+匕=1相交于A,B两点，若P为AB中点，试求直线l的 43方程。223,已知椭圆C的标准方程为士+L =1 ,试确定m的取值范围，使得对于直线 43l : y =4x + m ,椭圆C上有不同两点关于直线 l对称。四，椭圆中的最值问题221,已知椭圆x+y =1 ,直线l :4x5y+40 = 0 ,椭圆上是否存在一点，它到直线 l的 259距离最小？最小距离是多少？222,点A, B分别是椭圆 + =

16、1长轴的左右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上, 36 20且位于x轴上方，PA _LPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB ,求椭圆上点到点M的距离d的最小值。五，椭圆两种定义的应用22x y1,在直线l :x+y -4=0上任取一点 M ,过M且以椭圆 一+2=1的焦点为焦点作椭圆, 16 12问M在何处时，所作椭圆长轴最短，并求此椭圆方程。222,已知椭圆 二十卫一=1内有一点P(1,-1), F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点 M,使 43MP +2MF 最小。六，综合问题21,过点P(0,2)作直线l交椭圆C : 土+ y2 =1于

17、A,B两点，当AAOB得面积最大时，求直2线l的方程。2,已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点，0人+ 08与2 = (3,1)共线。(1)求椭圆的离心率；(2)设M为椭圆上任意一点，且 OM=?uOA十nOB(九，NW R)。求证：九2+N2为定值。22x y3,椭圆-2+%=1(a >b >0)的两个焦点为F1(c,0),F2(c,0),M为是椭圆上一点，满足 a bF1M F2M =0.(1)求离心率e的取值范围；(2)当离心率e取得最小值时，点 N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为5，2,求此时椭圆的方程。2X 222

18、4,已知椭圆G: + y =1,过点(m,0)作圆x +y =1的切线l交椭圆G于A,B两点。 4(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将AB表示为m的函数，并求 AB的最大值。225,设椭圆、+冬=1(a >b >0)的左右焦点分别为 F1F2,点P(a,b)满足PF2=FiF2.。 a b(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，若直线PF2与圆(x + 1)2+(y J3)2=16相AB,求椭圆的方程。5交于M , N两点，且MN = 8226,在平面直角坐标系 xOy中，椭圆x- + y- = 1的左顶点为M ,下顶点为N ,过坐标原 42点的直线

19、交椭圆于 P,A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C ,连接AC ,并延长交椭圆于点 B,设直线PA的斜率为k.(1)若直线PA平分线段M , N ,求k的值；(2)当k = 2时，求点P到直线AB的距离；(3)对任意的k >0 ,求证：PA .L PB.22x y7,设Fl, F2分别是椭圆-7+T = 1(a>b >0)的左右焦点，过Fl斜率为1的直线l与椭圆 a b相交于A,B两点，且|AF2 , AB, BF2成等差数列。(1)求椭圆的离心率；(2)设点P(0,1)满足PA=|PB ,求椭圆的方程。作业1,某椭圆中心在原点，焦点在 X轴上，若长轴长为18

20、,且两个焦点恰好将长轴三等分，则 此椭圆的标准方程为。22222,椭圆 土十匕=1与一x十一y一 = 1(0 <k <9)的关系是。 2599 -k 25 -k3,椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为O4,若椭圆的两焦点坐标为F1(-4,0),F2(4,0),P在椭圆上，且 APFF2的最大面积是12,则椭圆的标准方程为。22X V5,两个正数1,9的等差中项是a,等比中项是b且b>0,则曲线 +工=1的离心率为 a bo6,已知F1,F2是椭圆的两个焦点，满足 MF1MF2=0的点M总在椭圆的内部，则椭圆的 离心率的取值范围是。227,