双曲线及其标准方程精品教案

1、双曲线及其标准方程【教学目标】1 .使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用;2 .使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；3 .培养学生发散思维的能力。【教学重难点】教学重点：标准方程及其简单应用。教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组。【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教学过程】-、复习引入：名称椭圆双曲线V- 1 y图象O - _ .-x0X1定义平间内到两定点 F1，F2的距 离的和为常数（大于 FlF2 ）的动 点的轨迹叫椭圆。即 MFi + MF2 =2a当2a >2c时，轨迹是椭圆，当2a=2C时，轨迹是一条线 段 F1F2当2a

2、 < 2c时，轨迹/、存在平面内到两定点 F1，F2的也喃 的差的绝对值为常数（小于FlF2 ） 的动点的轨迹叫双曲线。即 IMF1I-IMF2I =2a当2a <2C时，轨迹是双曲线当2a=2C时，轨迹是两条射线当2a > 2c时，轨迹/、存在标准 方程22L+L-12. 2 一 焦点在X轴上时：a b22y x / 一一、一F +F = 19解关于a2 b2的二元一次方程组，得焦点在y轴上时：a b注：是根据分母的大小来判断 焦点在哪一坐标轴上22x _ y _1焦点在x轴上时：孑了22工一上=1 2.21焦点在y轴上时：a b注：是根据项的正负来判断焦 点所在的位置常数

3、 a，b，c的关 系22 . . 2a =c +b （符合勾股定理 的结构）a >b >0a最大，c=b，c<b，CAb22 . . 2c =a +b （符合勾股定理的 结构）c > a > 0c最大，可以 a = b，a<b，aAb9P2（ ,5）u,4,在此双曲、讲解范例【例11已知双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，且点P（3，Y， 线上，求双曲线的标准方程分析：由于已知焦点在y轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解 本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数a，b的一个分式方程组，并且分母的次22数是2,解这种方程组时利用换元法可

4、将它化为二元二次方程组；也可将a，b的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组解：因为双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为22、=1（a>0,b>0）a2 【变式例题1】点A位于双曲线x7-2=1（a>01b>0）上，弓是它的两个焦点，求必讦2b2则有衣）232=1b2321 二1 b22512 a1-9 1 =1b281 1 d2=116 b211a21611b292所以，所求双曲线的标准方程为 L169的重心G的轨迹方程分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解, 注意限制条件解：设.肝2的重心G的坐标为（

5、x，y）,则点A的坐标为（3x，3y）22因为点A位于双曲线 与当=1（a >0,b >0）上，从而有a又|AB|=800, 2c=800, c=400, b =c -a =44400。|PA| |PB|=680> 0,x>0所求双曲线的方程为 b2_2-2(3x)(3y)b22 2= 1(y#0),即乙-y=1(y#0)(：)2023 322所以,点评:AF1F2的重心G的轨迹方程为 工 =1(y#0)(j)2 (b)233求轨迹方程，常用的方法是直接求法和间接求法两种例1是直接利用待定系数法求轨迹方程 本题则是用间接法（也叫代入法）来解题，补充本例是为了进一步提高学

6、生分析问 题和解决问题的能力 另外本题所求轨迹中包含一个隐含条件，它表现为轨迹上点的坐标应满 足一个不等关系，而这一点正是学生容易忽略，造成错误的地方，所以讲解本题有利于培养学 生数学思维的缜密性，养成严谨细致的学习品质【变式例题 2】已知&ABC的底边BC长为12,且底边固定，顶点 A是动点，使1 . Asin B -sin C = -sin A2 ,求点A的轨迹分析：首先建立坐标系，由于点 A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用 正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件解：以底边BC为x轴，底边BC的中点为原点建立x0y坐标系，这时1 .一 一B（-6,0）, C（6

7、,0）,由 sin BsinC =sin A 得he 1|AC|-|AB|二6b c = a =6 ,即1 112所以，点 A的轨迹是以B（6，0），C（6，0）为焦点，2 a=6的双曲线的左支其方程为:2y = 1(x ：二-3)27点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出 （或联想到）轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的【例2】一炮弹在某处爆炸，在 A处听

8、到爆炸声的时间比在 B处晚2s。(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知A. B两地相距800ml并且此时声速为340 m/s,求曲线的方程。分析：解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到在 A处听到爆炸声的时间比B处晚2s,这里声速取同一个值解：(1)由声速及A. B两处听到爆炸声的时间差，可知 A. B两处与爆炸点的距离的差， 因此爆炸点应位于以A. B为焦点的双曲线上因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近 B处的一支上。(2)如图，建立直角坐标系xoy ,使A. B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合。y115600 44400(x>0)一 p A

9、F Bx设爆炸点 P 的坐标为(x，y),则 |PA| |PB|=340 X 2=680,即 2 a = 680, a = 340。 2【例2】说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置。如果再增设一个观测点C,利用B. C(或A. C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程 组，就能确定爆炸点的准确位置。这是双曲线的一个重要应用想一想，如果A. B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上。(爆炸点应在线段AB的中垂线上)点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型

10、题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动 性和积极性，培养他们的发散思维能力【例3】求与圆(x3)2 +y2 =1及(x+3)2 +y2224.椭圆 二十4=1和双曲线±-L=1有相同的焦点，则实数n的值是 () = 9都外切的动圆圆心的轨迹方程。解：设动圆的半径为r,则由动圆与定圆都外切得MFi =3 + r, MF2I =1 +r ,又因为 |MFi| MF2I =(3 + r) (1 + r) = 2 ,由双曲线的定义可知，点M的轨迹是双曲线的一支。22所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：X y =1 (x

11、1) o1 8三、课堂练习2 21.判断方程 二 =1所表示的曲线。9-k k-39 -k 0解：当 k-3<0时，即当k<3时，是椭圆； k #k -3当(9k)(k3) >0时，即当3<k<9时，是双曲线；2.求焦点的坐标是(-6, 0)、(6, 0),并且经过点A (-5, 2)的双曲线的标准方程。答案.x_ _ y_ =1c = 6,2a = 5V5 - 而 4 4V5 = b2 =36 - 20 = 16n" 20 16 一 ，3.求经过点P(-3 4,27)ft Q(-6<2,-7)，焦点在y轴上的双曲线的标准方程答案:25 75二1的距离为（）A. 1 B .当 C .2 D .迁答案：B RgFiPF2的面积为b22x +y =a的位置关系是（）A.内切B .外切 C .外切或内切D .无公共点或相交答案：C四、小结本课着重讲解了待定系数法，代入法及利用定义求双曲线的标准方程，学习了双曲线的一 个重要应用。,从而有12c.|y|=b2 =|y|=5 25227. P为双曲线4=1（a >0,b >0）上一点，若F是一个焦点，以PF为直径的圆与