2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-全国卷1

1、2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至9页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷考生注意：1。答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2。每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。3。本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A,B

2、互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）S=4tR2如果事件A,B相互独立，那么其中R表示球的半径p（aLB）=p（a）LP（b）球的体积公式4_3如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么V=一#33n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径R（k）=C：Pk（1-P尸（k=0,1,2,|,n）一、选择题1。函数y=Jx(x-1)+&的定义域为()Aox|x>0Box|x>1Cox|x>lU0Dox|0<x<12。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程S看作时间t的函数，其图像可能是（

3、）sssOOOC.A.B.D.3。在ABC中,AB=c,AC=b。若点D满足BD=2DC,AoBo5c-b33Co2b-c33Db+乙C334。设awR,且（a+i）2i为正实数，则Ao2BoCo0Do-15。已知等差数列an满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前io项的和G0Ao138Bo135Co95Do236。若函数y=f（x1）的图像与函数y=lnJx+1的图像关于直线y=x对称,则f(x)=Aoe2x-12xBoeCo2x+1eDo2x+2e7。设曲线Ao21,1在点（3,2）处的切线与直线-1ax+y+1=0垂直，则a=(BoCoDo28。为得到函数花：二cos12x3的图

4、像,只需将函数y=sin2x的图像（Ao向左平移切个长度单位12Co向左平移口个长度单位6BoDo9。设奇函数f（x）在（0,+8）上为增函数，且集为（）Ao(-1Q)U(1DBo向右平移向右平移2个长度单位122个长度单位6f（1）=0,则不等式f(x)-f(-x)<0的解1)U(0,1)Co(-°°,-1)U(1,+ao)Do（-i,o）U（0i）xy10。右直线一+=1通过点M(cos",sin"),则(ab22一Aoa+b<1Co+1<1b2Do11+>1212-ab11。已知三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面边长都相等,A

5、在底面ABC内的射影为ABC的中心，则ABi与底面ABC所成角的正弦值等于（A。1B。也C。叵333D。12。如图，一环形花坛分成A,B,C,D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）Ao96Bo84C。60Do482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修十选修I）第II卷注意事项：1。答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2。第n卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无

6、效。3。本卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。（注意：在试题卷上作答无效）x+yA0,13。13。若x,y满足约束条件，xy+3A0,则z=2xy的最大值为。0<x<3,214。已知抛物线y=ax-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为。15。在4ABC中，AB=BC,cosB=二。若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该18椭圆的离心率e=。16。等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为.'3,M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值

7、等于。3三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17。(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效)3设ABC的内角A,B,C所对的边长分力1J为a、b、c,且acosBbcosA=-c。5(I)求tanAcotB的值；(n)求tan(AB)的最大值。18。(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC_L底面BCDE,BC=2,CD=J2,AB=AC。(I)证明：AD_LCE;(n)设CE与平面ABE所成的角为45：,求二面角C-AD-E的大小。19。(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)已

8、知函数f(x)=x3+ax2+x+1,aR。(i)讨论函数f(x)的单调区间；21(n)设函数f(x)在区间-2,-I内是减函数，求a的取值范围。,3320。(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病。下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止。方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。(I)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙

9、所需化验次数的概率；(n)t表示依方案乙所需化验次数，求自的期望。21。(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上，两条渐近线分别为11,12,经过右焦点F垂直于11的直线分别交11,12于庆，B两点。已知OA'/AB/OB1成等差数列，且BF与A同向。(I)求双曲线的离心率；(n)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程。22。(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)设函数f(x)=xxlnx。数列an满足0<a1<1,an41=f(an)。(i)证明：函数f(x)在区间(0,1)是增函数；(n)证明：an<

10、an+<1；(出)设bw(a1,1),整数k>a-b。证明：ak书>b。a1Inb参考答案一、选择题1、C2、A3、A4、D5、C6、B7、D8、A9.D10.D。11.B。12.B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。13.答案：9。14.答案：2.15.答案：3.16.答案：81.6三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.解析：(I)由正弦定理得csinA,csinBa=,b=sinCsinCsinAsinBAacosB-bcosA=(cosBcosA)csinCsinCsinAcosB-si

11、nBcosAcsin(AB)sinAcosB一cosAsinB=csinAcosBcosAsinB_(tanAcotB-1)ctanAcotB1依题设得(tanAc0tB-1)c=3ctanAcotB15解得tanAcotB=4是tanB>0(II)由(I)得tanA=4tanB，故A、B都是锐角，于tanA-tanBtan(A-B)=-1tanAtanB3tanB14tan2B<3,4且当tanB=1时，上式取等号，因此tan(A-B)的最大值为218。解：(I)作AOBC,垂足为O,连接OD,由题设知，AO,底面BCDE,且。为BC中点，OCCD1由±二：=知，RtA

12、OCDRtACDE,CDDE2从而/ODC=/CED,于是CEXOD,由三垂线定理知，ADXCE(II)由题意，BEXBC,所以BE,侧面ABC,又BE匚侧面ABE,所以侧面ABE，侧面ABC。作CFLAB,垂足为F,连接FE,则CFL平面ABE故/CEF为CE与平面ABE所成的角，/CEF=45°由CE=76,得CF=3又BC=2,因而/ABC=60°,所以ABC为等边三角形作CGLAD,垂足为G,连接GE。由(I)知，CEXAD,又CEnCG=C,故AD，平面CGE,AD±GE,/CGE是二面角C-AD-E的平面角。ACCD222CG=AD、6、3GE=DEA

13、D212-(2DE)2AD2.5_,10，6一.3,CE=,6,cos/CGE=CG2GE2-CE22CGGE410c6336_102<10102 -：3 .3所以二面角C-AD-E为arccos(一”10)解法二：(I)作AOLBC,垂足为O,贝UAOL底面BCDE,且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.设A(0,0,t),由已知条件有C(1,0,0),D(1,.2,0),E(-1,2,0),CE=(-2,、2,0),AD=(1,，2,-t)所以CEAD=0,得AD±CE(II)作CFXAB,垂足为F,连接FE,设F(x,0

14、,z)则CF=(x-1,0,z),BE=(0,2,0),CFBE=0故CFBE,又ABABE=B,所以CF,平面ABE,/CEF是CE与平面ABE所成的角，/CEF=45°由CE=J6,得CF=J3又CB=2,所以/FBC=60°,ABC为等边三角形，因此A(0,0,J3)作CGAD,垂足为G,连接GE,在RtAACD中，求得|AG|=-|AD|3222.3故G一,333又AD=(1,2,_.3)GCAD=0,GEAD=0所以GCtGE的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。由cos(GC,GE尸GCGE二一型|GC|GE|1010知二面角C-AD-E为arccos(-一)(

15、19)解：(I)f'(x)=3x2+2ax+1,判别式A=4(a2-3)aa2-3若a>J3或a<J3,则在ga3f'(x)>0,f(x)是增函数;，3a,'a23a+*'a23,在,内f'(x)<0,f(x)是减函数;33*；,2在a*，上f，(x)>0,f(x)是增函数。3(ii)若V3<a<33,则对所有xCR都有f'(x)>0,故此时f(x)在R上是增函数。(iii)若a=±33,则f'(一反)=0且对所有的xw-亘都有f'(x)>0,故当a=±J3

16、时,3322-a-a-3-aaa-3f(x)在R上是增函数。(n)由(i)知，只有当a>J3或a<-V3时，f(x)在内是减函数。因此一3当间>J3时，由、解得a>2因此a的取值范围是2,+8)(20)解：记A-、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次,Bi、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次,表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A2与B2独所以(n)A=AiA2B21RA1)=方C51P(A2)5a4A21眄)=5c2C22C3C3P(A)=P(A1+A2B2)二P(A1)+P(A2B2)=P(A1)+P(A2)P(B2)112='55

17、5725P(A)=1-P(A)=18=0.7225士的可能取值为2,3.c3P(B1)=T3C5c2c5c335p(B2)=2,p(e=2)=p(B1)=,55P(E=3)=P(B2)=-，5一,3所以EE=2M十3M12=2.4(次)。55(21)解:22(I)设双曲线方程为x_y2r=1(a>o,b>o),右焦点为F(c,0)(c>0),则c2=a2+b2ab不妨设11:bx-ay=0,l2：bx+ay=0则|bc-a0|FAl=22ab|OA|=VOF2-AF2=a。因为|AB|2+|Oa|2=|Ob|2,且|OB|=2|AB|-|OA|,所以|AB|2+|OA|2二(

18、2|AB|-|OA|)2,|AB|4于是得tan/AOB=一。|OA|3又BF与FA同向，故/AOF=1/AOB,2所以2tan.A=41-tan2ZAOF3解得tanZAOF=-,或tan/AOF=-2(舍去)。2一b12.2因此一=一,a=2b,c=va+b=v5b。a2所以双曲线的离心率e=-c=5a2(n)由a=2b知，双曲线的方程可化为x2-4y2=4b2由11的斜率为-,c=J5b知，直线AB的方程为2y=-2(x-%15b)将代入并化简，得15x2-32.5bx+84b2=0设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(xw),(x2,y2),则32.5b84b2x1+x2=,x1x2=1515AB被双曲线所截得的线段长1=.1+(2)*|x1x2|=45Kx1+x2)-4x1x24b将代入，并化简得1=,而由已知1=4,故b=3,a=6322所以双曲线的方程为=136922、解：(I)当0<x