2020-2021中考数学圆与相似提高练习题压轴题训练含详细答案

1、2020-2021中考数学(圆与相似提高练习题)压轴题训练含详细答案一、相似1,已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴正半轴相交于点C,过点A作AD，x轴，垂足为D.(1)若/AOB=60,AB/x轴，AB=2,求a的值；(2)若/AOB=90，点A的横坐标为-4,AC=4BC求点B的坐标;(3)延长AD、BO相交于点E,求证：DE=CO，OA=OB, /AOB=60； .AOB是等边三角形， .AB=2,AB±OC, .AC=BC=1,/BOC=30,°J-».OC=IG,.A(-1,0),把A(-1,

2、代入抛物线y=ax2(a>0)中得：a=/;(2)解：如图2,过B作BEXx轴于E,过A作AGBE,交BE延长线于点G,交y轴于F, .AC=4BC,Ah=4, .AF=4FG,.A的横坐标为-4, ，.B的横坐标为1,.A(-4,16a),B(1,a), /AOB=90； /AOD+/BOE=90； /AOD+ZDAO=90；/BOE=/DAO, /ADO=ZOEB=90； .ADOAOEB,16a2=4,1a=±-,.a>0,B(1,二)；(3)解：如图3,设AC=nBC由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍,则设B(m,amCO=*""=

3、am2n,.DE=CQ【解析】【分析】(1)抛物线y=ax2关于y轴对称，根据AB/x轴，得出A与B是对称点，可知AC=BC=1由/AOB=60,可证得4AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。(2)过B作BEXx轴于E,过A作AG±BE,交BE延长线于点G,交y轴于F,根据平行线分线段成比例证出AF=4FG根据点A的横坐标为-4,求出点B的横坐标为1,则A(-16a),B(1,a),再根据已知证明/BOE=/DAO,ZADO=ZOEB,就可证明ADOsoeb,得出对应边成比例，建立关于a的方程求解，再根据点B在第一象限，)

4、,则A-mn,am2n2),1 .AD=am2n2,过B作BHx轴于F,2 .DE/BF,.,.BOFAEOD,OBOFBbOEODDE,?OBataar次飒DE,OB1=一麻口，DE=am2n,OB1BE7*11,?1.OC/AE,.,.BCOABAE,确定点B的坐标即可。(3)根据(2)可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B(m,am2),则A(-mn,am2n2),得出AD的长，再证明BOQEOD,BC8BAE,得对应边成比例，证得CO=am2n,就可证得DE=CO2.如图，M为等腰4ABD的底AB的中点，过D作DC/AB,连结BC;AB=8cm,DM=4cm,DC=1cm,动点P自A

5、点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC-CD上匀速运动，速度均为1cm/s,当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动,设点P运动t(s)时，4MPQ的面积为S(不能构成4MPQ的动点除外).z_C/(1) t(s)为何值时，点Q在BC上运动，t(s)为何值时，点Q在CD上运动；(2)求S与t之间的函数关系式；(3)当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？(4)当点Q在CD上运动时，直接写出t为何值时，4MPQ是等腰三角形.【答案】(1)解：过点C作CE!AB,垂足为E,如图1, DA=DB,AM=BM,.-.DM±AB. .CE±AB,ZCEB=3黜=90

6、 .CE/DM. .DC/ME,CE/DM,一端距一：，四边形DCEM是矩形，.CE=DM=4,ME=DC=1. .AM=BM,AB=8,.AM=BM=4.BE=BM-ME=3.ZCEH=缈"CE4,BE=3. .CB=5.当t=4时，点P与点M重合，不能构成AMPQ,t4Q在CD上运动.当。:FW3且tw4眇点Q在BC上运动；当3WfW6(s)时,(2)解：当0<t<4时，点P在线段AM上，点Q在线段BC上,过点Q作QF，AB,垂足为F,如图2,3CAPNEFB图2.QFXAB,CELAB,ZQFB=CEB=90.QF/CE.QFBACEB.1 1u4t28tS-PMQ

7、F=-(4t)r-'二/*二二当“：tWd时，点p在线段BM上，点Q在线段BC上,过点Q作QF,AB,垂足为F,如图3,-.QF±AB,CELAB,.ZQFB=/而=90.QF/CE.QFEACEB.114t2.8tS=-PMQF=-(t-4),二二二产一二.-士555nQ_cZ%且生此时QF=DM=4.PM=AP-AM=t-4'FB图4当5/FW行时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上,过点Q作QF，AB,垂足为F,如图4,当x>2时，S随着t的增大而增大,当t=5时,S取到最大值，最大值为当51FW4时，S=2t-8.2>0,，S随着t的增大而增大，当

8、t=6时，S取到最大值，最大值为2X6-8=4.综上所述：当t=6时，S取到最大值，最大值为4（4）解：当点Q在CD上运动即5WtW七时，如图5,DQC图5则有馥三折|斯三就，即"£八OP三LMP=t-4<6-4,即MP<2, QMwMPQPwMP若AMPQ是等腰三角形，则QM=QP. .QM=QP,QFXMP,.MF=PF=12MP. .MF=DQ=5+1-t=6-t,MP=t-4,；6-t=-（t-4）.二16解得：一亍16当t=J秒时，MPQ是等腰三角形【解析】【分析】（1）过点C作CHAB于E,结合题中条件得出四边形DCEM是矩形，结合矩形性质和勾股定理

9、求出BC的长，最后考虑不能构成MPQ,即可解决问题。（2）由于点P、Q的位置不一样，导致PM、QF的长度不一样，所以S与t的函数关系式不同，所以分三种情况讨论当0<t<4时当4<t<的当5<t<时。（3）利用二次函数性质和一次函数性质分别求出最大值，然后比较得出最后结论。（4）根据等腰三角形性质及题中条件易得QWMP,QBMP,所以当4MPQ是等腰三角形时，只有QM=QP.利用它建立关于t的等量关系，解出t即可3.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为(2,0),BC=6,/BCD=60,点E是AB上

10、一点，AE=3EBOP过D,O,C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D,B,C三(1)请直接写出点B、D的坐标：B(),D();(2)求抛物线的解析式；(3)求证：ED是。P的切线；(4)若点M为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N的坐标，使得以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形.【答案】(1)-4,0;0,24(2)解：将(2,0),B(-4,0),D(0,F：);三点分别代入y=ax2+bx+c得，4母+2b+c=0解得，所求抛物线的解析式y=-4x2-2x+2英(3)证明：在RtOCD中，CD=2OC=4四边形ABCD为平行四边形，.AB=CD=4,AB/CD,ZA=ZBCD=6

11、0,°AD=BC=6.AE=3BE,.AE=3,aeiociUeoc,.而二，:出入.原值 四边形ABCD是平行四边形，/DAE=ZDCB=60,° .AEDACOD,/ADE=/CDO,而/ADE+-ZODE=90 /CDO+-ZODE=90； CDXDE, /DOC=90； .CD为。P的直径， .ED是。P的切线忑】中正(4)解：点N的坐标为(-5,4)、(3,4)、(-3,-4)【解析】【解析】解：(1).C点坐标为(2,0), .OC=2,BC=6, .OB=BC-OC=4, B(-4,0), /BCD=60,°tan/BCD软I,OD J,.OD=,

12、.D(ok*);(4存在，.)=-Jx2-'x+入门=-(x+1)2+4 M(-1,£), B(-4,0),D(0,入”如图，当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移个单位得到B,"k/3则点M(-1,，)向左平移4个单位，再向下平移个人方单位得到Ni(-5,4)；当DM为平行四边形BDMN的对角线时，班点B向右平移3个单位，再向上平移'个单位得到D,外/八则点M(-1,-,)向右平移4个单位，再向上平移二%5个单位得到N2(3,f);当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向右平移1个单位，再向下平移个单位得到D,则点B(-

13、4,0)向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到N3(-3,-J)；综上所述，以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形时，点N的坐标为(-5,/,)或(3,J)或(-3,-/)【分析】(1)根据点C的坐标，求出OC的长度，进而求出OB的长度，得出B点的坐标。根据正切函数的定义得出OD的长度，从而得出D点的坐标；(2)用待定系数法，分别将：将(2,0),B(-4,0),D(0i73);三点分别代入y=ax2+bx+c得得出关于a,b,c的三元一次方程组，求解得出a,b,c的值，从而得出解析式；(3)根据平行四边形的性质得出AB=CD=4AB/CD,/A=/BCD=60,AD=BC=6,又根据

14、AE=3BE,从而得出AE=3,根据锐角三角函数的定义得出AE：AD=OC：CD然后根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似得出AEA4COD,根据相似三角形对应角相等得出/ADE=/CDO,根据等量代换得出/CDO+/ODE=90,即CD±DE,根据90°的圆周角所对的弦是直径得出CD为。P的直径，从而得出结论；(4)首先求出抛物线的顶点M的坐标，然后按当BM为平行四边形BDMN的对角线时；当DM为平行四边形BDMN的对角线时；当BD为平行四边形BDMN的对角线时；三种情况，找到其他点的平移规律即可得出N点的坐标。4.如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到

15、点B(A,B两点到路灯正下方的距离相等)，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化.(1)求y与x之间的函数关系式(2)作出函数的大致图象.【答案】(1)解：如图：作C0±AB于O,当小亮走到A'处(A'位于A与O之间)时，作出他的影子A'C'.小亮从点A到达点O的过程中，影长越来越小，直到影长为0;从点O到达点B的过程中，影长越来越大，到点B达到最大值.设小亮的身高MA'=l,CO=h,AO=m,影长C'A'=y，小亮走过的距离AA'=x,由图易得C'A=x-V,.MA'XAB,CO±AB

16、,.MC'A'scc'QIh即=,1L.y=1力x-0(0&x<itm)f(m,l,h为常数),当小亮走到A处(A'位于。与B之间)时；同理可得y=-11ml（2）解：如图所示:【解析】【分析】（1）如图：作CO±AB于O,当小亮走到A'处（A'位于A与O之间）时，作出他的影子A'C'根据中心投影的特点可知影长随x的变化情况.mlx+/人(m<xW2m).设小亮的身高MA'=l,CO=h,AO=m,影长C'A'=y，小亮走过的距离AA'=x,由图易得C'A=x-

17、y,根据相似三角形的判定和性质可得y与x的函数解析式.当小亮走到A处（A'位于。与B之间）时；同理可得y（2）根据（1）的函数解析式可画出图像.5.如图1,过等边三角形ABC边AB上一点D作DE/4厂交边AC于点E,分另取BC,DE的中点M,N,连接MN.DEC(1)(2)(3)ffll发现:应用:拓展:在图如图如图EA/C图2机N1中，BD_2,将4ADE绕点A旋转，请求出M5I丽的值;是等腰三角形，且是底边BC,DE的中点，若即工住，请直接写出RD的值.【答案】(i)77(2)解：如图2中，连接AM、AN,AHBYMC,帆NE,BDAB-占in仇)(3)解：如图3中，连接AM、AN

18、,延长AD交CE于H,交AC于O,A图3：'ABACADAE丽CM踹-NEAM，BCAN1DE丁ZBACJJAE?二NABC-RE?sinZvkBMsinADN?AMAN一M一而:“HADF时等边三角形，：/WE=的""?DE"C,：*AM1BC.：工DE,JAM平分线段de,了斑纲，：A、N、M共线，.：上NMH-MM）NDMM二90，：四边形MNDH时矩形，:MNDH?MNDH=sln60BDBD故答案为:【分析】（1）作DH，BC于H,连接AM.证四边形MNDH时矩形，所以MN=DH,则MN:BD=DH:BD=sin60；即可求解；(2)利用ABC,

19、ADE都是等边三角形可得AM:AB=AN:AD,易得/BAD=/MAN,从而得BADsman,贝UNM:BD=AM:AB=sin60；从而求解；(3)连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于O.先证明BADsman可得NM:BD=AM:AB=sin/ABC;再证明BADCAE,贝U/ABD=/ACE,进而可得/ABC=45,可求出答案.TT6,已知如图1,抛物线y=-8x2-jx+3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C,点D的坐标是（0,-1）,连接BCAC图1图2S3（1）求出直线AD的解析式；（2）如图2,若在直线AC上方的抛物线上有一点F,当4ADF的面积最大时

20、，有一线段MN=（点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF,请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；（3）如图3,将4DBC绕点D逆时针旋转a°（0Va之180°）,记旋转中的DBC为DB'C'若直线B'直线AC交于点P,直线B'C直线DC交于点Q,当4CPQ是等腰三角形时，求CP的值.【答案】(1)解：二.抛物线y=-占x2-Jx+3与x轴交于A和B两点,0=一3+X34x=2或x=-4,A(-4,0),B(2,0),-D(0,1),直线AD解析式为y=-?x1(2)解：如图1,图1过点F作F

21、HI±x轴,交AD于H,jm2-q4mm+3),H(m,?mT),.FH=-mT)=一占m2Saadf=Saafh+Sadfh=L*FHX*xa|=2FH=2(-jm+4)J1mm2-1m+4)=-m2-m+8=一,(m+当m=一F(一167)如图2,作点A关于直线BD的对称点A1A1A2=«,把Ai沿平行直线BD方向平移到A2BD向左平移S得点M,此时四边形AMNF连接A2F,交直线BD于点N,把点N沿直线的周长最小./小,广治图2 .OB=2,OD=1,1 tanZOBD=上， .AB=6,.AK=5,AA噌 .AAi=2AK=1,1在RtABK中，AH=b.OH=OA

22、-AH=日，824Ai(-，-5),过A2作A2P±A2H, /AiA2P=Zabk,.AiA2=血， A2P=2,AiP=1,A2(-4,-口)2图F(-"了) A2F的解析式为y=-,.B(2,0),D(0,直线BD解析式为y联立得，x=-7r224A,AiH=5,107目"x-'、，-i),1=-Rx-i，胃"J2.N点的横坐标为：-(3)解：.C(0,3),B(2,0),D(0,1).CD=4,BC=,OB=2,BC边上的高为DH,SLI.根据等面积法得，BOXDH=CDXOB回XOB4X2.,DH=BC-一匹=7：J,-A(-4,0),

23、O(0,3),.OA=4,OO=3,自上tanZAOD=况'3,当PC=PQ时，简图如图1,过点P作PG±CD,过点D作DHLPQ,当PC=CQ时，简图如图2,设CG=3a,则PG=4a,，CQ=PC=5a，QG=CQ-CG=2a,PQ=2.a,.DQ=CD-CQ=45a.PGQADHQ,CQ,QG,PQ,DQ的长，由同的方法得出，PC=4-13,设CG=3a,则PG=4a,从而得出PGQsDHQ,同的方法得出，PC的长；当QC=PQ时，简图如图1过点Q作QG±PC,过点C作CN±PQ,设CG=3a,贝UQG=4a,PQ=CQ=5aPG=3a,PC=6a.

24、DQ=CD-CQ=4-5a,利用等面积法得，CN<PQ=PCQG留.CN=a,.CQNADQH24lOTy同的方法得出PC=5,3当PC=CQ时，简图如图4,过点P作PG±CD,过H作HD，PQ,设CG=3a,贝UPG=4a,CQ=PC=5a.QD=4+5a,PQ=4镜，.QPGAQDH,周65同方法得出.CP=134io曾与73公画24入廊I综上所述，PC的值为：339；4-13,513=13【解析】【分析】(1)根据抛物线与x轴交点的坐标特点，把y=0代入抛物线的解析式，得出一个关于x的一元二次方程，求解得出x的值，进而得出A,B两点的坐标；然后由A,D两点的坐标利用待定系

25、数法求出直线AD的解析式；(2)过点F作FH,x轴，交AD于H,根据函数图像上点的坐标特点，及平行于y轴的直线上的点的坐标特点，设出F,H的坐标，从而得出FH的长度，Sxadf=Safh+Sxdfh=-FHX帆*-Xa|二2FH,列出关于m的函数解析式，再根据二次函数的性质，由顶点式得出当m=-J时，Sadf最大，从而得出F点的坐标；如图2,作点A关于直线BD的对称点Ai,把Ai沿平行直线BD方向平移到A2,且AiA2=6,连接A2F,交直线BD于点N,把点N沿直线BD向左平移入必得点M,此时四边形AMNF的周长最小，进而求出点A1,A2坐标，即可确定出A2F的解析式和直线BD解析式联立方程组

26、即可确定出N点的横坐标；(3)根据C,B,D三点的坐标，得出CD,BC,OB的长，BC边上的高为DH,根据等面积法得1/出-BCXDH=CDXOB从而得出DH的长，根据A,C两点的坐标，得出OA,OC的长，根据正切函数的定义得出tan/ACD=4：3;然后分四种情况讨论：当PC=PQ时，过点P作PG±CD,过点D作DHXPQ,由tan/ACD=4：3,设CG=3a,则QG=3a,PG=4a,PQ=PC=5a,从而由DQ=CD-CQ得出DQ的长，根据PGMDHQ,得出PG：DH=PQ：DQ,从而求出a的值，进而求出PC的值；当PC=CQ时，简图如图2,过点P作PG±CD,ta

27、nZACD=4：3,设CG=3a,贝UPG=4a,从而得出CQ,QG,PQ,DQ的长，由PGQsDHQ,同的方法得出，PC的长；当QC=PQ时，过点Q作QGXPC,过点C作CN,PQ,设CG=3a,贝UQG=4a,PQ=CQ=5a,从而得出PG,PC,DQ的长，利用等面积法得，CNKPQ=PCQG从而得出CN,由CQNMDQH同的方法得出PC的长；当PC=CQ时,过点P作PG±CD,过H作HD±PQ,设CG=3a,贝UPG=4a,CQ=PC=5a从而得出QD,PQ的长，由QPGsQDH,同方法得出.CP的长。7.如图1,抛物线丁平移后过点A(8,0)和原点，顶点为B,对称轴

28、与X轴相交于点C,与原抛物线相交于点D.图1圉2函用图(1)求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴电；(2)如图2,直线AB与J轴相交于点P,点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N,设1曲=，试探求：，为何值时力就热为等腰三角形；F为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少.二3y-yh+bi【答案】(1)解：设平移后抛物线的解析式,3?33?,y-丁下/J-x-/X/3将点A(8,0)代入，得必f二,所以顶点B(4,3),所以S阴影=OC?CB=12(2)解：设直线AB解析式为y=mx+n,将A(8,0)、B(4,3)分别代入得所以直线AB的解析式为'7c

29、二作NQ垂直于x轴于点Q,当MN=AN时，N点的横坐标为NQMCt二一s由三角形NQM和三角形MOP相似可知OYOP，得i6,解得炉（舍去）.3一一,，一一_NQ-（8=当AM=AN时，AN=8-t,由二角形ANQ和二角形APO相似可知5,卜彳/MQ=5NQMQ5由三角形NQM和三角形MOP相似可知加一而得：I一，解得：t=12（舍去）；由MN所在直线方程为y=心,与直线AB的解析式y=-x+6联立,得点N的横坐标为Xn=92t,即t2-XNt+36XN=0,当MN=MA时，I-MNA上勺AM<151故NAMN是钝角，显然不成立由判别式=x2n-4（36-）彳xn>6或xnW-14

30、,又因为0vxn<8,所以xn的最小值为6,此时t=3,JJ5当t=3时，N的坐标为（6,"3"）,此时PN取最小值为二【解析】【分析】（1）平移前后的两个二次函数的a的值相等，平移后的图像经过点原点，因此设函数解析式为:将点A的坐标代入就可求出b的值，再求出顶点B的坐标，利用割补法可得出阴影部分的面积=以OC,BC为边的矩形的面积。（2）利用待定系数法先求出直线AB的函数解析式，作NQ垂直于x轴于点Q,再分情况讨论：当MN=AN时，就可表示出点N的坐标，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立关于t的方程，求出t的值；当AM=AN时再由4ANQ和APO相似，NQ

31、M和AMOP相似，得出对应边成比例，分别求出t的值，然后根据当MN=MA时，/MNA=/MAN<45故/AMN是钝角，可得出符合题意的t的值；将直线MN和直线AB联立方程组，可得出点N的横坐标，结合根的判别式可求出xn>6或xnW-14,然后由0Vxn<8,就可求得结果。8.在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E是边AD上一点，EM，EC交AB于点M,点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项(1)如图1,求证：/ANE=/DCE(2)如图2,当点N在线段MB之间，联结AC,且AC与NE互相垂直，求MN的长;(3)连接AC,如果4AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三

32、角形相似，求DE的长.【答案】(1)解：.AE是AM和AN的比例中项/A=/A, .AMEAAEN,/AEM=ZANE, /D=90°,/DC曰/DEC=90； .EMXBC, /AEM+/DEC=90°,/AEM=/DCE,/ANE=/DCE（2）解：.AC与NE互相垂直, /EAO/AEN=90°, /BAC=90； /ANE+/AEN=90°,/ANE=/EAC,由（1）得/ANE=/DCE,/DCE=/EAC, tanZDCE=tanZDAC,DEDCDAL,? ，DC=AB=6,AD=8,目.DE=.AE=8-心=二,由（1）得/AEM=/DC

33、E,.tan/AEM=tan/DCEAifDhAEDC.AM=8,AifAE.7eaa,14aAN=才,（3）解：./NME=/MAE+/AEM,ZAEC=ZD+ZDCE,又/MAE=ZD=90°,由（1）得/AEM=/DOE,/AEO=/NME,当AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时ZENM=/EAC如图2,/ANE=/EAC,由（2）得：DE=ZENM=/ECA如图3,过点E作EHLAC,垂足为点H,由（1）得/ANE=/DCE,/ECA=/DCE,HE=DE,又tan/HAE=AD8,设DE=3x,贝UHE=3x,AH=4x,AE=5x,又AE+DE=AD,.5x+

34、3x=8,解得x=1,.DE=3x=3,综上所述，DE的长分别为3或3AMAE【解析】【分析】（1）由比例中项知一优小，据此可证AMEsAEN得/aem=ZANE,再证/AEM=/DCE可得答案；（/DCE=/EAC从而知DCAL,据此求得2）先证/ANE=/EAC,结合ZANE=/DCE得aiAE=8W=E,由（1）得/AEM=/DCE据21AMAb8,由求得AEAAMN=二叫；（3）分/ENM=/EAC和/ENM=/ECA两种情况分别求解可得二、圆的综合9.如图，AB为。的直径，AC为。O的弦，AD平分/BAC,交。O于点D,DELAC,交AC的延长线于点E.（1）判断直线DE与。O的位置

35、关系，并说明理由；（2）若AE=8,。的半径为5,求DE的长.【答案】（1）直线DE与。O相切（2）4【解析】试题分析：（1）连接OD,.力平分/BAC,EAD=OAD,OA=OD,ODA=OAD,ODA=EAD,.EA/OD,.DEXEA,DE±OD,又.点D在。O上，直线DE与。O相切图1不如图1,作DF，AB,垂足为F,DFA=DEA=90,EAD=FAD,AD=AD,-AEADAFAD,.AF=AE=8,DF=DE,OA=OD=5,OF=3,在RtDOF中，DF=JOD2OF2=4,AF=AE=8考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系点评：本题难度不大，第一小题通过内错角

36、相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等.第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长.10.如图，在VABC中，ACB90o，BAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DEAD交AB于点E,以AE为直径作eO.1求证：BC是eO的切线；2若AC3,BC4,求tanEDB的值.1【答案】(1)见解析；(2)tanEDB-.2【解析】【分析】1连接OD,如图，先证明OD/AC,再利用ACBC得至|JODBC,然后根据切线的判定定理得到结论；2先利用勾股定理计算出AB5,设eO的半径为r,则OAODr,OB5r,15再证明VBDOs

37、VBCA,利用相似比得到r：35r：5,解得r15,接着利用勾8531股定理计算BD金，则CD-,利用正切定理得tan1-,然后证明【详解】1证明：连接OD,如图,QAD平分BAC,12,QOAOD,23,13,OD/AC,QACBC,ODBC,BC是eO的切线;2解：在RtVACB中，ABJ32425,设eO的半径为r,则OAODQOD/AC,VBDOsVBCA,OD:ACBO：ba,15即r：35r：5,解得r一8OD15OB258，在rwodb中，bdJob2OD25,2CDBCBD-,2在RtVACD中，工彳tan13CD31,AC32QAE为直径，ADE900，EDBADC90

38、76;，Q1ADC900,1tanEDB2【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时连圆心和直线与圆的公共点”或过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形.11.如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以。为圆心的半圆上，过点C作CD，AB,分另交AB、AO的延长线于点D、E,AE交半圆。于点F,连接CF.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)若半圆O的半径为6,求AC的长.【答案】(1)直线CE与半圆。相切(2)4【解析】试题分析：(1)结论：DE是。的切线.首先证明

39、AABO,BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；(2)只要证明OCF是等边三角形即可解决问题，求AC即可解决问题.试题解析：(1)直线CE与半圆。相切，理由如下：四边形OABC是平行四边形，AB/OC./D=90；/OCE=ZD=90:即OCXDE, 直线CE与半圆O相切.(2)由(1)可知：/COF=60,OC=OF .OCF是等边三角形， ./AOC=120°力1206 -Ac的长为=4兀.18012.如图所示，以RtABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点D,E为BC边上的中点，连接DE.(1)求证：DE是。的切线；(2)-连接OE,AE,当/CA

40、B为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin/CAE的值.【答案】见解析；（2）0.10【解析】分析：（1）要证DE是。的切线，必须证ED±OD,即/EDB+/ODB=90（2）要证AOED是平行四边形，则DE/AB,D为AC中点，又BD±AC,所以ABC为等腰直角三角形，所以/CAB=45,再由正弦的概念求解即可.详解：（1）证明：连接O、D与B、D两点，.BDC是RtA,且E为BC中点，/EDB=ZEBD.（2分）又OD=OB且/EBD+ZDBO=90, /EDB+ZODB=90: .DE是。O的切线.（2）解：/EDO=ZB=90°,若要四边

41、形AOED是平行四边形，则DE/AB,D为AC中点，又;BD±AC, .ABC为等腰直角三角形./CAB=45:过E作EHI±AC于H,、一一2-设BC=2k,则EH=2k,AE=V5k, sinZCAE=EH-50.AE10点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可.13.如图，AB是。的直径，DD为。上两点，C。AB于点F,CE!AD交AD的延长线于点E,且CE=CF.(1)求证：CE是。的切线；连接CDCB,若AD=CD=a求四边形ABCD面积.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】(1)连

42、接OC,AC,可先证明AC平分/BAE,结合圆的性质可证明OC/AE,可得ZOCB=90°,可证得结论；(2)可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明OCB为等边三角形，可求得CRAB,利用梯形的面积公式可求得答案.【详解】(1)证明：连接OC,AC.-.CF±AB,CE!AD,且CE=CF./CAE=/CAB.1 .OC=OA,/CAB=/OCA./CAE=/OCA.2 .OC/AE.3 /OC曰ZAEC=180；4 /AEC=90；/OCE=90即OCXCE.OC是。O的半径，点C为半径外端，1 .CE是。O的切线.(2)解：AD=CD,ZDAC=/DCA=/CAB,

43、2 .DC/AB,3 /CAE=/OCA,.OC/AD,四边形AOCD是平行四边形,.OC=AD=a,AB=2a,/CA曰/CAB,.CD-a,.CB=OC=OB,.OCB是等边三角形,在RtACFB中，C已、纱-C屏=，.S四边形ABCD-(DC+AB)?CF_a£.4【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径.14.如图，在RtABC中,/ACB=60°,。是4ABC的外接圆，BC是。的直径，过点B作。O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的

44、延长线交于点E过点A作。O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.连接EF,求证:EF是。O的切线；(2)在圆上是否存在一点P,使点P与点A,B,F构成一个菱形？若存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在，理由见解析【解析】【分析】(1)过。作OMLEF于M,根据SAS证明OAFOBE,从而得到OE=OF再证明EO平分/BEF,从而得到结论；(2)存在，先证明4OAC为等边三角形，从而得出/OAC=/AOC=60°再得到AB=AF,再证明AB=AF=FP=BP从而得至IJ结论.【详解】证明:如图，过。作OMLEF于M,fi,.OA=OB,ZOAF=ZOBE=90，/BOE=ZAOF,.,.OAFAOB.OE=OF,EOF玄AOB=120;:/OEM=ZOFM=30:/OEB=ZOEM=30:即EO平分/BEF又/OBE=ZOME=90°,：OM=OB,：EF为。O的切线.(2)存在.BC为。O的直径，:/BAC=90;/ACB=60:/ABC=30:又/ACB=60°,OA=OC:OAC为等边三角形，即/OAC=ZAOC=60;.AF为。O的