2014年全国高考文科数学试题及答案-湖南卷

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、设命题p:VxwR,x2+1A0,则一为（）22A.-1x0R,x010B.-1x0R,x01.0C.MR,x21：0D.-刈R,x212,B=x|1x3,则AcB=（）Ax|x2Rx|x1Gx|2：x：3Dkx|1：x：33、对一个容器为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则（）AR=P2二p3B.p2=p3:二p1C.p1=

2、访二p2D.p二p2=p34、下列函数中，既是偶函数又在区间（-笛,0）上单调递增的是（）1_.23 一._xA.f（x）=B.f（x）=x21C.f（x）=x3D.f（x）=2x5、在区间-2,3上随机选取一个数X,则XW1的概率为A4c3八2c1A、一RC、一D-55556、若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y26x8y+m=0，则m=（）A.21B.19C.9D.-117、执行如图1所示的程序框图，如果输入的tw1-2,2,则输出的S属于（）A-6,-2B、-5,-1】C、IY,5】D、-3,6】、.19-1,19+1、.7-1,、7+111.复数3?（i为虚数单位）的实部等于 2

3、i球的半径等于（）9、若0Xx21,则（）ex2-ex1lnx2-lnx1ex2-ex1：Inx2-lnx1*-x2x?exe10、在平面直角坐标系中，O为原点，A（1,0，B（0,J3）,C（3,0）,动点D满足TTT=1,则OA+OB+OD的取值范围是（）C2、,3,2.7二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分、将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大一块石材表示的几何体的三视图如图2所示,8、x=2-2t2，-、一2（t为参数）的普通方程为yx13、若变量x,y满足约束条件114、平面上以机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=1的距离相等、若机器人接触不到过

4、点P(-1,0)1斜率为k的直线，则k的取值范围是、15、若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，则a=、三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明，证明过程或演算过程、16、(本小题满分12分).2已知数列Gn的前n项和Sn=n,nWN”、2(i)求数列Q的通项公式；(II)设bn=2an+(1Jan,求数列tn的前2n项和、17、(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a,b)(a,bi(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)(a,b(a,b)(a,bI(a,b

5、)(a,b)(a,b)其中a,a分别表示甲组研发成功和失败；b,b分别表示乙组研发成功和失败、(I)若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(II)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率、18 .(本小题满分12分)如图3,已知二面角a-MN-P的大小为60,菱形ABCD在面P内，A,B两点在棱MN12.在平面直角坐标系中，曲线C：上，/BAD=60,E是AB的中点，DO_L面a,垂足为。、(1)证明：AB_L平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值、19、(本小

6、题满分13分)(2)求BE的长2xO为坐标原点，双曲线C1:422八xyC2:-=1(a2b20)均过点P(a2b2的四边形是面积为2的正方形、(1)求CI,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点，与C2只有一个公共点，且|OA+OB|=|AB|?证明你的结论、如图4,在平面四边形ABCD中，冗一BEC=一3(1)求sin/CED的值；DA_AB,DE=1,EC=7,EA=2,.ADC2y一2=1(aA0,blA0)和椭圆23,、-人-/一,1),且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点3D20.(本小题满分13分)21、(本小题满分13分)已知函数f(x)=xcosxs

7、inx+1(xa0)、(1)求f(x)的单调区间;(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(iwN*)个零点，证明：对一切nwN*,有1112!【H2,2x1x2xn31-5BCDAB6-10CDBCD11、-312、xy-1=016、解：(I)当n=1时，a1=1；2_nnan=Sn_Snt=-22(n-1)(n-1)一-=n2故数列!an的通向公式为an=n(n)由(i)知，bn=2n+(1)nn，记数列bn的前2n项和为T2n,则T2n=(212222n)(-12-34一2n)记A=21+22+.+22n,B=-1+2-3+4.+2n,则2132326s乙2=一(1-)29(0-)26二1

8、55525因为XA 汇,簿2cs乙 2,所以甲组的研发水平优于乙组在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a,b(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b)共7个，故事件E发生的频率为715将频率视为概率，即得所求概率为P(E)=参考答案-313、714、(-二，-1)(1,二)15、2当n2时,2(1-22n)1-222n1-221舜二一15方差为-93X乙=-155(n)记E=恰有一组研发成功18、15如图a,因为DOla,ABua,所以DO1AB由(I)知，AB_L平面ODE，所以AB_LOE,又DE_LAB,于a-MN-?的平面角，从而/DEO=60

9、0不妨设AB=2,则AD=2,易知DE=J3是/DEO是二面角(n)所成的角.即/ADO是BC与OD连接BD,由题设知，ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE_LAB3在RtJDOE中，DO=DEsin60，=2连接AO,在RtLJAOD中，cos/ADO故异面直线BC与OD所成角的余弦值为19、解：如图4,设.CED=:(I)在LJCDE中，由余弦定理，得222EC=CDDE-2CDDEcosEDC于是，由题设知，7=CD2+1+CD,即CD2+CD6=0解得CD=2（CD=3舍去）在LJCDE中，由正弦定理，得EC_CDsin_EDCsin-a2二cosAEB=cos（一?）于是,2

10、二CDsinsin:=-EC21-1,即sin/CED=77(n)由题设知，0口三，于是由(I)知3一2二而/AEB=,所以32二2二=cos-cos工sinsin;33127.3、21*-r272714在RtUEAB中，cos/AEB=股=上一,故BEBEcos-=.1-sin21二22BE=4J7cos.AEB714由椭圆的定义知2222y.yxx=1,-=1332(n)不存在符合题设条件的直线(i)若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x=J2或当x=J2时，易知A(J2,J3),B(J2,J3),所以|OAOB尸2,：万,|AB尸2.3-I-此时，|OAOB

11、|-|AB|当x-2时，同理可知，|OAOB|-|AB|(ii)若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y=kx+my二kxm由2y2得x2-y-=1工320、解(i)设C2的焦距为26，由题意知,2c2=2,2a1=2,从而4=132=1,因为点P(,1)在双曲线x22yb；23212=1上，所以()22=1,故b,2=33b2于是a?=J3,b22=a22a2=2,故C1,C2的方程分别为(3k2)x2-2kmx_m23=0当l与C1相父于A,B两点时,设A(x1，y1)，B(X2,y?),则x，X2是上述方程的两个头根,从而22kmm3Xi4二 2,X1X2=23-kk-3_2-2,223k2

12、-3m2y1y2;kx1x2km(x1x2)m:2k-3y=kxm22yx.工一二132(2k23)x24kmx2m2-6=0因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式L=16k2m2-8(2k23)(m2-3)=0综合(i)(ii)可知，不存在符合题设条件的直线21、解(I)f(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinxA-tt一*令f(x)=0,得x=kn(kWN)化简, 得2k2=m23,因此2-2.222.2-m33k-3m-k-3OAOB=x1x2y1y222二一2:0OA2OB2OAOB=OAOB-2OAOBOA茄山OA-OBi2,故OAOB|-|AB|当xw(2

13、kn,(2k+1)n)(kwN)时，sinx0,此时f(x)0当xw(2k+1)n,(2k+2)n)(kwN)时，sinx03故f(x)的单调递减区间为(2kn,(2k+1)n)(kwN),单调递增区间为(2k-1)二,(2k2)n)(kN)(n)由(l)知，f(x)再区间(0,n)上单调递减，又f(三)=0,故3=三22当nwN时，因为f(nr)f(n1)=(1)nnr1(1)n2(n1)：1；0且函数f(x)的图像时连续不断的，所以f(x)在区间(nn,(n+1)n)内至少存在一个零点，又f(x)在区间(nn,(n+1)江)上时单调的，故n二：:xn1：(n1)二因此12(6-=1时,12x1=2时,1-2x112x23之3时,111115(1-)(-).(-)IL223n-2n-112+y-1t2B=(-12)(-34).-(2n-1)2n=n故数列b