2018届初三数学中考复习：三元一次方程组教学案

1、三元一次方程组及其解法1 .三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2 .三元一次方程组：由三个一次方程（一元、二元或三元）组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3 .三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元4 .三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程.例题解析一、三元一次方程组之特殊型'x+y+z=12例1：解方程组Jx+2y+5z=22x=4y分析：方程是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组,因此确定“消x”

2、的目标。解法1:代入法,消x.把分别代入、得'5y+z=126y+5z=22解得y=2,z=2.把y=2代入，得x=8.x=8,Jy=2,是原方程组的解.z=2.根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为:类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程里缺z,因此利用、消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。解法2:消z.X5得5x+5y+5z=60-得4x+3y=38由、得x=4y4x+3y=38解得y=2.把x=8,y=2代入得z=2.x=8,，y=2,是原方程组的解z=2.根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类型二：缺某元，消某元型.2x+y+z=15例2：解

3、方程组Jx+2y+z=16x+y+2z=17分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解：由+得4x+4y+4z=48,即x+y+z=12.-得x=3,-得y=4,-得z=5,x=3,.y=4,是原方程组的解.z=5.fx+y=20,典型例题举例：解方程组y+z=19,、x+z=21.解：由喳+得2(x+y+z)=60,即x+y+z=30.-得z=10,-得y=11,-得x=9,x=9,.<y=11,是原方程组的解.Iz=10.根据方程组的特

4、点，由学生归纳出此类方程组为：类型三：轮换方程组，求和作差型.x:y:z=1:2:7例3:解方程组7、2x-y+3z=21分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x;由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即y=2x,|z=7x,，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解。2xy+3z=21.解法1：由得y=2x,z=7x,并代入，得x=1.把x=1,代入y=2x,得y=2;把x=1,代入z=7x,得z=7.x=1,I、i.y=2,是原方程组的解.z=7.分析

5、2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k,因此由方程x:y:z=1：2：7,可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。解法2：由设x=k,y=2k,z=7k,并代入，得k=1.把k=1,代入x=k,得x=1;把k=1,代入y=2k,得y=2;把k=1,代入z=7k,得z=7.x=1,.y=2,是原方程组的解.z=7.'x十y+z=111典型例题举例：解方程组4y:x=3:2y:z=5:4分析1:观察此方程组的特点是方程、中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择将比例式化成关系式求解，即由得x=-y;由得z

6、=9y.从而利用代入法求解。35解法1：略.分析2:受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将、转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现、中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15,由x5得y:x=15:10,由X3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，就能解决了。解法2:由、得x:y:z=10:15:12.设x=10k,y=15k,z=12k,并代入，得k=3.把k=3,代入x=10k,得x=30;把k=3,代入y=15k,得y=45;把k=3,代入z=12k,得z=36.x=30,1y=45,是原方程组的解.

7、Jz=36.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型.二、三元一次方程组之一般型'3x-y+z=4,例4：解方程组«x+y+z=6,、2x+3y-z=12.分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标一一消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：（1） 消元的选择1 .选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；2 .选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。（2） 方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程

8、选择。3x-y+z=47解：x+y+z=62x+3y-z=127也（明确消z,并在方程组中体现出来一一画线）+得5x+2y=16,（体现第一次使用在后做记号，）+得3x+4y=18,（体现第二次使用在后做不同记号）5x+2y=16,由、得y,x+4y=18./口x=2,解得y=3.把x=2,y=3代人，得z=1.x=2,«y=3,是原方程组的解.z=1.2x+4+3z=9,7典型例题举例：解方程组3x-T+5z=11,"A5x-64+7z=13.分析：通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。以方程作为桥梁使用，达到消元求解的目的。解：X2得6x4y+10z

9、=22,2x+4y+3z=9,+得8x+13z=31.X3得9x6y+15z=33,5x6y+7z=13,得4x+8z=20.x+2z=5.目I8x+13z=31,由、得x+2z=5.Xx-1,解得z=3.，一八、一1把x=-i,z=3代人，佝y=.2x=-1,1一一、yy=,是原方程组的解.2z=3.在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。三元一次方程组的实际应用EG01:某车间有60人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个，或乙20个，或

10、丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？共有多少套？解：设生产甲、乙、丙三种零件各有x人，y人，z人.根据题意得x+y+z=6024x/9=20y/15=16z/12解得x=12,y=24,z=2424X12/9=32答：安排生产甲、乙、丙三种零件各有12人，24人，24人，共有32套.EG02:甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2倍比乙数大5,乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2（二分之一），求这三个数。解：设甲是x,乙是v,丙是z则x+y+z=35(1)甲数的2倍比乙数大52x-y=5(2)乙数的1/3(三分之一)等于

11、丙数的1/2y/3=z/2(3)由(2)和(3)得到y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3代入x+2x-5+4x/3-10/3=3513x/3=130/3x=10y=2x-2=15z=2y/3=10所以甲是10,乙是15,丙是10EX:1 .有甲乙丙三种货物，若购物甲种3件，乙种7件，丙1件需要31.5元，如果购买甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若购甲乙丙各一件，需要10.5元。问甲乙丙每件各多少元？2 .汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里？去时上下

12、坡路各有多少公里？3 .某校初中三个年级一共有651人，初二的学生数比初三学生数多10%初一的学生数比初二的学生数多5%求三个年级各有多少人？AW:1式子：3x+7y+z=31.54x+10y+z=42x+y+z=10.5答案：？这题有问题，多解的(只要符合x+3y=10.5)就行，真不知楼上怎么算出来的。2 :去时上坡x平路y下坡zx+y+z=142x/28+y/30+z/35=4.5z/28+y/30+x/35=4.7答案：x=42y=30z=703 :初一：x初二：y初三：zx+y+z=651y=1.1zx=1.05y答案：x=231y=220z=200训练集中营1。现有1角，5角，1元

13、硬币各10枚.从中取出15枚，共值7元，1角，5角，1元各取几枚？2。甲地到乙地全称是3.3KM,一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时行3KM平路每小时行4KM下坡每小时行5KM那么，从甲地到乙地需行51分，从乙地到甲地需行53.4分，求从甲地到乙地时的上坡。平路。下坡的路程各是多少？3。水费价格：不超过6立方米部分，每立方米2元。超过6立方米至10立方米部分，每立方米4元。超过10立方米部分，每立方米8元。某居民三月和四月共用水15立方米，交水费44元，(四月用水量多于三月用水量)，求三月和四月用水量？如果某居民某月用水量是13.5立方米，则他需要交水费多少元?4。某足球联赛一个

14、赛季共进行26场比赛(即每队均赛26场)，其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分。某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分。这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？5。学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2:3,三种球共41个，求三种球各有多少6。一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和丙管2小时，则水池中余水5吨；若打开甲管2小时，乙管3小时，丙管1小时，则池中余水1吨，求打开甲管22小时，乙管5小时，丙管11小时，池中余水多少吨？7。小红买了面值为50分和230分的邮票共8枚，共用去9元4角问50分和230分的邮票各买几枚？8。运往某地的两批货物，第一批为440吨，用8节火车车厢和10辆汽车正好运完；第二批货物520吨，多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车，正好运完。求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？9。1、有一批零件共420个，若甲先做2天，乙加入，合作2天可以完成；若乙先做2天，甲加入，合作3天可以完成，求二人每天平均做多少个？10。、张红用7元钱买2角和5角一张的邮票共20张，问两种邮票各买多少张？11。有甲乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和是47,甲数的5倍比乙数的6倍小1,求这两个数。12。某车队运一批货物，若每辆装3.5吨，就有2吨