初中数学轴对称与等腰三角形第06讲级学生版

1、中考要求重难点1 轴对称及等腰三角形性质的综合应用2 全等三角形与轴对称、旋转、平移变换的综合应用MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形.第 06 讲(C 级).学生版Page 1 of 16内容基本要求略高要求较高要求轴对称了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分性质；了解物体的镜面对称能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及相关性质。能运用轴对称进行图案设计旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连

2、线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题；平移了解图形平移，理解平移中对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等的性质能按要求作出简单平面图形平移后的图形；能依据平移前后的图形，指出平移的方向和距离能运用平移的知识解决简单的计算问题；等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这二种图形， 并理解这二种图形的性质和 判定能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题能用等腰三角形、等边三角形的知识解决有关问题轴对称与等腰三角形例题精讲版块一 轴对称垂直平分线类垂直平分线：“

3、垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等”，主要是转化线段之间的关系，尤其是在轴对称有关作图中，应用更为广泛如图DABC 中， AD 平分BAC ， DG BC 且平分 BC ， DE AB 于 E ， DF AC 于 F .说明 BE = CF 的理由；如果 AB = a ， AC = b ，求 AE ， BE 的长.【例1】AEGCBFD【例2】 如图， AB = AC ， AD = AE ， BE 和CD 相交于点O ， AO 的延长线交 BC 于点 F 。求证： BF = FC 。ADEOBCF双对称轴路程和最短问题【例3】 如图，AOB = 30 ，角内有点 P ，且OP = 5 ，在

4、角的两边有两点Q 、R（均不同于O 点），则PQR 的周长的最小值为MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形.第 06 讲(C 级).学生版Page 2 of 16APOB【巩固】如图，在POQ 内部有 M 点和 N 点，同时能使MOP = NOQ ，这时在直线OP 上再取 A 点， 使从 A 点到 M 点及 N 点的距离和为最小；在直线OQ 上也取 B 点，使从 B 点到 M 点和 N 点的距离和也最小证明： AM + AN = BM + BN QBMNOPA多对称轴路程和最短问题【例4】 如图，当点 A 与l1 、l2 、l3 连续相撞时，假设入射角等于反射角，求作出点 A

5、 向点 B 运动时的最短路程l3l1BAl2【例5】 如图，矩形台球桌 ABCD 上有两个球 P 、Q ，求作一击球路线，使 P 球顺次撞击球桌四边后再撞击Q 球（球撞击桌边的入射角等于反射角）ADCBMSDC 模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形.第 06 讲(C 级).学生版Page 3 of 16PQ平移路程和最短问题如图，在 a 上找到 M 、 N 两点，且 MN =10 ， M 在 N 的左边，使四边形 ABMN 的周长最短。【例6】ABa【巩固】如图， A，B 两村相隔一条河，为使两村之间行程最短，应在河的什么位置架一座桥？（河岸可看成平行线，桥是垂直于河岸的）Al1l2

6、B轴对称与路程差最大问题【例1】 已知： A 、 B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点 M ，使得| AM - BM |最大。BAl【巩固】求在直线l 上找一点 P ，使得直线l 为APB 的角平分线AB版块二、等腰三角形【例7】 已知DABC 中，A = 90 ，B = 67.5.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形.第 06 讲(C 级).学生版Page 4 of 16AABBCC【例8】 等腰三角形的顶角a

7、90 ，如果过它的顶角顶点作一直线能够将它分成两个等腰三角形，求a ABDC【例9】 P 为等腰三角形 ABC 的底边 AB 上的任意一点， PE AC 于点 E ， PF BC 于点 F ， AD BC点 D ，如图，求证： PE + PF = AD CDFEBAP【巩固】如图，点 P 为等腰三角形 ABC 的底边 BA 的延长线上的一点，PE CA的延长线于点 E ，PF BC于点 F ， AD BC 于点 D PE 、 PF 、 AD 之间存在着怎样的数量关系?CFDPBAE【例10】如下图，DABC 是等边三角形，CBFACDBAE =122 ，DEF - DFE = 38 求出DDE

8、FMSDC 模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形.第 06 讲(C 级).学生版Page 5 of 16的每个内角度数ADEFBC，已知DABC ，延长 CA 、 AB 、 BC 到 D 、 E 、 F ，连接 DE 、 EF 、 FD ，使得【巩固】AED = BFE = CDF ，若ABC = 60 ， DFE = 50 ，求BAC 及EDF 的度数DACBFE【例11】如图，六边形 ABCDEF 中，A = B = C = DBC + DE = E = F ，且AB + BC = 11 ，FA - CD = 3 求EFDACB模块三全等三角形与轴对称角平分线类“角”是轴对称图形

9、，对称轴为角平分线所在的直线。因此在遇见与角平分线有关问题的时候，可以有下面几个基本解题思路：平分角；角平分线上点到角两边的距离相等；沿角平分线进行翻折。【例12】已知DABC 中， A = 60 ， BD 、CE 分别平分ABC 和ACB ， BD 、CE 交于点O ，试BE 、CD 、 BC 的数量关系，并加以证明。MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形.第 06 讲(C 级).学生版Page 6 of 16AEDOBC【例13】如图，在 RtDABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，BE 是ABC 的平分线，AD 交 BE 于O ，EF AD于 F ，求证： AF =

10、OD ABCD【例14】已知在DABC 中，A = 90，B 的平分线交 AC 于 E ，交交 AC 于 F ，求证： AE = FC BC 边上的高 AH 于 D ，过D 作 DF BCBCAE F构造等腰三角形类构造等腰三角形类的主要方法有两种：是将直角三角形沿着某一直角边翻折；是截取等长线段MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形.第 06 讲(C 级).学生版Page 7 of 16HDF21EO【例15】如图，在ABC 中，ABC = 46 ， D 是 BC 边上一点， DC = AB ，DAB = 21 ，试确定CAD的度数ABCD构造等边三角形类构造等边三角形类的

11、方式主要有两种：直接以某一线段长为边，直接构造等边三角形；作等腰三角形，然后利用题目给出的特殊角，如60 ，证明此等腰三角形为等边三角形【例16】如图， BD 是DABC 的角平分线， A = 60答： ABC = 证明：， 2AD + CD = AB,ABC 的度数并说明理由。ADCB【巩固】如图，在等腰ABC 中， AB = AC ，顶角 A = 20 ，在边 AB 上取点 D ，使 AD = BC ，求BDC 的度数。MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形.第 06 讲(C 级).学生版Page 8 of 16ADCB【例17】如图，在ABC 中， ABC = 40 ，

12、 ACB = 40 ， P 为三角形内的一点， 且 PCA = 20 ，PAB = 20 ，求PBC 的度数。APCB模块四全等三角形与旋转倍长中线类倍长中线是我们耳熟能详的一种辅助线的作法，其实此作法最主要是通过旋转的方式，构造出一对“8”字型全等三角形，从而转化线段与角的数量关系【例18】在后面的学习中，我们会学习到与直角三角形斜边上有关的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用数学语言改编如下：已知：在 RtDABC 中， C = 90 ， D 为斜边 AB 的中点，证明: CD = 1 AB2MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形.第 06 讲(C 级).学

13、生版Page 9 of 16ABC【巩固】两个全等的含30 、60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，条直线上，连结 BD ，取 BD 的中点 M ，连结 ME 、 MC ，试放置， E 、 A 、C 三点在一DEMC 的形状，并说明理由BDCEA一般等腰三角形旋转一般等腰三角形旋转的问题主要有：通过对等腰三角形旋转，构造全等三角形；通过对一般三角形旋转构造等腰三角形【例19】如图，DABC 是边长为 1 的正三角形，DBDC 是顶角为120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个60的MDN ，点 M , N 分别在 AB, AC 上，则DAMN 的周长是ANMDBC等腰直角三角形旋转等腰

14、直角三角形旋转有关问题要充分考虑到：“边相等”“角相等”，还有斜边上的中线，这条特殊的线段，尤其是涉及到斜边中点的时候，基本上都会连接这条中线【例20】已知：在 RtDABC 中，AB = BC ，在 RtDADE 中，AD = DE ，连结 EC ，取 EC 的中点 M ，连结 DM和 BM 若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图，探索 BM 、 DM 的关系并给予证明；MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形.第 06 讲(C 级).学生版Page 10 of 16MD如果将图中的DADE 绕点 A 逆时针旋转小于 45 的角，如图，那么中

15、的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明BBEEMMACACDD等边三角形旋转【例21】如图，已知四边形 ABCD 中， AB = AD, BAD = 60 ， BCD =120 ，证明： BC + DC = AC ADBC三垂直全等及三垂直的变形三垂直模型及其变形最主要的是转化角度之间的关系【例22】在ABC 中，ACB = 90 ， AC = BC ，直线 MN 经过C 点，且 AD MN 于 D ，BE MN 于 E MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形.第 06 讲(C 级).学生版Page 11 of 16当直线 MN 绕点C 旋转到图的位置

16、时，求证： DE = AD + BE ；当直线 MN 绕点C 旋转到图的位置时，求证： DE = AD - BE ；当直线 MN 绕点C 旋转到图的位置时，试问： DE 、 AD 、 BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明MCMCMDCENDEABABEABD图NN图图【巩固】如图， CD 是经过BCA 顶点 C 的一条直线， CA = CB ， E 、 F 分别是直线 CD 上两点，且BEC = CFA = a （1） 若直线CD 经过BCA 的内部，且 E 、 F 在直线CD 上，请解决下面两个问题：如图，若BCA = 90 ， a = 90，则 BECF ； EFBE -

17、 AF（填“ ”、“ ”、“ = ”）；如图，若0 BCA AD + AE 【例23】ABDECMSDC 模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形.第 06 讲(C 级).学生版Page 13 of 16【巩固】，在DABC 中， B = 90 ， M 为 AB 上的一点，且 AM = BC ； N 为 BC 上的一点，且CN = BM 连接 AN 、CM 交于点 P ，求证： APM = 45 CNPAMB【例24】在DABC 中， AB = AC ， CA , AB 的延长线上截取 E ， D ，有 ED = DA = EC = BC 求证： BAC =100 EABCD课堂检测1.如图， ABC 中， AB = AC ，点 P 、Q 分别在 AC 、 AB 边上，且 AP =小是= QB = BC ，则A 的大MSDC 模块化分级讲义体系初中数学.轴对称与等腰三角形.第 06 讲(C 级).学生版Page 14 of 16APQCB