第三章微分中值定理与导数的应用

1、第三章 微分中值定理与导数的应用 第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 一、罗尔定理 a,b定理：若f?x?在闭区间上连续，在?a,b?内可导，且f?a?f?b?，则?(a,b) 使得f?0. 注： 定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。 罗尔定理中的?点不一定唯一。事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数f(x)在点?处取得最大值或最小值，则有f?(?)?0。 定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于x轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于x轴。 a,ba,b证 由f?x?在闭区间

2、上连续知，f?x?在上必取得最大值M与最小值m. 若M?m，则M与m中至少有一个不等于f?x?在区间端点的值.不妨设M?f?a?.由最值定理，?(a,b)，使f?M.又 f?()?lim?x?0f(?x)?f()f(?x)?M?lim?0， x?0xx f(?x)?f()f(?x)?M?lim?0， x?0xxf?()?lim?x?0 故 f?0. a,b若M?m，则f?x?在上为常数，故(a,b)内任一点都可成为，使 f?0. a,b若y?f?x?满足定理的条件，则其图像在上对应的曲线 弧AB上一定存在一点具有水平切线，如图3-1所示. 图 3-1 二、拉格朗日中值定理 a,b定理2： 若f

3、?x?在闭区间上连续，在(a,b)内可导，则至少存在一点?(a,b) 使得 f?b?f?a?f?(b?a). (3-1-1) 注：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广； 证 考虑辅助函数?x?f?x?(x?a)，其中 ?f(b)?f(a)， b?a a,b显然?x?满足定理1的条件，即?x?在闭区间上连续，在(a,b)内可导，且 ?a?b?，则至少存在一点?(a,b)使得?0，而 ?(x)?f?(x)?f(b)?f(a). b?a 故有 f?b?f?a?f?(b?a). ?B两端的弦AB，其斜率为f(b)?f(a).因此，定理的几如图3-2所示，连结曲线弧Ab?a ?B上一定存在一点具有平行于

4、弦AB的切线 . 何意义是：满足定理条件的曲线弧A 图3-2 显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形. 式(3-1-1)称为拉格朗日中值公式，显然，当b?a时，式(3-1-1)也成立. 设函数f(x)在区间(a,b)可导，其中自变量的增量x可x和x?x是(a,b)内的两点，正可负，于是在以x及x?x为端点的闭区间上应用拉格朗日中值定理，有 f?x?x?f?x?f?x， 其中为x与x?x之间的某点，记?x?x, 0?1，则 f?x?x?f?x? ?f?x?x?x (0?1). (3-1-2) (3-1-2) 推论1 若函数f(x)在区间I上的导数恒为零，则f(x)在区间I上为一常数. 证任取

5、x1,x2?I，且x1?x2，则f(x)在闭区间?x1,x2?上连续，f(x)在?x1,x2?内可导，由定理2，得 f?x2?f?x1?f?(x2?x1),?x1,x2?. 由于f() = 0，故f(x2) = f(x1).由x1，x2的任意性可知，函数f(x)在区间I上为一常数. 我们知道“常数的导数为零”，推论1就是其逆命题.由推论1立即可得以下结论. 推论2 函数f(x)在区间I可导，若对?x?I，f?x?g?x?，则 f(x) = g(x)+C. 对任意x?I成立，其中C为常数. 【例1】 求证arcsinx?arccosx? x? ，?1,1. 2 证 令f?x?arcsinx?ar

6、ccosx，则 f? x? ?0，x?(?1,1). 由推论1得f?x?C，x?(?1,1)又 因f?0? ，且f?1?. 22 故 f?x?arcsinx?arccosx?,x?1,1?. 2【例2】 证明不等式arctanx2?arctanx1?x2?x1 (其中x1x2). 证 设f?x?arctanx，在?x1,x2?上利用拉格朗日中值定理，得 arctanx2?arctanx1? 因为 1 x?x1?，x1x2. 2?2 1? 1 ?1，所以 1?2 arctanx2?arctanx1?x2?x1. ?)内有几个实【例3】 设函数f?x?x?x?2?x?4?x?6?，说明方程f?x?

7、0在(?， 根，并指出它们所属区间. ?)内最多有3个实根. 解 因为f?x?是三次多项式，所以方程f?x?0在(?， 0,2,2,4,4,6又由于f?0?f?2?f?4?f?6?0，f?x?在区间上满足罗 尔定理的条件.故有1?(0,2),2?(2,4),3?(4,6)，使f?1?0,f?2?0,f?3?0，即方 ?)内有3个实根，分别属于区间(0,2),2,4(),4,6(). 程f?x?0在(?， a,b【例4】 若f?x?0在上连续，在?a,b?内可导，则?(a,b)，使得 lnf(b)f?()?(b?a). f(a)f() f?()(b?a). f()证 原式即 lnf(b)?lnf

8、(a)? 令?x?lnf?x?，有?x?f?(x). f(x) a,ba,b显然?x?在上满足拉格朗日中值定理的条件，在上应用定理可得所证. 下面再考虑由参数方程x?g?t?,y?f?t?,t?给出的曲线段，其两端点分别为a,bA?g?a?,f?a?,B?g?b?,f?b?.连结A,B的弦AB的斜率为上任何一点处的切线斜率为f(b)?f(a) (见图3-3)，而曲线g(b)?g(a)dyf?(t). ?dxg (t) 图3-3 若曲线上存在一点C对应参数t?(a,b)，在该点曲线的切线与弦AB平行，则可得 f(b)?f(a)f?()?. g(b)?g(a)g?() 三、柯西中值定理 定理3 若

9、f ?(a,b)使得 ?x?,g?x在a,b上连续，且均在(a,b)内可导，且g?x?0，则 f(b)?f(a)f?()?. g(b)?g(a)g() 证 由g?x?0和拉格朗日中值定理得 g?b?g(a)?g?b?a?0,?a,b?. 由此有g?b?g?a?，考虑辅助函数?x?f?x?g?x?(待定).为使?x?满足罗尔中值定理的条件，令?a?b?，得 ?f(b)?f(a). g(b)?g(a) 取的值如上，由罗尔定理知?(a,b)，使?0，即 f?()?f(b)?f(a)g?()?0， g(b)?g(a) 即 由此定理得证. f(b)?f(a)f?()?. g(b)?g(a)g?() 显而

10、易见，若取g?x?x，则定理3成为定理2，因此定理3是定理1，2的推广，它是这三个中值定理中最一般的形式. 例5 设函数f?x?在?在?a,b?内可导，且x1?x20，证明?(x1,x2)，?x1,x2?上连续， 使 x1f(x1)?x2f(x2)?f()?f?(). x1?x2 f(x1)f(x2)?21?f()?f?(). 证 原式可写成 1?1 21 令?x?f(x)1x1,x2，?x?.它们在上满足柯西中值定理的条件，且有 xx ?(x)?f?x?xf?x?. ?(x) 应用柯西中值定理即得所证. 第二节 洛必达法则 一、0型不定式 0 定理1设f?x?，g?x?满足： (1) lim

11、f?x?0，limg?x?0； x?x0 ?x?x0(2)在U?x0?内可导，且g?x?0； (3) limf?x? g?xx?x0存在(或为?)， 则 limf?x? gxx?x0?limf?x?g?xx?x0. 证 由于极限limx?x0f?x?gx，f?x?和g?x?在x?x0处有无定义没有关系，不妨设 f?x0?g?x0?0.这样，由条件(1)、(2)知f?x?及g?x?在U?x0?连续.设x?U?x0?，则在 或上，柯西中值定理的条件得到满足，于是有 x,x0x0,x f(x)f(x)?f(x0)f?(x)?， g(x)g(x)?g(x0)g(x) 其中在x与x0之间.令x?x0(从

12、而?x0)，上式两端取极限，再由条件(3)就得到 limf(x)f?()f?(x)?lim?lim， g(x)?x0g?()x?x0g?(x)x?x0 0对于当x?时的型不定式，洛必达法则也成立. 0 推论1 f?x?,gx满足 ? (1) limf?x?0，limg?x?0； x?x? (2) 存在常数X?0 当xX时f?x?,g?x?可导，且g?x?0； (3) limf?(x)存在(或为?)， x?g?(x) f(x)f?(x)?lim. x?g(x)x?g(x)则 lim 证 令t?1，则x?时t?0，从而 x 1?limf?f(x)?0， ?limt?0x?t? 1?limg?lim

13、g(x)?0. t?0?t?x? 由定理1，得 1?1?1?f?f?f(x)f?(x)t?t?t2?. lim?lim?lim?limx?g(x)t?0t?0x?g(x)1?1?1?g?g?2?t?t?t? 显然，若lim 达法则而得到 f?(x)0仍为型不定式，且f?x?,g?x?满足定理条件，则可继续使用洛必g(x)0 f(x)f?(x)f?(x)?lim?lim， g(x)g?(x)g?(x)lim 且仍然可以依此类推. 【例1】 求limx3?12x?16. x?2x3?2x2?4x?8 32x?12x?163x?126x3解 lim3?lim2?lim?. 2x?2x?2x?4x?8

14、x?23x?4x?4x?26x?42 ?arctanx【例2】 求lim. x?1 x ?arcta?1 2xn2x解 lim?lim?lim?1 x?x?x?1?x211?2xx 二、?型不定式 ? 定理2 设f?x?,gx满足 ? (1) limf?x?，limg?x?； x?x0x?x0 (2) 在U?x0?内可导，且g?x?0； (3) limx?x0?f?(x)存在(或为?)， g?(x) x?x0则 limf(x)f?(x)?lim. g(x)x?x0g?(x) 该定理也是应用柯西中值定理来证明的，因过程较繁，故略. 推论2 若f?x?,gx满足 ? (1) limf?x?，lim

15、g?x?； x?x? (2) 当x?X时可导，且g?x?0； (3) limf?(x)存在(或为?)， x?g(x) f(x)f?(x)?lim. x?g(x)x?g(x)则 lim x【例3】 求limln ax?x(?0). x解 liln a?x?x 【例4】 求limx xx?ex1lia?1?a?x(?0). x1a?. ?a?x0 ?1解 limx x?limxx. x?ex?e 若0?1，则上式右端极限为0；若?1，则上式右端仍是自然数n使n?1?n，逐次应用洛必达法则直到第n次，有 xx?1lim?limx? x?exx?e?型不定式，这时总存在? (?1)?(?n?1)x?n

16、 ?0. （n次）limxx?e x故 limx?0x?e?0? . 1?sinxx?sinx?1，但(x?sinx)?lim1?cosx不存在. lim?limx?x?sinxx?(x?sinx)x?1?cosx1?sinx x 三、其他不定式 对于函数极限的其他一些不定式，例如0?，?，00，1?和?0型等，处理它们的0?总原则是设法将其转化为或型，再应用洛必达法则. 0? 【例6】 求lim?x2lnx. x?0 1 ?1limx2?0. 解 lim?x2lnx?lim?ln?x?lim2?3x?0x?0xx?0?2x2x?0? 【例7】 求lim(secx?tanx). x? 解 li

17、m(sxe?c x? 2 xta?n 1?sixn ?cosxx? ) 2 ?cxos m?sxin?x 2 ?x x?li. mcot 2 【例8】 求lim?xsinx. x?0 解 设y?xsinx，则lny?sinxlnx， 1 lnxlim?lny?lim?(sinx?lnx)?lim?lim? x?0x?0x?0x?01cosx?2 sinxsinx 1sin2x ?lim?lim?0. x?0cosxx?0?x 由y?e lny 有lim?y?lim?e x?0 x?0 lny ?e x?0? limelny ，所以 lim?xsinx?e0?1. x?0 1 1?【例9】 求l

18、im?. x?0?x? 1?1?解 设y?1?，则lny?xln?1?. x?x? x x 1?ln?1?ln(x?1)?lnxx 而 lim?lny?lim?1?lim? x?0x?0x?0xx?1 (x?1)?1?x?1?x2? ?lim?x?0， ?lim? x?0x?0?x?1?x?2? 1 1?e0?1. 故 lim?x?0?x? x 洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但不是万能的.我们要学会善于根据具体问题 采取不同的方法求解，最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷. 【例10】 求limx

19、2?tanx. x?0x?sinx 解 先进行等价无穷小的代换.由sinxx?x?0?，则有 lim x?tanxx?tanx1?sec2x ?lim?lim x?0x2?sinxx?0x?0x33x2 2 2secx?tanx11tanx ?lim?lim?lim2x?06x3x?0cosxx?0x 1tanx1 ?. ?lim 3x?0x3 第三节 泰勒公式及其应用 一、泰勒公式的引入 设f(x)在x0的某一开区间内具有直到(n?1)阶导数，试求一个多项式 Pn(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2?an(x?x0)n (1) 来近似表达f(x)，并且Pn(x)和f(x)在x0

20、点有相同的函数值和直到n阶导数的各阶导数，即： Pn(x0)?f(x0),Pn(x0)?f?(x0),Pn(x0)?f?(x0),?,Pn?(n)(x0)?f(n)(x0)。 下面确定Pn(x0)的系数a0,a1,?an，通过求导，不难得到a0?f(x0),a1?1?f?(x0),a2?1?2?f?(x0),a3?1?2?3?f?(x0),?an?n!?f(n)(x0) f?(x0)f(n)(x0)2(x?x0)?(x?x0)n (2) ?Pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?2!n! 这个Pn(x)即为所求。 二、泰勒中值定理 如果函数f(x)在x0的某区间(a,b)内具有直到(

21、n?1)阶的导数，则当x?(a,b)时，f(x)可表示为(x?x0)的一个多项式Pn(x)和一个余项Rn(x)之和： f?(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)?(x?x0)n?Rn(x)2!n! ?(3) f(n?1)(?)其中 Rn(x)?(x?x0)n?1 （?介于x0与x之间） (n?1)! 注：（3）式称为f(x)按(x?x0)的幂展开到n阶的泰勒公式，Rn(x)的表达式（4）称为拉格朗日型余项； 当n?0时（3）变为：f(x)?f(x0)?f?(?)(x?x0) （?介于x0与x之间），这就 是拉格朗日公式； 从（3）式可看出：用（2

22、）式的多项式Pn(x)来近似表达f(x)，所产生的误差为Rn(x)，再由（4）式，不难看出：若在(a,b)上，有f(n?1)(x)?M，Rn(x)?M(x?x0)n?1，(n?1)!此时limRn(x)n，即?0R(x)?(x?x)n0x?x0(x?x)n 0(x?x0) 若特别地，取x0?0，这时（3）式变为： f?(0)2f(n)(0)nx?x?Rn(x) ?（5） f(x)?f(0)?f?(0)?2!n! f(n?1)(?)n?1 这里Rn(x)?，我们称（5）为f(x)的麦克劳林公式。 x（?介于0与x之间）(n?1)! 三、常见带有佩亚诺余项的麦克劳林公式 x2x3xn e?1?x?

23、.?o(xn)2!3!n! x3x5x2n?1 n2n?1sinx?x?.?(?1)?o(x)3!5!(2n?1)!x 2nx2x4 nxcosx?1?.?(?1)?o(x2n) 2!4!2n! nx2x3 n?1xln(1?x)?x?.?(?1)?o(xn) 23n (1?x)?1?x?(?1) 2!x2?.?(?1).(?(n?1) n!xn?o(xn) 2n?1x3x5 n?1xarctanx?x?.?(?1)?o(x2n?1) 352n?1 例1 课本144页 例3 第四节 函数单调性的判定 a,b定理1 设f?x?在闭区间上连续，在(a,b)内可导， a,b(1)若?x?(a,b)，

24、有f?x?0，则f?x?在上严格单调增加. a,b(2)若?x?(a,b)，有f?x?0，则f?x?在上严格单调减少. 证?x1,x2?，不妨设x1x2，应用拉格朗日中值定理，有 a,b f?x2?f?x1?f?x2?x1?，?(x1,x2). 由f?x?0 (或f?x?0)，得f?0 或(f?0，)故f?x2?f?x1?(或 a,b上严格单调增加(减少)，定理获证. f?x2?f?x1?)，即f?x?在 【例】 证明y?sinx在?,?上严格单调增加. ?22? 证 因sinx在?,?上连续，并且 ?22? ?sinx?cosx0, 所以y?sinx在?,?上严格单调增加. ?22?x?,?

25、. ?22? 从定理证明易知，若在(a,b)内除个别点使得f?x?0外，其余处处满足定理条件，则定理结论仍成立.此外，定理中的闭区间换成其他区间(如开的、半开半闭或无穷区间等)，定 ?)内其导数y?3x2?0，但仅在x?0时，y?0.理的结论仍成立.例如，y?x3在(?， ?)内是严格单调增加的(见图3-4).另外，当定理1的(1)和(2)中的严因此，y?x3在(?， 格不等号“”和“”分别换为“”和“”时，则分别得到单调增加和单调减少的结论 . 图3-4 【例2】 讨论f?x?e?x的单调性. 2 ?)，f（解 f?x?的定义域为(?，?x）?2xe?x. 2 （?,0）（?,0）当x?时，

26、f?x?0， 故f?x?在内严格单调增加； ?)内严格单调减少，如图3-5所示. ?)时，f?x?0，故f?x?在(0，当x?(0， 图3-5 【例3】 证明当x0时，有x?ln?1?x?. 证 令f?x?x?ln?1?x?，则f?x?在区间0,?)上连续.又 f?x?x?0,x?(0，?)， 1?x 故f?x?在0,?)严格单调增加，从而f(x)f(0) = 0.因此，当x?0时， x?ln(1?x). 第五节 函数的极值与最值 一、函数的极值 定义 设f?x?在U?x0?内有定义，若?x?U?x0?，有f?x?f?0x? (或 f?x?f?x0?)，则称f?x?在x0极小值)f?x0?，点

27、x0由定义可知，极值是局部性概念，是在一点的邻域内比较函数值的大小而产生的.因此，对于一个定义在(a,b)内的函数，极值往往有很多个，且某一点取得的极大值可能会比另一点取得的极小值还要小，如图3-6所示.直观上看，图3-6上的函数在取得极值的地方，其切线(如果存在)都是水平的.事实上，我们有下面的定理 . 图3-6 定理1费马定理 设函数f?x?在某区间I内有定义，在该区间内的点x0处取极值，且 f?x0?存在，则必有f?x0?0. 证 不妨设f?x0?为极大值，则由定义，?x?U?x0?，当x?x0时，有 f(x)?f(x0) ?0， x?x0 ? 故 f?(x0)?lim? x?x0 f(

28、x)?f(x0) ? 0； x?x0 当x?x0时，有 f(x)?f(x0) ?0， x?x0 f(x)?fx(0) ?0. 故 f?(x0)?li?x?x0x?x0 从而得到 f?x0?0. 通常称为f?x?.定理2给出可导函数取得极值的必要条件:可导函f?x?的零点， 数的极值点必是驻点.但此条件并不充分，例如x?0是函数y?x3的驻点，却不是其极值点。 另外，连续函数在其导数不存在的点处也可能取到极值.例如，y?x在x?0处取极小值. 因此，对连续函数来说，驻点和导数不存在的点都有可能是极值点。 定理2 设f?x?在x0处连续，在U?x0?内可导， ? (1)若?x?Ux0，f?x?0，

29、 ?x?x0，f?x?0，则f?x?在x0取得极大值； ?(2)若?x?Ux0，f?x?0，?x?x0，f?x?0，则f?x?在x0取得极小值. ? ? ? ? ? ? ?证 只证(1).由拉格朗日中值定理，?x?Ux0，有 ? f?x?f?x0?f?1?x?x0?， x1x0. 由f?x?0，得f?1?0，故f?x?f?x0?. ?同理，?x?Ux0，有 ? ? f?x?f?x0?f?2?x?x0?，x02x. 由f?x?0，得f?2?0，故f?x?f?x0?.从而f?x?在x0取极大值. 由定理3的证明可知，如果f?x?在U?x0?内符号不变，则f?x?在x0就不取得极值. ? 【例1】

30、求f?x?x3-3x2?9x?5的极值. 解 f?x?3x2?6x?9?3?x?1?x?3?. 令f?x?0，得驻点x1?1，x2?3. ?1)时，f?x?0； 当x?(?， 当x?(?1，3)时，f?x?0； ?)时，f?x?0. 当x?(3， 故得f?x?的极大值为f?1?10，极小值为f?3?22. 【例2】 求f? x?. 解 f? x? x?0?，x?0是函数一阶导数不存在的点. 当x?0时，f?x?0；当x?0时，f?x?0.故f?x?在x?0处取得极小值f?0?0.定理4 设f?x?在U?x0?内具有二阶导数，且f?x0?0, f?x0?0，则 (1) 当f?x0?0时，f?x?

31、在x0取极大值； (2) 当f?x0?0时 ，f?x?在x0取极小值. 证 将f?x?在x0处展开为二阶泰勒公式，并注意到f?x0?0，得 f?x?f?x0? f?x0?22 x?x0?o?x?x0?. ?2! ? 因为x?x0时，o?x?x0?是比?x?x0?高阶的无穷小量，故0 lim f?x?f?x0? ?f?x0? 2! ? ? 2 ? 2 x?x0 ?x?x0? 2 由函数极限的局部保号性，故当f?x0?0时，?0，使当x?U?x0,?，有f?x ? fx?0?，? 即f?x0?为函数f?x?的极小值；当f?x0?0时，?0，使当x?U?x0,?，有，即f?x0?为函数f?x?的极大

32、值. f?x?f?x0? 例如，对于例4的驻点x1?1，x2?3分别有f?1?12?0，f?3?12?0，故f?1?为极大值，f?3?为极小值. 【例3】 求f?x?x3-3x的极值. 解 f?x?3x2?3?3?x?1?x?1?，f?x?6x. 令f?x?0得x?1.由于f?1?6?0，所以f?1?2为极大值；f?1?6?0，所以f?1?2为极小值. 二、函数的最值及其应用 a,b若f?x?为上连续函数，且在(a,b)内只有有限个驻点或导数不存在的点，设其为 a,bx1,x2,?,xn，由闭区间连续函数的最值定理知f?x?在上必取得最大值和最小值.若 最值在(a,b)内取得，则它一定也是极值

33、，而f?x?的极值点只能是驻点或导数不存在的点. a,b此外，最值点也可能在区间的端点x?a或x?b处达到.于是，f?x?在上的最值可以 用如下方法求得: maxf?x?maxf?a?,f?x1?,?,f?xn?,f?b?， x?a,b? x?a,b?minf?x?minf?a?,f?x1?,?,f?xn?,f?b?. 为简便，有时我们将f?x?在某区间上的最大值和最小值分别记为fmax和fmin. ?1,3【例1】 求f?x?x4?8x2?2在上的最大值和最小值. 解 由f?x?4x?x?2?x?2?0，得驻点 舍去). x1?0，x2?2，x3?2 (x3?1,3 计算出 f?1?=-5,

34、f?0?2,f?2?14,f?3?11. ?1,3故在上， fmax?f?3?11， fmin?f?2?14. 下面两个结论在解应用问题时特别有用： a,b(1)若f?x?为上的连续函数，且在(a,b)内只有惟一一个极值点x0，则当f?x0?为 a,b极大(小)值时，它就是f?x?在上的最大(小)值. a,ba,b(2)若f?x?为上的连续函数，且在上单调增加，则f?a?为最小值，f?b?为 a,b最大值；若f?x?在上单调减少，则f?a?为最大值，f?b?为最小值. 在工农业生产、工程设计、经济管理等许多实践当中，经常会遇到诸如在一定条件下怎样使产量最高、用料最省、效益最大、成本最低等等的一

35、系列“最优化”问题.这类问题有些能够归结为求某个函数(称为目标函数)的最值或是最值点(称为最优解). 【例2】 要制造一个容积为V0的带盖圆柱形桶，问桶的半径r和桶高h应如何确定，才能 使所用材料最省？ 解 首先建立目标函数.要材料最省，就是要使圆桶表面积S最小. 由r2h?V0得h?V0，故 2r S?2r2?2rh?2r2?2V0 r(r?0). 令S?4r?2V0r?，得驻点? 00r2 ?)内S只有惟一一个极值点，故这极值点也就是要求的最小值点. 从而当又因在(0， h?2r时，圆桶表面积最小，从而用料最省. r? 像这种高度等于底面直径的圆桶在实际中常被采用，例如储油罐，化学反应容器

36、，各种包装等. 【例3】 如图3-7所示，某工厂C到铁路线A处的垂直距离CA?20km，须从距离A为150km的B处运来原料，现在要在AB上选一点D修建一条直线公路与工厂C连接.已知铁路与公路每吨公里运费之比为35，问D应选在何处，方能使运费最省？ 图3-7 解 设AD? x，则DB?150?x，DC，设铁路每吨公里运费为3k(k?0)，则公路上的每吨公里运费为5k.于是从B到C的每吨原料的总运费为 y?3k? 150?x?5x?(0,150). 这是目标函数，我们要求其最小值点.令 ?y?3?k?0， ? 得x?15.在(0,150)中y只有惟一的驻点x?15.又因为?x?(0,150)，有

37、y?2000k ?x2?400?2?0，故在x?15处，y取最小值.于是D点应选在距A点15km处，此时 全程运费最省. 【例4】 宽为2m的支渠道垂直地流向宽为3m的主渠道.若在其中漂运原木，问能通过的原木的最大长度是多少？ 解 将问题理想化，原木的直径不计. 建立坐标系如图3-8所示，AB是通过点C(3,2)且与渠道两侧壁分别交于A和B的线段 . 图3-8 ?设?OAC?t,t?0,?，则当原木长度不超过线段AB的长度L的最小值时，原木就?2? 能通过，于是建立目标函数. L(t)?AC?CB?23?,t?0,?. sintcost?2? t3(?sint)3sint2cost 由于 L?

38、 ?t?2cos sin2tcos2tcos2tsin2t ?3sint?23?， 1?cott?2?cost?3? ?sint当t?0,?时，2?0，于是从L?t?0解得 cott?2?t041?8?. ?这个问题的最小值(L的最小值)一定存在，而在?0,?内只有一个驻点t0，故它就是L的最?2? 小值点.于是 ?t?0,?minL?t?L?t0?7.02. 故能通过的原木的最大长度是7.02m. 第六节 曲线的性质与描绘 一、曲线的凹凸与拐点 前面我们讨论了函数的单调性，但单调性相同的函数还会存在显著的差异.例如， y?y?x2在0，?)上都是单调增加的，但是它们单调增加的方式并不相同.从

39、图形上看，它们的曲线的弯曲方向不一样，如图3-9所示.下面我们就来研究曲线的凹凸性及其判别法. 图3-9 我们从几何上看到，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方，如图3-10所示，而有的曲线弧则正好相反，如图3-11所示.曲线的这种性质就是曲线的凹凸性.因此，曲线的凹凸性可以用连接曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点(即具有相同横坐标的点)的位置关系来描述.下面给出曲线凹凸性的定义 . 图3-10 图3-11 定义 设f?x?在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2，恒有 ?x?x2?f(x1)?f(x2)f?1， ?22? 那么称f?x?在I上

40、的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有 ?x?x2?f(x1)?f(x2)f?1， ?22? 那么称f?x?在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 如果函数f?x?在I内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理.我们仅就I为闭区间的情形来叙述定理，当I不是闭区间时，定理类同. a,b定理 1 设f?x?在上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么 a,b(1)若在(a,b)内f?x?0，则f?x?在上的图形是凹的； a,b(2)若在(a,b)内f?x?0，则f?x?在上的图形是凸的. a,b证 (1) 设x1和x2为内任意两点，且x1?

41、x2，记x1?x2?x0，并记 2 x2?x0?x0?x1?h，则x1?x0?h,x2?x0?h.由泰勒公式，得 f(x0?h)?f(x0)?f?(x0)h?f(x0)?f(x0?h)?f?(x0)h? 1? f(1)h2， 2! 1? f(2)h2， 2! 其中1介于x2与x0之间，2介于x1与x0之间.两式相减，即得 f(x0?h)?f(x0?h)?2f(x0)? 按情形(1)的假设，f?(x)?0，故有 1? f(1)?f?(2)?h2 ?2! f(x0?h)?f(x0?h)?2f(x0)?0， 即 f(x0?h)?f(x0?h) ?f(x0)， 2f(x1)?f(x2)?x?x2? ?

42、f?1?. 22? 亦即 a,b所以f?x?在上的图形是凹的. 类似地可以证明情形(2). 【例1】 判断曲线y?lnx的凹凸性. 解 因y? 1 ?)内处处为负，故曲线，y?12，y?lnx的二阶导数在区间(0， xx y?lnx在区间(0，?)内是凸的. 【例2】 判断曲线y?x3的凹凸性. 6x解 y?3x2，y?. 当x?0时，y?6x?0，曲线是凸的； 当x?0时，y?6x?0，曲线是凹的. 本例中，点?0,称为曲线的拐点.一般地，连续曲线y?f?x?0?是曲线由凸变凹的分界点，上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点. 如何来寻找曲线y?f?x?的拐点呢？ 前已知道，由f?x?的符号可

43、以判定曲线的凹凸性.如果f?x0?0，而f?x?在x0的左右两侧邻近异号，那末点x0,f?x0?就是一个拐点.因此，如果f?x?在区间(a,b)内具有二阶导数，我们就可以按下列步骤来判定曲线y?f?x?的拐点. (1)求f?x?； ? (2)令f?x?0，求出这方程在区间(a,b)内的实根； (3)对于(2)中求出的每一个实根x0，检查f?x?在x0左、右两侧邻近的符号，如果f?x? 在x0的左、右两侧邻近分别保持一定的符号，那末当两侧的符号相反时，点x0,f?x0?是拐点，当两侧的符号相同时，点x0,f?x0?不是拐点. 【例3】 求曲线y?2x3?3x2?12x?14的拐点. ? 1?解

44、y?6x2?6x?12，y?12x?6?12?x?. 2? 11111解方程y?0，得x?.当x?时，y?0；当x?时，y?0，又f?20，?2222?2? 11?因此，点?，20?是曲线的拐点. 2?2 【例4】 求曲线y. ?)内连续，当x?0时 解 显然函数在(?， y? ，y? ?)内不连续，且不具有零点.但x?0是y?当x?0时，y?,y?都不存在.故二阶导数在(?， ?)分成两个部分区间：(?，0),(0，?). 不存在的点，它把(?， 0)内，y?0，曲线在(?,0)上是凹的.在(0,?)内，y?0，曲线在(0,?)上在(?, 是凸的. 0)是曲线的一个拐点，如图3- 12. 又x?0时，y?0，故点(0， 图 3-12 二、渐近线 曲线C上的动点M沿曲线离坐标原点无限远移时，若能与一直线l的距离趋向于零，则称直线l为曲线C3-13所示 . 图3-13 渐近线反映了曲线无限延伸时的走向和趋势.确定曲线y?f?x?的渐近线的方法如下： (1)若limf?x?，则曲线y?f?x?有一铅直渐近线x?x0； x?x0 (2)若limf?x?A，则曲线y?f