自动控制原理_第3章习题解答

1、第6章控制系统的设计和校正习题及解答61试求题6-1图有源网络的传递函数，并说明其网络特性。Ri R、题6-1图解(1)山题:补丄+"0sCG亠缪J'"吉Uj C)/?3(RRr +/?.i+ R°R.i、小-即凡(-&込)心1R.、sC +1转折频率为:尽+尺3q+ R&4 + R2R4)C *1RC6T© < a)2该网络另一个比例微分环节，为超询网络。Q =U=0(2)由题：p,©) =込一咗u&) r3Rz (RCs +1)6T该网络为一个惯性环节，为一个滞后网络。(3)由题:Un"严匕

2、h + 2 = ° R3= 0&+(圭+他)(心 士)6TRS),CS +1G(s) =105(0.25 + 1)/、& + （丄+&）凡丄5船-一 j討丽*为一个t匕例一积分一微分邸节。6-2己知单.位反馈控制系统的开环传递函数为6-#当串联校正装置的传递函数G（. C）如下所示时:(a)G (s)=0.2s+ 10.05$ +1fc)2C + 1) Q0s + l)6-#105 (0.25 + 1)1002s +1005$ + 15 (0.055 + 1)（1）试绘岀两种校正时校正前和校正后系统Bode图;试比较两种校正方案的优缺点。解：（1）当q（）=+

3、 1时,校正前系统的开环传递函数为：GC） =0.055 + 1系统的Bode图为图6-2-1 （a）。校正后，系统的开坏传递函数为:G（s） = G（s）Gc （s） = -5 （0.25 + 1） 系统的Bode图为图6-2-1 （b）o6-36-#6-#当恥心船时则校正后系统的开环传递函数划26 + 1) _20(y + l)(LOs + 1) 一 s(0.2s + l)Q0s + l)6-#/.系统的Bode图为图6-2o泗TOO.5(1-oa10ID10SV弋t £50.I:M:135:!:x:*ll;:岀6-#Freqiierc? rwx>图 6-2-2比较：方案一

4、相当于串联了一个滞后校正装置，系统相位滞后，减小了稳态误差，但 不能改善系统的瞬态响应过程；方案二相当丁串联了一个超前校正装置，系统和位超询， 可以改善系统的动态性能指标，但稳态谋差得不到改善。6-3己知一单位反馈系统的开环传递函数为G（y）=200$（0.1$ + 1）试设计一超前校正装置，使系统的相角裕®/>45°,剪切频率> 505-1 o解（1）求得未校正系统的幅值裕量K” =+s/B相位裕量为：/0 =12° <45°；剪切频率为：©o=44.3（2）系统所需要增加的超前相位角卩为：汽二7-人+ £ = 3

5、8。（3）令超前校iE装置的最大超前相角（pm =（pc，则参数a：1- sin 0”， 门 c,a = =0.241+sm%由|G°（丿®）| =200Va = V24 = 0.48996-#(5) T com = a)c = 63.5/. co = 63.5 > 50T = =0.032155* a则超前校正网络加放大器后其传递函数为：广（、 Ts +10.03215$+ 1G（5）=6/75 + 10.00775 + 1（6）校正后系统的开环传递函数为：6-5G (5) = Go(5) G(.($) =200(0.032155 + 1)5(0.15 + 1)(0

6、.00775 + 1)从而校正后系统的Bode图为图6-3 (b)：09ode Dwy”50£p 蛍 5Zo总 gud6"#图 6-3 (b)其剪切频率为 ©=63.5 >50 ； y = 47° >45°即设计正确。6-4单位反馈系统的开环传递函数为G(s) =45 (25 + 1)6"#设计一审联滞后校正装置，使系统相角裕®/>40°,并保持原有的开环増益。解:(1)求得未校正系统的相位裕量y=20。，不满足耍求。(2)未校正系统的相位角为：ZG0 (>r) = -180° +

7、 / + = -128。时的频率 0 =0.64,令其为新的剪切频率，则|Go()0)| =/= 4.8coc J(2©> +10 =仇(/0)| = 4.8 取 0 = 5(3)为保证滞后校正网络对系统在0.处的相频特征皋本不影响，按下式计算滞后校正网络的第二转折频率:吩存弩0128,职7 = 7.8125(4) 滞后校用网络的传递函数为:G(£)=75 + 107 + 17.8125$+ 139s+ 10>1)6"#G(s) = Gq (s)G. (s)=(5) 校正后系统的开环传递两数为:478125$ + 1)s(2$ + l)(39$ + l

8、)6"76-5设单位反馈系统的开环传递函数为GS =55(0.15 + 1)(0.255 + 1)6-#试设计一校正装置，使系统满足下列性能指标，速度误差系数Kv = 55-1,相位裕暈 / > 40° ,剪切频率 g > 0.55-1 o解： =豁帆(。上+呃25”)乐系统的开环増益K二5,满足要求。(2)求得原系统的剪切频率为：0 =3.6 >0.5； y = 28° < 40° 相角裕量y不满足耍求，采用串联滞后校正。当未校正系统的相位角为ZG0 (ja)e) = -180° + / + £ = -128

9、°时的频率少=2.0,収其为新的剪切频率0.。此时 |G° (jA)| = I/= 2.3©J(O.10.)2+l.J(O.25d)2+l0 =心(jc)| = 2.3为保证系统在皎处的相频特性不受影响，按下式确定滞后校正网络的第二个转折频率：唇，牛0.47 = 2.5滞后校正网络的传递函数为：心=济 校正后系统的开环传递函数为：2.5$ +15.75$+ 1G (s) = G° C) Gc (y)=5(2.55 + 1)$(0.1$ + l)(0.25$ + l)(5.75s + l)校验系统的性能指标：K严严严Q = 5剪切频率© = 2.

10、0,相角裕最/ = 45.8。，满足耍求的条件。6-6已知单位反馈系统的开环传递函数为GC)二KS& + 1)6-#试利用根轨迹法设计超前校正装置，使系统满足下列性能指标< = 0.7,=1.45,K、= 2严 o解:(1)根据耍求的性能指标，确定希望主导极点2的位置。由 ts=lAs , =0.7 得© =3.加=-®” 土 j%Tl7?7 = -2.M ± 丿214(2)设串联超前校正装置的传递函数为：Gc (s) = aTs + 1aTslSPc则校正后系统的开环传递函数为：GC) = G°(s)Gc W)K<(3) 由相角条件

11、，确定超前校正装置所提供的超前相角：(pc 二±(2R + 1)兀一ZG0 £) = -180°一 -厶 1 -Z(s1+1)= 72.6°(4) 由校正后系统的幅值条件，求校正装置的零极点位置及参数a和T由 Kv = lim sGq (y)= lin =K = 2.即K = 20stO 5 + 10 =述伽_ +180。= 45°J2.1)=q= -1.6sinS-&-刃= 31.2° ； :.zc2 = 0.625Pe = e” ._ = _5 6 ； a = i± = 0.286, T =sinOr-C-y-0

12、 )p. (5)校验5lt2 =-2.14± >2.14能否作为系统的闭环主导极点。5 + 1.6 k _ 2K<( + 1.6)5 + 5.6 r s 2 + 1)6+ 5.6)为补偿超前校正装置的幅值衰减，吊联一个放大倍数为Kc的补偿放大器。 则校正后系统的开环传递函数为：G(s) = Gq (s)Gc(S)-Kc=-5(5+ 1)由校正后系统的幅値条件确定KcG(s)2K<. g+1.6)s1 £ +1) £ + 5.6)=1 /. Kc = 6.656-913.36 + 1.6)K、= lim 5G (5) = 3.8 >2闭环传递

13、函数：恥)品)i3.3m.6)+m)c + 5“从而求得系统的闭环极点：5L2 =-2.14± ；2.14,53 =-2.25闭环零点 = -1.6 其中$3和相抵消，从而512 =-2.14± )2.14可以作为系统的闭环主导极点。 即按所给性能指标设计的G<()可满足条件。6-7单位反馈系统的开环传递换数为：G°S= ?，要求系统响应的超调$C+2)© + 4)量Mp "6.3% ,调整时间r, < 45 ,开环增益K>1,设计审联超前校正装置。解：根据对系统各项暂态响应指标的要求，确定期望闭环主导极点的位置。A/卩16.

14、3% ,可确定f = 0.5； r, <45,可确定即> 2 , T是期望闭环主 导极点为：s(/=-l±1.73jr绘制未校正系统的根轨迹如图6-7-1 (a)所示，从图可见根轨 迹位于期望闭环主导极点的右侧。由此可引入串联超前校正环节使根轨迹向左移动。为了使根轨迹能通过期望闭环主导极点,超前校正网络提供的超前相角应为: (pa = -180° - ZG0 ©) = -180° - 6120° -60°-30°) = 30°为保证的主导作用，使补偿零点乙位丁开环极点吃的左侧，取= -2.5 o考虑到6

15、-#(pa = 30°的耍求，从作图可知隅6-7-1 (b),应収pc = -6.5 o超前校|卜：装置的传丙为:Gc (y)5 + 2.55 + 6.5校疋后系统的开环传函为:其根轨迹如图6-7所示，根据片与开环零、 极点之间的距离，利用幅值条件，可计算出=35,开环增益2 5K= =1.68,在此(值下，另外阴个2x4x 6.5闭环极点的位置可用幅值条件确定，得到53 = -2.78,54 = -7.64 ,于是校正后系统的闭环传 函为：O(y) =35C + 2.5)(y +1 +1.73j) (s+ 1-1.73;)(5 +2.78) (y +7.64)，闭环极点278与主导

16、极点的实部-1较为接近，但由丁其附近闭环零点吆.5的作用，消弱其对暂态响应的影响，从而保证了的主导作用。6-8单位反馈系统的开环传递函数为：Go(y)= ,。要求： = o.45, ts<5s,5 (y + 2)(现取.=4s), K>10,试设计串联滞后校正装置。6T解：根据给定要求，确定期望闭环主导极点为：=-l±2j,做未校正系统的根轨 迹如图68(3)所示，由图可见，未校正系统根轨迹过期里闭环丄导极点，用幅值条件求得(b)该 点的 K】=5,Kv=K = 2.5 ,小丁给定耍求, 需要串联滞后校正装置。为满足系统对开环增益的 耍求，滞后校正装置的系数应 为：02冥

17、=4,为了留有余 地，现选0 = 6,在图6-8 6) 中，从出发作一直线，使其 与g线的夹角为6°,此苴线与 负实轴的交点为滞后校正装置 零点的位置，从图可知， j = -0.25 , T是极点为7c 4- 0 2 5pc = = -0.04 ,滞后校正装置的传函为：Gc G)=,校正后系统的开环传函0$ + 0.04为：G(y)=K£0.25)绘制校正后的根轨迹如图6-8(b)所示，在图6.8®中作s + 2)6 + 0.04)g = 0.45的g线，和根轨迹交点的坐标为-0.88 ± jl.65 o用幅值条件求得该点的 K = 3.91, KV=K

18、= 12.22，此时另一个闭环极点为4).29。系统的闭环传递函数为：*、3.91 (s +0.25)(y)=(s + 0.88 +1.65j)(S + 0.88 一 1.65 j) b + 0.29)可见校任后实际上导极点位期里主导极点的右下侧，阻尼比相同，但调整时间略长,4为：ts = =4.55s,满足要求。'0.88可见校正后实际主导极点位丁期果主导极点的右下侧，阻尼比相同，但调整时间略长,4为：ts = =4.55s,满足要求。0.886-9单位反馈系统的开环传递函数为10s 0.25s+ 1) (0.05$+ 1)若要求校iE后系统的谐振峰值M=1.4,谐掠频率©

19、试确定校£装置的形式与参数。解：(1)当y = l.ri.6时，谐振峰值M,与相角裕度，有如下近似公式y = arcsin - = arc sin = 45.6°Mr1.4叫了 =10(2)将原系统近似视为二阶系统，由公式：畋=©训1 + 4/匸破My =1.4.2：厂？7coc = 10.084/. 3 > 10.084解得：=0.39乂耍求厂>10(3) 原系统的相角裕量为儿=20°；剪切频率为0。=5.6<0需串联超前校正装置，超前相角 (pc=r-rQ+e = 45.6° + 20° + 5° =

20、70.6°(4) 令超前校正装置的最大趙前相位角(pm =(pc,则可得1 sin 0a = = 0.038l + sm%(5) 由|G°(=/°_/= yct 0.195畋 J(0.25q) +1. J(O.O50 尸 +1. © = 15 > 10, 乂 com = coc:.T =0.342$%晶串联超前校正装置的传递甫数为：厂(、Ts + 10.3425 + 1Gr( s)=2Ts + l 0.0135 + 1由幅值条件:0 Q+ 丿0050)(1+ JO.250) K = 73校正后系统的开环传递函数为:73_ Z K« vr0

21、.3425* +1G u)=$ (0.05$+ 1) (0.25$+ 1) 0.013$+ 1此时求得相位裕最厂= 46。，满足条件。6-10己知单位反馈系统的开环传递函数为$GT$ + 1)要求串联校正以消除该系统跟踪匀速输入信号时的稳态误差为零，试设计串联校正环节。解：为消除该系统跟踪匀速输入信号时的稳态误差，校iF后系统应为口型系统，因此 所设计的串联校iE环节应包括一个积分环节，若选Gc (s) = ,校用后系统的开环传旳S 6-15为Gb)= 仔 、,此时满足稳态要求，但还耍考察系统的稳定性，系统校正后的特征 多项式为：DC) = 7，+ $2 + KK,系统缺项，系统不稳定。系统之

22、所以不稳定是由于 无论T取何任值系统的相角裕帚总是为负，因此串联的校世环节还应该包括能提供£补偿 相角的环节，如贡+ 1,即Gc Q= K® + 1)。s校止后系统的开环传函为G(s)= KK严+ D ,系统校正后的特征多项式为：5 - (Ts +1)DQ = C' + $2 + KKe + KK,从给定系统稳定出发，有KKKKT>0,所以 t>T。参数r具体的取值可根据校正后系统对相角裕応的要求來泄，参数K需根据系统 响应匀加速信号的稳态误差允许值來定。6-11单位反馈系统的结构如题6-11图所示，现用速度反馈來校正系统，校正后系统具 有临界阻尼比：=

23、1,试确定校正装置参数K,。题&12图题6J1图解：由题可得：前向传递函数为：GQ=:呎1 + Go b)H (s)$(0.1$ + l) + 14.4K/SG(s)14 4从而闭环传递函数为：Gb W = =1 + G (s)5* (0.15 + 1) + 14.4K/S +14.414.414.414410.1疋+Q4.4K,+l)s + 14.4 0.1 , l + lAAKt 】一疋 + (LO + 144KJ$ + 1441厂 +S + 1114.414.4乂 v=l或校正前:或校iE后:14.414.4解得 K, = 0.097© =12md/s,： =卫-=0.

24、4172©，/ .10 + 144K,尸 144K,=12/5,= =1 nn得：Kt = 0.0976-12已知系统如题6-12图所示，耍求闭环回路的阶跃响应无阻尼，并且系统跟踪斜坡 信号时无稳态误差，试确定K值及前馈校正装置Gt. W） o解:r（s）=G°Q+q)l + G。6-17:.E = R)-Y(s) =s(0.h + l)吟+ l)0KG&)g 肌)二) s (0.15 +1) (0.55 +1) + 10Kin/r(0.15 + 1)(0.55 + 1)-6 (?)10K/.= lim (5)= lim= 0" stOstO乂 lin (

25、0.1s+ 1) (0.5s+ 1) = 1stO要求 Un（y） = l,则 G&）的最简式为：= t$T0 f 10K要求阶跃响应无阻尼，即耍求 = 0o(1)乂G二化 20M0K） “ R（s） 芒 + 12疋 + 20$ + 200«20(v + 10K)乂.： =0是针对系统的主导极点而言的（即针对二阶系统而言的），所以耍从分母中 提取出C + 10K）从而降阶为二阶系统。/. Gr （y） = c、一（r +as + b）（s + 10K）比较式（1）（2）两式分母的同次幕系数有d = 0,b=20,K = 1.2 厂八20Gb（5）=$2+20q ) = K ,

26、6-13已知系统如题6-13图所示，试确定Glf （y）和使系统输出最完全不受十扰 信号”0）的影响，且单位阶跃响应的超调暈等T-25% ,峰值时间等T-25 o其中题 6-13 E 解：当R（s） = 0时，输出仅与干扰有关：Y(s) = Gn®N® =1 + G (t)G2 (?)G1C (5) + G2(5)G2C (y)1+G(s)G2 C)G】c C)乂因为输出不受输入的影响，即对任意干扰N Q,输出丫6)均为0,从而1 + $ (s)G2 (s)G1c C) + G2 (s)G2C (y) = 0Gc W = -1+G1 g 傀 ®当 Nb) = 0

27、时，则 © (s) =0 =丽=Gk (s)1 +(y)GK (s)=-由M厂:£-麵阿 xlOO% -25%和f“-:- 2s可得所希望的闭环极点卩必-严1+G (s)G2 (s)G1c (y)为51i2* = -1.75± j4,所以希望系统的特征方程为:£)*&)= 6-打*)6-e*) = s2+1.36$+2.93 = 0(1)6-#乂实际系统的特征方程为：1 + Gk®) = 0,即：疋+ KGcC) + K = 0(2)/、K严 0.46对比(1) (2)式，若G1C (s) = KlS ,则2 1K = 2.93则有：G

28、1C (y) = 0.46j , G2C (s) = -s2 -1.36s 0题 6 -14 El6-14如题6-14图所示，试采用串联校正和复合 控制两种方法，消除系统跟踪斜坡信号时的稳 态谋差，分别计算出校正装置的传递函数。解：采用串联校正开环传递函数为：G(v) = Gt. WAf s (Ts +1)lin 54 = AK5 (Tj + 1)j 1 + G(s)s2 K、Kv = lin sG (?) = lin sG (y)$t0$t0满足以上条件时G6)的最简式为:耍使系统在斜坡信号作用下的稳定误差为0,设则校正后系统的开环传递函数此时盂判断系统在宋联校正后是否仍稳定，山特征方程52

29、 (7 + l) + K：K = 0即7 + $2 + KK = 0,缺少H项，可见此时系统不稳定。从(1)式可以看出，系统之所以不稳定，是因为无论T取何值，系统的相角裕度总为负, 因此，耍使系统稳泄且无稳态谋差，除提供积分环节外，还应包括一个能提供iE补偿相角的环节。设恥心 丁，则校正后系统的开环传递函数为"心笔甯 从而系统的特征方程为：52 GTs + l)+KK& + l) = O即 7V + s2 + KKry + K】K = 0,要使系统稳定，则 K1Kt-K1KT>09 即 r>T .乂 E(5)= /?($)($)= R(S)- G b(5)/?(5

30、)= /?(s)(lGp (5)乂 G& (s)=1 + GW) 一K】K& + 1)疋 QTs + 1)+KK& + 1)KKts + K：KTs、+ s? + KKts + K、K/.£(s) =Ts3+s2Tsz s2 + K.KTS + K.KR®Tsa+s3=變/£°)=辄 7 + s2 + KK頁+K】K6-19耍使=0,则K】h0即可。（2）采用复合控制设加入控制装置后，如下图所示:YA +/ G©_ 皿+ 1)十 f (T5 + 1) _ K + KGc(s) _ K + KGc(s)| K- $<

31、Ts + l)+K - Ts2 + s+KsGT$ + l)E®=R® G®R® = Tt+$_KG<() r s门？+S + Kv 、 v s(Ts2+s-KGc (s) 1 v Ts2 s-KGc (y) n二 j = hm 5E (y) = hm = hmz-=0o$to Ts + s + K sto Ts + s + Ks/. Gc （s）的最简形式为：G（s） = mK6-15设单位反馈系统开环传递函数为Go (v) =$C + 2)耍求系统超调MMp<16.3%,过渡过程时间rs<1.5s,静态速度误差系数KQ2（1Q,试利

32、用 MATLAB设计一超前校正装置Gc（5）o解（1）根据要求的性能指标，确定希望主导极点SX. 2的位置；由超调暈Mp<16.3%,过渡过程时间rs<1.5s,得结0.5,型二4。从而可得希與的闭环主 导极点为si. 2=吃土卫讷设串联超前校正装置的传递函数为Gt (s) = s_ Pc则校正后的系统开环传递函数为6-#G（s） = Gq g g = G° g C）丄 a（3）由校正后系统的相角条件，计算超前校正装置应提供的超前相角3 = ZGc G）= ± +1）180° - ZG0 匕）=-180° - Z £ + 2) =

33、-180° - J21O°) = 30°由校止后系统的幅值条件，求校止装置零、极点位置以及参数a和T； 由 /C =lin sG. (y) = - = i=2,得 k = 4$to 05 + 22而0 = arctg = 60°2所以有 y = O-汽)= 45°：乞=一2.9,代=一5.4,乙2.9 门 干1=0.531, 1 =Pc5.4J以及Q =0.3456）校验S1.2= -2±£a/3是否可作为系统的闭环主导极点为补偿超前校正装置的幅值率减，串联一个放大倍数为Kc的补偿放大器，则校iE后 系统的开环传递函数为G(

34、s) = GoQG (s)K =-0 z c z c/ ccs© + 2) s 代.4K, + 2.9)5(s + 2)(s + 5.4)校疋后系统的根轨迹如图6-6中实线所示，由以下幅值条件确定Kc值=G° g C)K4K/ + 2.9)$C + 2)C + 5.4)=1静态速度谋差系数闭环传递函数为K c=18.7/l=4.68K、= lin sGq(s)Gc(s)Kc = 5.02 5->01&7 6 + 2.9)比 + 2)6 + 5.4) + 18.76 + 2.9)宙上式求得系统的闭环极点为sb 2= "2土卫73,昂二-3.4；闭环零点为Z1= -2.9o因闭环极点=-3.4与闭环零点zi= -2.9比较靠近可相互抵消，所以闭环极点si. 2= 吆土卫也可作为系统的闭环主导极点。即按二阶系统性能指标设计的Gjs）可使闭环系统达 到希