自主招生试卷分析

1、自主招生试卷分析 （自主招生辅导内部资料，禁止外传）一：试题特点自从 2006年复旦大学、 上海交通大学等全国重点院校招生改革 “破冰”以来，各校“深化自主选拔录 取改革试验 ”招生方案不断出台。全国自主招生院校数目及招生规模也在增加，引起了教育界和广 大考生、家长和中学教师对命题的高度关注。以下就近两年数学考试特点进行剖析。试卷特点分析1. 基础知识和基本技能仍是考查重点基础知识、基本技能称之为 “双基”。大家知道，能力与“双基”有着辩证关系。没有扎实的 “双基”， 能力培养就成了无源之水，无本之木。所以， “双基”训练是数学教学的重要任务之一。综观复旦、交大、清华等高校近几年自主招生的数学

2、题目，我们会发现有60%至 70%的题目仍是比较基础的。例如近三年来上海交大卷的填空题都是 10 题（ 50 分），占试卷的一半，这些填空 题比较常规，和高考试题难度相当。复旦卷有 30 题左右的选择题，也多半是学生平时训练过的一 些比较熟悉的题型和知识点。2. 考查知识点的覆盖面广，但侧重点有所不同 复旦、交大等高校近几年自主招生的试题，知识点的覆盖面还是很广的，基本上涉及到高中数 学大纲的所有内容。例如，函数、集合、数列、复数、三角、排列、组合、概率统计、向量、立体 几何、解析几何等。但高校自主招生试题命题是由大学完成的，更多会考虑到高等数学与初等数学的衔接，所以提 请大家注意几个方面：函

3、数和方程问题、 排列组合和概率统计等 粗略统计， 2008 年复旦卷中与函数和方程有关的试 题多达 10 题，占 31%。复数 复数通常在高考中要求比较低，占的比分也较少，但在复旦卷中仍占有一席之地（ 2008 年及 2007年分别有 2 题和 3题）。矩阵和行列式 这些知识虽然目前还未纳入高考范围，但由于是高等数学中非常重要的内容， 近几年在复旦卷中每年都会出现。以上各点，望能引起广大师生的注意。3. 注重数学知识和其他科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力二：命题思路研究与探索 （一）：列项相消求和的广泛应用背景 例 1（2004 年复旦大学自主招生试题） 求证AAAyni=y；-2,

4、n =1,2,3,，证明:lim(-.- )=pfy-YiY2y”2yn咛-2 3 _3 （_31）x3 - ax2 bx c = 0的三个根分别为a, b, c,并且a, b,c是不全为零的有理数例2 （2006上海交大保送生考试试题）已知:k+2k! (k 1)! (k 2)!,则数列1an 的前100项和为 例3（ 2006年复旦大学自主招生试题）下列正确的不等式是（）120A.16 八i 土1：17120B.18 :、i 11：19120C.20 : 'i总1:21120 1D.22 ：': 23i 吕 k例4 （2008年上海交大冬令营试题）数列：an /的通项公式是

5、an1n、n 1 (n 1). n则这个数列的前99项和S99 =例5（ 1994年高等数学竞赛试题改编）:M即可)2,设数列中an 0 （n=1,2,3,.）Sn _ y a，试证明lim 2存在（提示如果能证明 卑7FSj2Sj例6 （2010年清华五校自主招生联考试题）设p,q是一元二次方程x2 2ax-1=0（a 0）的两个根，其中p>0令/np-q, ynyj1 1 1n 二 1,2,3,.,证明：lim（.） = py y1 y2y1y2.yn二：基于对称性解题思路导引分析例1 （2009年中国科技大学自主招生试题）求证：对任意的x, y R,不等式x2 xy y2 - 3（

6、x y -1）总、成立。例2 （2009年清华大学自主招生试题）1已知：x, y R,且x y =1,证明：x2n+y2n 歹百.3T11例3设x（0,）,则（sin2 x厂）（cos2x厂）的最小值为 ;2sin xcos x例4 （2002年上海交大保送生考试题）正实数x,y,z满足x2 y2 z 1,则丄丄，丄的最小值是 ;x y z例5（ 25届国际奥林匹克试题）设x, y, z是非负实数，且 x y z =1,求证:0 _ xy yz xz -2xyz "-27前面谈到，如果试题具有内在的对称性，往往相对容易，但命题者也注意到这个问题，所以近来也有非对称问题。如2009年全

7、国高中联赛江苏赛区13题：若不等式,x , y _ k x 2y对任意的正 实数x,y成立，求k的取值范围。三：以初等数论基础知识为背景的试题相关的常见知识有：奇数的平方被8除余1,质数与合数，奇数与偶数，不定方程的解，求N !中质因数p的个数为：N上2 冥上4 等等。但有些高校这些不涉及。P P P P例1（ 2009年清华大学自主招生试题）试证明：当p,q都为奇数时，函数y=x2-2px，2q与x轴交点的横坐标为无理数。例2 （高考试题改编）数列 玄中，an二n - .2,求证：数列中任意三项不可能构成等比数列 例3（ 2010年高考试题改编）1 o数列:an ?中，an二（-）2,求证：

8、数列Can ?中任意三项不可能构成等差数列。4 3例4（ 2009年清华大学自主招生试题写出所有的由3个质数组成公差为8的等差数列。例5（ 2009年北京大学自主招生试题）是否存在实数x,使得tanx ,3与cotx.3均为无理数。例6（ 2006上海交大）2005 ！的末尾有连续 个零.例7 （2009年清华大学自主招生试题）设5 1的整数部分为A,小数部分为B,求A,B,（2）求A2 B2 1 AB （3）求lim（1 B B2 . Bn）例8 （2008清华大学自主招生试题）求正整数区间m,n（m<n）中不能被3整除的整数之和。（提示：在区间0,n中，3的倍数为-，故3区间0,n中

9、不能被3整除的整数之和为 巴 卫_丄3 - （ -1）2233例9 （2006年上海交大自主招生试题）一个正数，若其小数部分，整数部分和自身成等比数列，则该数为 四：以方程论基础知识为背景的试题（主要涉及一元二次，三次方程） 这里用到一元三次方程的韦达定理设a3x3 a2x2 aix a0（a -0）三个根为为必，怡，则有x1x2x3 -aa3«x1xx2x +x3x1 =a。X1X2X3 =a3例1（ 2005上海交大自主招生试题）x3 ax2bx0的三个根分别为a, b,c,并且a, b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值。例2（ 2009年清华大学自主招生试题） 请找出一个

10、以.233为根的整系数多项式。例3（ 2005上海交大）若z3 =1，且z- C,贝Uz3 - 2z2 2z 20 =例4 （全国初中联赛试题改编）已知x = 4 - '一 3,则432x-6x-3x2 26x 102x -8x 15例5 （2004年复旦保送生试题）x8 1=（x4 、，2x2 1）（x4 ax2 1）,贝 U a=xy =2x y T例6解方程组< yz =2z +3y _8iXZ =4z +3x -8五：特色新颖试题例1 （ 2008年交大冬令营数学试卷）通信工程中常用n元数组佝，a2a表示信息，其中a=0或1 , i、N .设u=(a,a,ana) V =

11、44133bn), d(u,v)表示u和v中相对应的元素不同的个数.(1) u =(0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v使得d(u,v)=1;(2) u=(1,1,W问存在多少个5元数组v使得d(u,v)=3 ;(3 ) 令 w=( 0，,0,u0i,a2,a3a.) , vQbbbn), 求证：n个0d( u, w) d(_v, w).解：u1 5v;2 C； =10 ;3记u、v中对应项同时为0的项的个数为p，对应项同时为1的项的个数为q，则对应项一个为1，一个为0的项的个数为n pq ； (p q N,n).d(u,w)即是u中1的个数，d(v, w)即是v中1的个数，d(u,v)

12、是u、v中对应项一个为1，一个为 0的项的个数。于是有 d(u,v)二 n - p-qu、v 中 1 一共有 2q (n - p-q)个，即 d(u,w) d(v,w) = n - p q所以有 d(u,w) d(v,w) -d(u,v) =2q _0于是 d(u,w) d(v,w) _d(u,v).此问题与计算机中的 二进制”有关。前两问是排列组合计数问题，尤其是第三问有一定的挑战 性。可把d (u,v)转化为一个绝对值问题4. 突出对思维能力和解题技巧的考查近几年的自主招生试卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相当高的层次，有时甚至达 到相当于数学竞赛的难度。14.设 f(x) =(1

13、 a)x4 - x3 -(3a - 2)x2 -4a，试证明对任意实数 a :(1) 方程f(x) =0总有相同实根；(2) 存在 x0，恒有 f(x0)=O .这两问解决的策略和方法是：换一个角度看成一个关于 a的一次函数。应试和准备策略针对上述自主招生试题特点，学生复习时应注意以下几点。1. 注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都靠平时积累，剩下的就是个人的现场发挥。数学 还是要靠平时扎扎实实的学习才能考出好成绩，因此，学生平时必须把基础知识打扎实。另外，对上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵、行列式等也 不可忽视。2. 适当做些近几年的自主招生的真题俗话说：知己知彼，百战百胜。同学们可适当训练近几年自己所考的高校所出的自主招生试题，熟悉一下题型和套路。3. 注重知识的延伸和加深复旦、交大、清华等全国重点院校自主招生试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍简单，有些问题稍有深度，这就要求考生平时注意知识点的延伸和加深。例如 2008年复旦卷的第 77 题：四十个学生参加数学奥林匹克竞赛。他们必须解决一个代数学问题、一个几何学问题以及一个 三角学问题。具体情况如下表所述。 其中有三位学生一个问题都没有解决。问： 三个问题都解决的 学生数是