理论力学第三讲

1、分析力学初步-拉格朗日方程主要内容牛顿力学的局限性和分析力学的建立.非自由质点系的约束和广义坐标* 达朗贝尔方程四.拉格朗日方程五.对称性和守恒定律六.应用牛顿力学的局限性和分析力学的建立牛顿力学： 以牛顿定律和力的独立作用原理为力学的基本原理 矢量力学研究方法：(1)必须知道作用在体系上的所有的力。T出现在体系基本方程中的力是所有力的合力(2) 若质点系受到约束成为非自由质点或质点系，则需要给出约束方程(3) 约束反作用力：将约束去掉，用其约束力的反作用力表征系统所受的力，使系统称为自由系统 注意：约束反作用力(约束反力)并不完全取决于约束本身，而与作用在指点上的其力以及质点本身的运动状态有

2、关单靠约束反力本身不能起到引起质点的任何运动约束反力：被动力or约束力（4）质点的运动方程为:d 2r m 2dt2F(r,，t)R约束反作用力!般情况下R是未知的，因此构建关于 R的显式是非常困难的!（5）3n个牛顿力学方程+ k个约束方程3n k方程（二阶微分方程） 思考方法：（1）约束增加，系统的自由度减少；若有k个约束则自由度为3n-k，（2）以描述自由度的方程出现（3）约束不再出现方程中分析力学Z/ J瞪/rt例:m(R - R I2) = - Ft m(RW 2R ) = 0 m 出=Ft - m gRm = 0质点m被约束在一个光滑的平面上运动，质点上系着一根长度为I的轻绳，绳

3、子穿过平面上的小孔0,另一端系着质量为m，的指点，讨论质点m的运动情 况约束方程：R Z T独立方程个数：3n k = 321=7Zm目的建立一种新的形式，使约束力和非独立坐标 不出现在方程中使写出的方程就是我们要直接求解的3n-k个方程完成目标之过程(1) 在方程中不出现约束力 达朗贝尔方程(d' Alembert Equation )，但非独立坐标依然出现(2) 既不出现约束力又不出现非独立坐标 拉格朗日方程(Lagrange Equation )二.非自由质点系的约束和广义坐标1 .虚位移：矢量：厂 r (t)在dt时间内的位移为 dr想象在某一时刻t质点发生了一个约束许可的无限

4、小的位移这个位移不是由于质点的实际运动所产生的，它不需要时间，这种位移称为虚位移用r表示例：设n个质点组成的系统，受到一个约束(完整约束)约束方程为：f (Xi，X2llx3n，t)= 0在t时刻的矢径为r(t)， t dt时刻的矢径为r(r dt)，则dr 二 r (t) - r (t dt)无论在t时刻还是在t dt时刻系统地坐标必须满足上述约束方程虚位移是设想上述的位置作了一个微小的位移， 由（XxXqJIIXs n）到达（Xi - X1 , x2 “ X2|lx3n - x3n）但位移后必须满足f （人Xi，X2X2，ll|X3nX3n，t） = 0这个设想的位移C Xi,； X2,

5、HL X3n）不经历时间，因此称为虚位移性质：（1）虚位移无限小，具有极限的特点（2）只是想象中可能发生的，不是由质点的实际运动产生的（3）它只决定于质点在时刻t的位置和加在它上面的约束（4）由于只考虑到一个时刻t，时间没有改变因此r 0（5）实际位移只有一个，但虚位移可以不止一个实位移与虚位移的比较虚位移实位移共同点满足约束的限制条件满足约束的限制条件不同点(1) 与质点或质点系的头际运动无关，只是 种几何概念，即从几何上说明位移的可能 性，可能有多个或无穷多个。(2) 与时间过程、作用力以及质点或质点系运 动的初始条件等均无关(1) 是质点或质点系由于实际运动而产生的位 移，因而在任何确定

6、的时间内只有一个。(2) 是在一段时间内所完成的，与作用在质点或 质点系上的力有关，与运动的初始条件有关表示方法(Xj X2JII/ Xan)变分符号(dx1,dx2,lll,dxsn)微分符号相互关系(1) 在稳定约束的条件下，实际位移是虚位移中的一个(2) 在非稳定约束条件下，由于约束在一段时间内也发生了变化，因此，实位移不再是虚位移中的 一个2.约束的概念和分类：约束：限制力学体系中各点运动的条件，其方程成为约束方程用f(Xi,X2,ll|X3 n,t)= 0表示约束的分类：(1) 稳定约束和非稳定约束：a. 稳定约束：约束方程中不显含时间即f (Xi,X2,lllx3n)= 0b.非稳

7、定约束：约束方程中显含时间即f (Xi，X2，IIIX3n，t)二 0例如:单摆：约束方程为2十22x + y = 1固定曲面上运动的质点:约束方程为f （冷*|氐门）=0曲柄连杆：AB所受的约束：(1) A只能作圆周运动(2) AB间距离为I(3)B沿轨道作直线运动约束方程：2.2 2Xa y I(XbXa)2 (y Ya) I2y 0摆长I随时间变化：初始时刻为Io，以速度V拉动绳子的另一 约束方程：2 2 2x y = (Io Vt)非稳定约束(2) .不可解约束和可解约束a.不可解约束：质点始终不能脱离的约束，即:f(Xi,X2,111x3np 0 and f (為必,Xan，tp 0

8、例如：刚体棒的一端固定，另一端连接一个质点，约束方程:b.可解约束：虽然质点被限制在某一个平面上，但是在某一个方向上可以脱离，即f(Xi,X2,111x3nP c即可以在f(XX2,|禺n)=C的曲面上运动，也可以在 f(Xi,X2,111x3n)“ C的方向上运动 例如：一个质点被一条长为I 一段固定柔软的绳连接，约束方程为2 2 2 y z - I。特点：不可解约束用等式表示，可解约束用不等式表示(3) .几何约束和运动约束：a.几何约束：完整约束-只限制空间位置的约束，即约束方程只是坐标和时间的函数f(Xi,X2,111x3np 0 and f (為必,X3n，tp 0b.运动约束：微分

9、约束- 除限制坐标外还要限制速度，即约束方程即是坐标的函数又是速度的函数f (Xi,X2,lll,X3n,Xi,X2,lll,X3n,tp 0(4) .不完整约束：运动约束中，约束方程 f(X1,X2,III,X3n,Xi,X2,lll,X3n,t)二0除含有坐标外还含有坐标对时间的 微分，当约束方程遍乘以dt后运动约束有时经过几分可以变为完整约束，但 若约束方程不能积分时，这种 运动约束称为不完整约束(5) .完整体系和不完整体系完整体系：只受完整约束的体系不完整体系：同时受完整约束和不完整约束的体系，or,只受不完整约束的体系3.虚功:d力在虚位移中作的功约束稳定，实位移是许多虚位移中的一

10、个不稳定约束， 实位移与虚位移不同左图：约束方程为：f (Xi,X2 , III X3n,t) = 0，某一时刻t无 限小虚位移；r为通过质点在该时刻所占的位置 p点的切平面 上，而实际上，由于曲面的运动，实际位移 dr将与；r不同。F质点系处于静止平衡状态，曲质点系中一质点 m，作用在 该质点上的主动力的合力为 R，约束力的合力为Fm。因为系统处于平衡状态，所以这个质点也处于平衡状态。FFm 0其质点的虚位移La. / 7 丿 74-ri 1di 0对所有质点求和:z (F厂Fnrj"Fy £卩皿厂0iii理想约束：质点系的任何虚功中， 所有的约束力所作的虚功的和等于零，

11、 这种约束称为理想约束*4' Fn/ 厂 0i对于理想约束：4 44 44 4i4L瓦(f“E +Fn¥)yFnJri=EFj 彳 0iiii74z & W = z F y = oii上式是质点系平衡的必要条件，也是充分条件对于有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用在质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功为零。 虚功原理工FJ x+ Fy? y/ Fzf zl= oi理想约束的例:(1)质点沿光滑曲面运动:约束力为曲面对质点的作用力Fn，其方向指向沿曲面的法线方向,(2)质量可以忽略的刚性杆所连接的两个质点牛顿第三定律：fn厂-fN2=Fni 八1F （

12、 1 一2）= Fni* r2 二 066证明:r2在两个刚体(a)41和2分为两个部分:将两个光滑表面接触的刚体牛顿第三定律：fn = - fn 2若刚体有滑动则：ri 、可以证明'A - '心在刚体接触点的公切面内，而Fn 1和F N 2垂直于公切面(i)两者没有相对的虚位移，只是在切平面内有一个虚位移，4 41 十 Fn22=F N1 * ( ri - r2) = 02r ：由且平面的虚位移产生的切点P的虚位移，这一虚位移是两者共有的(ii )在切平面不动时，两个刚体在各自切平面内的虚位移:r26因为r2在公切面内，因此r2也一定在公切面内。(4)两个完全粗糙的表面相接触

13、，只能滚动不能滑动此时切点的相对速度ViV2二0约束条件为:ri Fn2 r2Fni ( r<A 04*444-4*W二 F N 1 6几+F N 2' r 2-Fti -riFt2- r2?4= FtZr -(Re?R+ r"弘)+Ft k-zk= Ft RFtZRZ = 1得Rz = 0(5)两个以柔性不可伸长的绳子向连接的质点由约束条件:三.达朗贝尔方程：（目的：在方程中不出现约束力）1.达朗贝尔方程F N :约束力;FiF NiF二 mJ!iFNi(i =-mFr :4'(FiF Nimi”)i4zF Ni - '0i4g .Z(Fi -m山）-

14、0k*=iF :主动力对于理想约束:i给体系虚位移;1, 2J|, n0? = 0-达朗贝尔方程若体系静止：n二0/1益一 /n2.虚功原理例:虚功原理Fi质点m被约束在一个光滑的平面上运动，质点上系着一根长度为I的轻绳，绳 子穿过平面上的小孔o,另一端系着质量为m，的指点，讨论质点m的运动情 况主动力：Fi =0； F2 m gk'失径:zk-(I（应用约束方程R Z 一 I）二 R ?RR?； J 二zk二 Rk'=(R - R 12)<?R( R II2 R I) ? ； * = Zk?= Rk?'(Fi - m f ) a 二(Fi - mJ ) a (

15、F? 一 m 2。)24LX呻+-m 1r1F2 -2(-m22 ) 2二mR ®l2 - (m + m ) R- m p " R - mR ( R®ll 十 2 R®l)八二 0R，为独立坐标，必有"R前面的系数为零。mR 12- (m m)R- mg 二 0(m m)R mg 二 mR I 2mR ( R 2 R ) = 0(R 2 R ) = 0例.如图所示，在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在 水平面内的力偶（F,F ）,其力矩M = 2FI ,螺 杆的导程为h.求:机构平衡时加在被压物体上的力.s,WF-Fn s 2FI = 0与'

16、; S满足:A cp因为厂 任意:2FIFn图中所示结构，各杆自重不计，在G点作用一个铅直向上的力FAC = CE = CD = CB = DG = GE = I求：支座B的水平约束力.(b)带入虚功方程：解:解除B端水平约束，以力Fbx代替，如图：Wf = Fbx Xb F yG= 0xB = 21 cos , yG = 31 sin：xB = 2l sin ： , yG = 3l cos： “FBx - 2l sin* = F 31 cos* = = 0Bx2 Fc*如图在CG间加一弹簧，刚度K,且已有伸长量为-0，仍求FbxFc = Fg = k oWF = 0FbxXb Fcyc-Fg 衣F g 0xB 二 21 cos , y l si nJ yG = 31 si n71xB 二21 sin"宀,yc二I cos"二,yG 二31 cos 二Fbx( 2Isin， k olcos，"k °3lcos"F3lcos"二 0-k 0 cot"图所示椭圆规机构中，连杆AB长为L,滑块A, B与杆重均不计，忽略各处摩 擦,机构在图示位置平衡.求