应力强度因子的计算

1、第二章 应力强度因子的计算K -应力、位移场的度量 K的计算很重要,计算K值的几种方法：1. 数学分析法：复变函数法、积分变换；2. 近似计算法：边界配置法、有限元法；3. 实验标定法：柔度标定法；4. 实验应力分析法：光弹性法.§ 2-1三种基本裂纹应力强度因子的计算、无限大板I型裂纹应力强度因子的计算Ki lim , 2 Zi计算K的基本公式，适用于型裂纹.0耳1. 在“无限大”平板中具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，距离x b处各作用一对集中力p.yx ReZI y Im ZIy ReZi ylmZixyyReZi选取复变解析函数：Z 2 pz a2 b2Z 2 2 (z2

2、 b2)边界条件：a. Z, xy xy 0 .b. z a,出去zb处裂纹为自由表面上y 0, xy 0c.如切出xy坐标系的第一象限的薄平板，在x轴所在截面上力总和为p以新坐标表示:2 p( a) ：_b(3厂丁 (=2a)KiZ()2p、a(a2 b2)2. 在无限大平板中，具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，在距离x ai的围受均布载荷q作用.利用叠加原理：微段集中力qdxdKidxx2)Kia cos,dx acos dKi0 acos2sin 驚)a 2qa _ dx0 / 22、.(a x )当整个表面受均布载荷时，aiKi 2qf sin 1%) q 厂3. 受二向均布拉力作

3、用的无限大平板，在x轴上有一系列长度为2a，间距为2b 的裂纹.边界条件是周期的a. z b.在所有裂纹部应力为零 y 0, a x a, a 2b x a 2b在区间y 0, xy 0C.所有裂纹前端y单个裂纹时Z / Z z2a2又Z应为2b的周期函数zsin 2b(si n 2 (s in a)22b2b采用新坐标： z asin ( a)2b(sin(2b0 时，sin2b 2b,cos 2bsin ( a) sin cos a cos sin a 2b2b 2b 2b 2ba)222'2b ' 2bs咕(a)2 (sin2ba)22 cos asin a2b 2b 2

4、biZoasin2b.2 cos asin a 2b 2b 2bsin2b1 a . a cossin 2b 2b 2bJ2btancos a sin a 2b 2b 2b(cos2a 2 cos asin a (sin a)22b2b 2b 2b 2b2b取Mw J-b tan 修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对Ki的影响.Ya 2b2a 1若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（兰 丄）可不考虑相互作用,按单个裂纹2b 5计算二、无限大平板型裂纹问题应力强度因子的计算1. u型裂纹应力强度因子的普遍表达形式（无限大板）：心lim0Z（ y.2. 无限大平板中的周期性的裂纹，且在无限远的边界上处

5、于平板面的纯剪切力 作用.zZ(z)sin 2bz 2a 2一 (sin ) (sin )b2bZ()sin ( a)2bs%b(2a 2a)(s%b)心li叫.2 Z()a2b3. 川型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):4. 周期性裂纹:§ 2-2深埋裂纹的应力强度因子的计算zx1950年，格林和斯登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域的应力和应 变，得到椭圆表面上任意点，沿y方向的开位移为：2yy0(1a其中:yo亠E为第二类椭圆积分有o2、1（于仁东书）?2o2si n2（a） 2c a 2.2 sin d a cos2 d （王铎书） c1962 年 ,Irwin利

6、用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子原裂纹面Zicos,Xisin2X12a2Z12c2 2c X|2 22 2az,a c假设：椭圆形裂纹扩展时，其失径ac22 . 222c sin a cos的增值r与成正比.(f远小于1)Jc2sin ac 2 2 a cos边缘上任一点p(x,z),有:x ( r )sin(1 f)sin(1 f )X1r)cos(1f )Z1p (x,z), p(X1, Z1)均在 y0的平面.2c2f )a.c 2x 2 a 2z2(1 f )4a2c2a新的裂纹面仍为椭圆.长轴c (1 f)c,短轴a (1y向位移yo2(12) aE2(12) (1 f)a

7、E(1 f)yo2原有裂纹面：二a(与1yo2扩展后裂纹面：与a c(原有裂纹面的边缘2y2yo221乞玄 11 2 2 1a c22%乙(1 f)2a2(1 f)2c22-1 (1 2f )X12a22f)%c2X12a22f (笃a2f2fy。22 2卩 22f(1 f) y。2fy。又 f Jc2 sin2ac '-22a cos2ry°2ac c2sin22 2 a cos设各边缘的法向平面为平面应变kv4G4(1vE.3sin2其中k 3 4c 22ry0aca2cos2、2 2 2 22) y。【c sinac2 2 a cosy。2(12) aEKi1(-)2(

8、c2si n2 ccos2 r在椭圆的短轴方向上，即2，有 Ki KImaxj-危险部位椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子当a c时圆片状裂纹,Ki§ 2-3半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算、表面浅裂纹的应力强度因子当aB （板厚）欧文假设：线裂纹 可以忽略后自由表面对 A点应力强度的影响半椭圆片状表面线裂纹 Ki与深埋椭圆裂纹的Ki之比等于边裂纹平板与中心裂纹平板的Ki值之比。又有:Ki边Ki 中Ki表K i埋©边Ki 中(10.1si n2WtanW其中：A-裂纹长度；W-板宽度当彳1时sinUWW2 AA，tan WWAWKi aKi 中Ki 表Ki埋1.1Ki 表 1.

9、1Ki埋椭圆片状表面裂纹A处的Ki值二、表面深裂纹的应力强度因子深裂纹：引入前后二个自由表面使裂纹尖端的弹性约束减少裂纹容易扩展 Ki增大Ki（表面）Me心（埋藏）其中：Me 弹性修正系数，应大于1,由实验确定一般情况下Me M1 M2其中：Mi 前自由表面的修正系数M2 后自由表面的修正系数关于Me表达式两种形式的论述1. 巴里斯和薛a. %0时接近于单边切口试样Mi1.12b. %1时接近于半圆形的表面裂纹Mi1利用线性插法1 0.12(1 a)c利用中心穿透裂纹弹性件的厚度校正系数2B a M2( tan )a2BB 板厚a裂纹深度c裂纹长度当aB时M 2 1浅裂纹不考后自由表面的影响2

10、. 柯巴亚希.沙.莫斯a 2 M11 0.12(1)212cM2(空atana2B1)2表面裂纹的应力强度因子(应为最深点处)：Ki Me§ 2-4其他问题应力强度因子的计算I . u型复合问题应力强度因子的计算复变数：z x iy , z x iy取复变解析函数：x(z) p iq，Piiqi取应力函数：2(z)(z)zx(z) zx(z)或 Re (z) zx( z)满足双调和方程分析第一应力不变量:4Rex '(z)(推导过程略)对于I II型复合裂纹I型:IReZ| y Im ZI ,ReZI y Im ZI(x y )I2ReZI2Re ©x 2Im Zu

11、 yReZi；yReZn2Im Zi | | 02ImK"| | 0I型复合裂纹在裂纹前端处的不变量(x yh IKi0 2Re：=2Im12Rer (Ki iKi )|0取复数形式的应力强度因子 K Ki iK Iy h I 1 |0若采用z坐标： Z a又(x y)4Rex(Z)K lim 2.2x (Z)0K 2 lim，Z ax (Z)z a选择x (z)满足具体问题的应力边界条件这种方法利用普遍形式函数求解应力强度因子fFi(Z) E(Z) Z?4(Z) ZF4(Z)(Fi(Z), F4(Z)为解析函数)-复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式(或复变应力函数为普遍形式).

12、 利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿透裂纹问题二、有限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算实际情况：应看成有限宽计算必须考虑的自由边界对裂纹尖端应力场和位移场的影响在理论上得不到完全解通过近似的简化或数值计算方法数值解.方法:边界配置法，有限单元法等.针对有限宽板问题：寻找一个满足双调和方程和边界条件的应力函数或复变 解析应力函数.边界配置法：将应力函数用无穷级数表达，使其满足双调和方程和边界条件， 但不是满足所有的边界条件，而是在有限宽板的边界上，选足够多的点，用以确定 应力函数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定 K值.边界配置法：计算平面问题的单边裂纹问题， 以二点弯曲试样为例进

13、行说明.(1)威廉氏(Williams)应力函数和应力公式Williams应力函数：只限于讨论直边界问题(r,)j iCj r2 j icos(j 1)2 (Dj j 1 2cosg 1)满足双调和方程4(r, ) 0.边界条件:裂纹上、卜表面(計y和xy均为零.上式满足在边界上的边界条件的满足如下确定：在有限宽板的边界上选取足够的点 如图,使这一点的边界条件满足Cjp11i1Wi iJP_p22_s22(2)CjBW2 p试件厚度，W-试件宽度为了计算方便引入无量纲量其中：B:Dj(r,pWBDj1)j (1)j.2I乞 cos(j 1) j122Aj_j22p2 xBW j1)j)cos(

14、j 1)2py2BW j 12pDjAj(r,)y1DjBj(r,)xBWx y2 (j 1(j 1)cos(2 3)xyDjEj(r,)(2) K的计算针对I型裂纹:cos(1、2 r 2sin sin )2 2KiCOS(1.2 r 23sin sin )2 2Ki2一r0)lri叫.2 r y 0又因为当 0时,cos1 ,当j =1时在乘27后与r无关,而当j 2,3,4川 时在乘.,27后与r有关,当r 0时都为零.Kilim Di (丄)-r 0 BW W 21 1(2 2 1)1(2 1)12 D1应利用边界条件确定D1,边界条件只个边界各点的应力，可利用不同的边界条件,a.应力

15、.b.（n为法向）.c. 一，一（ 为切向） nn（3）借用无裂纹体的边界条件求系数 Dj取含裂纹三点弯曲试样的左半段的受力状态和不含裂纹的悬臂梁受力是 样的.取m个点分析，以2m有限级数代替无限级数精度足够.对于不同的点有：y DjA1jy BW j 1 j 1jy 1xy12mxy 1其中E1j已知,xy1由材料力学计算.9a 5154.8()2W& BWF357a石a石a石18.4()287.2()2150.4()2WWW其中s 4W标准试件，此式为美国SEM-E399规§ 2-5确定应力强度因子的有限元法不同裂纹体在不同的开裂方式的应力强度因子是不同的.一些实验方法、

16、解析方法都有各自的局限性，而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力 和位移场,而应力和位移场与K密切相关,所以,可以通过有限元方法进行应力强 度因子的计算一、位移法求应力强度因子v(r,)I 型:u(r,)Ki4G3 cos 2.3sin有限元法裂纹尖端位移r,)，这种方法为外推法KiI2、应力法求应力强度因子1 型： iy (r ,)-f|y()有限元法y(r,O)Kiy、2 rKi r的关系曲线外推Ki的准确值应力法与位移法比较利用刚度法求应力时，应力场比位移场的精度低(因应力是位移对坐标的偏导数)三、间接法求应力强度因子(应变能释放率法)KiE利用有限兀法确定GiKi.四、J积分法

17、:围绕裂纹尖端的闭合曲线 T：积分边界上的力. U：边界上的位移.AJ 积分为：J Wdy T 一 dsx1其中W - iy iy为应变能密度. 线弹性问题:J G冬.E利用有限样方法计算回路积分心.§ 2-6叠加原理及其应用K的叠加原理及其应用1. ©的叠加线弹性叠加原理：当n个载荷同时作用于某一弹性体上时，载荷组在某一点 上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引起的应力和位移分量之总和叠加原理适用于©证明：:K IJ 叫,TT y | 0设在Tl载荷作用下,有：y| 0 KI叫J汀y| 0设在T2载荷作用下，有：yI 0 KIim0VT7y| 0由叠加原理有：y

18、 | 0y| 0K ©心满足叠加原理计算复杂载荷下应力强度因子的方法 荷可查心手册.:将复杂载荷分解成简单载荷，简单载2.实例:铆钉孔边双耳裂纹的 ©值(d)叠加原理:KiK(b)Ki(c)Ki(d)Ki(a)-(Ki(b)Ki(c)2其中：©二（冒）2D为圆孔直径，可查应力强度因子手册板有宽度:F(旦)sec a -板宽的修正W W这里:afD a即有效裂纹长度.Ki(b)(a)sec2W确定K：(c):无限板宽中心贯穿裂纹受集中力p作用.KiW有限板宽：F自Ki(c)P(；a)sec (2a D)2W. (D a)sec (D 2a)2WKi®2 .

19、sf (却卫-a)二、应力场叠加原理及其应用1. 应力场叠加原理(a)(b)To+(C)To:无裂纹时外边界约束在裂纹所处位置产生的应力场.叠加原理：Kz(a) K,b) K(c)Kz(c)应力场叠加原理：在复杂的外界约束作用下，裂纹前端的应力强度因子等于没 有外界约束，但在裂纹表面上反向作用着无裂纹时外界约束在裂纹出产生的应力To所致的应力强度因子如图T2.实例：旋转叶轮（或轴）孔端裂纹的Kj以等角速度 运转的叶轮，在孔面有一长为2a的贯穿裂纹，求裂纹前段的应 力强度因子（1）求解无裂纹时，旋转体在无裂纹部位的应力.f咤(1有弹性力学有：R22R22其中：f为叶轮密度，为角速度，尺为叶轮径，

20、&为叶轮外径，r为计算点的 位置，为泊松比.（平面应力）（平面应变）般情况下：R1丄R210 a比较小：(二)21R2根据类比原则：比较(d)与(b):孔半径一致，裂纹大小及组态一样，裂纹面上下受力一致，外边界无约束，唯一不同的是一个是有限体，一个是无限体，由于边界是自由的K(b)K (d)x Ix I(3).根据叠加原理带中心孔的无限大板，受双向拉应力2R22时,孔边附近的应力(注意无裂纹时),由弹性力学知:Too（1 乌）rK©§ 2.7实际裂纹的近似处理利用断裂力学进行安全评价时，首先确定缺陷的大小，部位和形状，偏于安全 考虑：夹杂、空洞、气孔、夹杂性裂纹裂纹

21、应针对实际问题进行分析.一、缺陷群的相互作用1. 垂直外应力的并列裂纹并列裂纹的作用使心下降工程上偏安全考虑(1)并列裂纹作为单个裂纹考虑；对于密集的缺陷群，假定它们在空间规则排列，并可把空间裂纹简化成平 面裂纹.2. 与外应力垂直的面共线裂纹如裂纹中心间距大于缺陷尺寸五倍以上，可做为单个裂纹处理，否则必须考虑修正：MW.二、裂纹形状的影响通过探伤手段缺陷的”当量尺寸”及其部位，而缺陷的具体形状及实际尺寸难以确定裂纹形状的影响.1.探伤结果是面积当缺陷的面积相同时,a 1的椭圆裂纹k最大以a c11的椭圆裂纹分析2疋偏于安全的.2.探伤的结果是最大线尺寸(1)当最大直径相同时,圆裂纹的心比椭圆

22、裂纹大以圆裂纹估算偏于安全.(2)当缺陷长度一样时,贯穿裂纹心比其它裂纹的K】大以贯穿裂纹估算偏于安全.§ 2.8塑性区及其修正小围屈服：屈服区较小时（远远小于裂纹尺寸）.线弹性断裂力学仍可用 一、塑性区的形状和大小1.屈服条件的一般形式屈服条件:材料超过弹性阶段而进入塑性阶段的条件.a.简单情况：单向拉压:薄壁圆筒扭转： s.b.复杂情况：f （ x, y , z, xy , xz, yz） c 用王应力表示 f （ 1,2,3） C有：最大正应力条件，最大切应力条件，VOn.Mises屈服条件（变形能条件）,Tresca屈服（切应力条件）.2. 根据屈服条件确定塑性区形状大小a.

23、利用米塞斯（von.mises）屈服条件.2 22)(23)(3当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密 度,材料屈服，即：1)头 cos2(1 s22lv对于I型裂纹的应力公式1 二cos1 si n2 2 r2230（平面应力，薄板或厚板表面）r2 cos 1 3sin 2s222-平面应力下，I型裂纹前端屈服区域的边界方程.0 时,r02,)2s12平面应变（厚板中心）3 z （ 12）2 22) 3sin 2-平面应变下，i型裂纹前端屈服区的边界方程0时,r0.3)sK0叮巴）2 )2-b.利用Tresca（屈雷斯加）屈服条件.在复杂受力下，当最大切应力等于材料

24、弹性拉伸时的屈服切应力，材料即屈 服.比较发现：平面应变塑性区尺寸小，平面应变处于三向拉伸状态不易屈服.平面应变的有效屈服应力ys比s高，塑性区中的最大应力!ys平面应变1 ys 3 s考虑实际情况ys 2Q 3平面应力1 ys s3. 应力松弛的影响由于塑性变形引起应力松弛（应力松弛:应变量不变，应力随时间降低）应力松弛塑性区尺寸增大，依据:单位厚含裂纹平板，在外力作用下发生局部屈服后，其净截面的力应当与外界平衡.虚线表示发生塑性变形前，0的平面法向应力y的分布规律.y| 0K（图中虚线所示）<2 r此曲线下的面积为应力松弛后：Fiy(x)dx=外力dx =外力屈服区的最大应力称为有效屈服应力,P2yss（平面应变）（平面应力）rys 为yl 0 ys 时的 ，rys+(2)2y(x)dxy dx又BD与CE下的面积应相等.FB下的面积与ABC下的面积相等.即:又rysrysys 0y(x)dx丄dx0.2 x丄（上）2r0（平面应力）2ysysKi、22r°丄孑')2-8 s在平面应