解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法

1、实验报告一、实验名称解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法二、实验目的及要求通过数值实验，用熟悉的算法语言编写程序，从中体会解线性方程组选主元素的必要性和Lu分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。三、实验内容解下列两个线性方程组3.016.031.99x1(1)1.274.16-1.23x20.987-4.819.34x310701X15.9000015132.09999962X25151x32102x4四、算法描述1、列主元高斯消去法：记aay(i,j1,2,LLn).(1)_bb(i1,2,LLn)(1)消元过程对于R=1,2,；n-1执行：1)选行号i

2、k,使a(kkkmaxakkin2)交换a,与a(kk)(j=k,k+1,为以及bkk)与b(kk)所含的数值。3)对于i=k+1,k+2,，n计算_(k)/八(心mikaik/akkajk1a；k)Ekakk)j=k+1,k+2,n.b(k1)bi(k)Ekbkk)(2)回代过程.(n)/-(n)xnbn/annnxk(bk)上kiakj)Xj)/嘉,kn1,n2,LL,1.在此算法中的a：(k=1,2,-n-1)称为第k个列主元素，它的数值总要被交换到第k个主对角线元素的位置上。2、LU分解法通过MATLAB自有的函数把系数矩阵A分解成A=LU,其中，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。这时方

3、程组Ax=b就可化为两个容易求解的三角形方程组Ly=b,Ux=y.先由Ly=b解出向量y,再由Ux=y解出向量x,这就是原方程组Ax=b的解向量。五、程序流程图(1)列主元高斯消去法程序流程图如下：输出x结束(2)LU分解法程序流程图如下:这里我使用了四种框，一种是起止框1.一种是输入输出框/，一种是判断框3，还有一种是处理框|。3、列主元素高斯消去法的M文件如下：functiona=liezhuGS(A,b)r=length(A1,i)fori=1:rforj=1:rifA(i,i)<A(j,i)fork=i:rc=A(i:k);A(i,k)=A(j,k);A(j,k)=c;endd=

4、b(i);b(i)=b(j);b(j)=d;endendforl=(i+1):rp=A(l,l)/A(i,i);form=i:rA(l,m)=A(l,m)-p*A(i,m);endb(l)=b(l)-p*b(i);endendAZ=det(A)bforn=r:-1:1ifn=rx(n)=b(n)/A(n,n);elseforq=1:(r-n)b(n)=b(n)-x(x+q)*A(n,n+q);endx(n)=b(n)/A(n,n);endendx4、LU分解法的M文件如下:Functiona=Lufenjiefa(A,b)L,U=lu(A)Y=lbX=uyZ=det(l)*det(u)5、实验

5、步骤如下:3.016.031.991(1)A=1.274.16-1.23;b=1;分别在命令窗口中运行LiezhuGs(A,b)和0.987-4.819.341Lufenjiefa(A,b);记录相关数据10(2)3A=2.0999995.900001；b二;分别在命令窗口中运LiezhuGs(A,b开口Lufenjiefa(A,b);记录相关数据(3)A=3.006.031.991.274.161.23b=0.9904.819.341;分别运行LiezhuGs(A,b),记录列主行交换1次序x,det(A)10(4)A=2.15.9b=;运行LiezhuGs(A,b),记录相关数据(5)分别

6、对上述b在命令窗口运行 x=inv(A)*b,y=det(A),记录数据。TK、实验结果实验项目列主兀高斯消去法LU分解法Matlab内部函数法(1)/3.016.031.99'=0-6.7872798.68746500-0.001495Tb10.6720930.738072A=0.0305473Tx1031.5926,0.6319,0.4936100L=0.4219-0.238110.3279103.016.031.99U=0-6.78138.687500-0.0015A=-0.03053x101.5926,0.6319,0.49361.59263x100.63190.4936|A=

7、det(A)=-0.03(T)547(2)10-70102.551.5A=006.00023.2999990005.079999Tb818.3000015.079999A=7.620001102Tx01111000-0.3-0.000000410L=0.51000.20.96-0.799997110-70102.55-1.5U=0060.2999990005.0799989A=-7.620001102Tx011101x11|A=-7.620001102(3)3.06.031.99A=0-6.7998.683300-0.019952Tb10.676.735035a|=0.4070141.195273_2_x100.4714260.3684031.19527324_一x100.47142(0.36840：A=-0.407014)(4)10-70102.551.5A=0063.20005.08Tb818.35.08A=7.62Tx0111Tx0111网=-7.62七、实验结果分析解线性方程组有选主元的必要性。LU分解法具有简洁、正确的优点，调用L,U内部函数使其解法简便，得出的系数距阵的行列式为精确值。实验（1）系数为改为，改为，得出结果如上所示。实验