材料力学-切应力计算

1、第四章 弹性杆横截面上的切应力分析 4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力，又有切应力。但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和 静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1矩形截面梁对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力 Fq。现分析距中性轴z为y的横线aai 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线aa1两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力Fq的方向一致。由于对称的关系，横线aa1中点处的

2、剪应力也必与 Fq的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想aai线上各点切应力的方向皆平行于剪力Fq。又因截面高度h大于宽度b,切应力的数值沿横线 aai不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基 于上述分析，可作如下假设：1） 横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj力Fq。2）切应力沿截面宽度均匀分布。图 4-15图 4-16基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a的横弯梁中截出dx微段，其左右截面上的内力如图4-16b所示。梁的横截面尺寸如图4-16C所示，现欲求距中性轴z为y的横线aa1处的切应力 。过aa1用平行于中性层的纵截面 aa1cc1自dx微段中

3、截出 一微块（图4-16d）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力。微块左右侧面上正应力的合力分别为 N1和N2，其中N1idAA*My1dA Ms；zA* Iz(4-29)N2 ii dAA*A*(M dM)y1dA (M dM) S* nzIz(4-30)式中，A为微块的侧面面积，（ii ）为面积A中距中性轴为yi处的正应力，*Szy1dA。A*由微块沿x方向的平衡条件0,得将式N1 N2bdx 0(4-31)（4-29）和式（4-30）代入式4-31），得因岁Fq,dxdM *TTSzbdx 0dM S；dx bIz，故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的剪应力*Fq

4、Sz(4-32)式（4-32）也适用于其它截面形式的梁。式中，Fq为截面上的剪力;I z为整个截面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度;Sy为面积A*对中性轴的静矩。对于矩形截面梁（图 4-17），可取dA bdyi，于是*Sz%dAAy2b%dy12(hy2)这样，式（4-32）可写成y2)上式表明，沿截面高度剪应力按抛物线规律变化（图4-17)。在截面上、下边缘处，y= , =0 ；在中性轴上,2图 4-17切应力值最大，其值为max3 Fq2 A(4-33)图 4-18式中A=bh,即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的32倍2.圆形截面梁在圆形截面上（图 4-18）,任

5、一平行于中性轴的横线aa,两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的 方向皆平行于剪力 Fq，设为均匀分布，其值为最大。由式（4-32） 求得4Qmax（4-34）3 A式中A -d2,即圆截面的最大切应力为其平均切应力的43倍。3.工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（4-32）的计算结果表明，在翼缘上切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图4-19所示。最大剪应力在中性轴上，其值为maxFq(Sz)maxdl式中（Sz ） max为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢,可以从型钢表中查得