all事故树顶上事件发生概率公式含义及例题

1、2021/3/91顶上事件发生的概率顶上事件发生的概率1如果如果事故树中不含有重复的或相同的基本事事故树中不含有重复的或相同的基本事件件，各基本事件又都是相互独立的，顶上事件，各基本事件又都是相互独立的，顶上事件发生的概率可根据事故树的结构，用下列公式发生的概率可根据事故树的结构，用下列公式求得。求得。 用用“与门与门”连接的顶事件的发生概率为：连接的顶事件的发生概率为： 用用“或门或门”连接的顶事件的发生概率为：连接的顶事件的发生概率为： 式中：式中：qi第第i个基本事件的发生概率（个基本事件的发生概率（i=1，2，n）。）。 niiqTP1)(niiqTP1)1 (1)(2021/3/92

2、2当事故树含有当事故树含有重复出现的基本事件重复出现的基本事件时，时，或或基本事件可能在几个最小割集中重复基本事件可能在几个最小割集中重复出现出现时，最小割集之间是相交的，这时，时，最小割集之间是相交的，这时，应按以下几种方法计算。应按以下几种方法计算。2021/3/93最小割集法最小割集法 事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时，顶上事件等于最小割集的并集。时，顶上事件等于最小割集的并集。 设某事故树有设某事故树有K个最小割集：个最小割集：E1、E2、Er、Ek，则有：，则有： 顶上事件发生概率为：顶上事件发生概率为：krrET1krrEPTP1)

3、(2021/3/94 化简，顶上事件的发生概率为：化简，顶上事件的发生概率为： 式中：式中：r、s、k最小割集的序号，最小割集的序号，rsk； i 基本事件的序号，基本事件的序号，1rskk个最小割集中第个最小割集中第r、s两个割集的组合两个割集的组合顺序；顺序；属于第属于第r个最小割集的第个最小割集的第i个基本事件；个基本事件；属于第属于第r个或第个或第s个最小割集的第个最小割集的第i个基个基本事件。本事件。riEx sriEEx1231111( )( 1)irirsikkkkiiirr s kxErxEExEEEEP Tqqq 2021/3/951231111( )( 1)irirsikk

4、kkiiirr s kxErxEExEEEEP Tqqq 公式中的第一项公式中的第一项“求各最小割集求各最小割集E的发生概率的和的发生概率的和”（将（将各最小割集中的基本事件的概率积各最小割集中的基本事件的概率积相加）；但有重复计算的相加）；但有重复计算的情况，因此，在第二项中情况，因此，在第二项中“减去每两个最小割集同时发生的减去每两个最小割集同时发生的概率概率”（将每两个最小割集并集的基本事件的概率积（将每两个最小割集并集的基本事件的概率积相加）；相加）；还有重复计算的情况，在第三项还有重复计算的情况，在第三项“加上每三个最小割集同时加上每三个最小割集同时发生的概率发生的概率”（将每三个最

5、小割集并集的基本事件的概率积（将每三个最小割集并集的基本事件的概率积相加）相加）；以此类推，加减号交替，直到最后一项；以此类推，加减号交替，直到最后一项“计算所有计算所有最小割集同时发生的概率最小割集同时发生的概率”2021/3/96例如：某事故树共有例如：某事故树共有3个最小割集：个最小割集：试用试用最小割集法计算顶事件的发生的概率。最小割集法计算顶事件的发生的概率。E1=X1，X2，X3，E2=X1，X4E3=X3，X5已知各基本事件发生的概率为：已知各基本事件发生的概率为：q1=0.01；q2=0.02；q3=0.03；q4=0.04；q5=0.05求顶上事件发生概率？求顶上事件发生概率

6、？2021/3/971231111( )( 1)irirsikkkkiiirr s kxErxEExEEEEP Tqqq 123143512341235134512345( )0.001904872P Tq q qq qq qq q q qq q q qq q q qq q q q qE1=X1，X2，X3，E2=X1，X4E3=X3，X52021/3/981、列出顶上事件、列出顶上事件发生的概率表达式发生的概率表达式2、展开，消除每个概率积中、展开，消除每个概率积中的重复的概率因子的重复的概率因子qi qi=qi3、将各基本事件的概率值带、将各基本事件的概率值带入，计算顶上事件的发生概率入，

7、计算顶上事件的发生概率如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事件，可省略第件，可省略第2步步2021/3/99最小径集法最小径集法 根据最小径集与最小割集的对偶性，利根据最小径集与最小割集的对偶性，利用最小径集同样可求出顶事件发生的概用最小径集同样可求出顶事件发生的概率。率。 设某事故树有设某事故树有k个最小径集：个最小径集：P1、P2、Pr、Pk。用。用Dr（r=1，2，k）表）表示最小径集不发生的事件，用示最小径集不发生的事件，用表示顶表示顶上事件不发生。上事件不发生。T2021/3/910 由最小径集定义可知，只要由最小径集定义可知，只要k个最小径

8、集个最小径集中有一个不发生，顶事件就不会发生，中有一个不发生，顶事件就不会发生，则：则：krrDT1krrDPTP1)(12021/3/911 故顶上事件发生的概率：故顶上事件发生的概率：式中：Pr最小径集（最小径集（r=1，2，k）；）；r、s最小径集的序数，最小径集的序数，rs；k最小径集数；最小径集数；（1-qr）第第i个基本事件不发生的概率；个基本事件不发生的概率；属于第属于第r个最小径集的第个最小径集的第i个基本事件；个基本事件；属于第属于第r个或第个或第s个最小径集的第个最小径集的第i个个基本事件基本事件1231111( )11111irirsikkkkiiirr s kxPxPP

9、rxPPPPP Tqqq ripx srippx2021/3/912公式中的第二项公式中的第二项“减去各最小径集减去各最小径集P成功的概率的和成功的概率的和”（将（将各最小径集中的基本事件不发生的概率积各最小径集中的基本事件不发生的概率积相加）；但有重相加）；但有重复计算的情况，因此，复计算的情况，因此，在第二项中在第二项中“加上每两个最小径集同时实现的概率加上每两个最小径集同时实现的概率”（将（将每两个最小径集并集中的各基本事件不发生的概率积相加）；每两个最小径集并集中的各基本事件不发生的概率积相加）；还有重复计算的情况，还有重复计算的情况，在第三项在第三项“减去每三个最小径集同时实现的概率

10、减去每三个最小径集同时实现的概率”（将每（将每三个最小径集并集的基本事件不发生的概率积相加）三个最小径集并集的基本事件不发生的概率积相加）；以此类推，加减号交替，直到最后一项以此类推，加减号交替，直到最后一项“计算所有最小径计算所有最小径集同时实现的概率集同时实现的概率”1231111( )11111irirsikkkkiiirr s kxPxPPrxPPPPP Tqqq 2021/3/913例如：某事故树共有例如：某事故树共有4个最小径集，个最小径集，P1=X1，X3，P2=X1，X5,P3=X3，X4,P3=X2，X4，X5已知各基本事件发生的概率为：已知各基本事件发生的概率为：q1=0.

11、01；q2=0.02；q3=0.03；q4=0.04；q5=0.05试用试用最小径集法最小径集法求顶上事件发生概率？求顶上事件发生概率？2021/3/9141231111( )11111irirsikkkkiiirr s kxPxPPrxPPPPP Tqqq 131534245135134123451534124523( )1 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(P Tqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq 4513451234

12、51234512345123451)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqP1=X1，X3，P2=X1，X5,P3=X3，X4,P3=X2，X4，X52021/3/9151、列出定上事件、列出定上事件发生的概率表达式发生的概率表达式2、展开，消除每个概率积中的重、展开，消除每个概率积中的重复的概率因子复的概率因子(1-qi) (1-qi)=1-qi3、将各基本事件的概率值带、将各基本事件的概率值带入，计算顶上事件的发生概率入，计算顶上事件的发生概率如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事件，可省略第件，可省略第2步步2021/3/916例如：某事故树共有例如：某事故树共有2个最小径集：个最小径集：P1=X1，X2，P2=X2，X3。已知各基本事件发生的概率为：。已知各基本事件发生的概率为：q1=0.5；q2=0.2；q3=0.5；求顶上事件发生概率？；求顶上事件发生概率？1212231222222222221223231213123233112313121323312312311311222233( )1 (1