第四讲交错级数与任意项级数

1、注(1)积分判别法 比值法 根值法发散收敛比较法极限形式比较法部分和数列有界111Rbaabba,2220,sinxxx0,1xxex0,)1ln(1xxxxx正项级数二二 、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数nnnnnuuuuu132111) 1() 1(称为交错级数交错级数 .,2, 1,0nun设形如或nnnnnuuuuu) 1() 1(3211定理定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛 , 且其和 ,1uS 其余项满足.1nnur注意到分和收敛

2、。只能借助于定义证明部) 1 (都都收收敛敛到到同同一一值值。收收敛敛)2(122nnnSSS单单调调有有界界则则收收敛敛。)3(2 nS证证: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是单调递增有界数列,nS212limuSSnn0nu2故收敛。收敛。先证先证) 1 (2nS又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故级数收敛于S, 且,1uS :的余项nSnnSSr)(21nnuu21nnnuur1nuS。收敛于收敛于再证再证S)2(12 nS考考查查余余项项的的性性质质。)3(使用注意的大小的大小与与1nn

3、uu的关系；的关系；与与比值法：比值法：1uu) 1 (n1n的的关关系系；与与差差值值法法：0uu)2(n1n关系。关系。）与）与（，利用，利用）（使使），），（构造一可导函数构造一可导函数由由利用导数：利用导数：0 xfunfxfu)3(nn例例. 讨论级数11)1ln() 1(nnnn的敛散性 .（A）收敛）收敛（B）发散）发散#2014022501122)sin(nan的敛散性 .nanaann22222sin) 1()sin(例例. 讨论级数#2014022502（A）收敛）收敛（B）发散）发散例例2. 讨论级数32323232) 12(1)2(17161514131211nn的敛散

4、性 .0limnnu12322) 12(1)2(1nnanna222312)22(1) 12(1nnannaLebnitze条件是充分的不是必要的分析判别下列级数收敛的是:nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nnnnn10) 1(104103102101)31432#2014022503判别下列级数各项取绝对值后级数收敛的是:nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nnnnn10) 1(104103102101)31432#2014022504收敛收敛nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)2

5、1nn用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:nnn10) 1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数,1nnu若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级1nnu收敛 ,1nnu数1nnu绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .思考：思考：1nnu绝对收敛 ，级数1nnu是级数收敛的（ ）条件。（A）充分）充分（B）

6、必要）必要#2014022505（C）充要）充要（D）不确定）不确定定理定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .证证: 设1nnunv),2,1(n根据比较审敛法显然,0nv1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛)(21nnuu 且nv,nu收敛 , 令例例3. 讨论级数14sinnnn解解:,1sin44nnn而141nn收敛 ,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛 .的敛散性.例例4. 讨论级数)0, 0()(1snnsn的敛散性 .解：交错级数0snnnu)(1) 1(11nnnnnuusnssnnn,1) 1 (时当收敛，1)(nsnn.)(1绝对

7、收敛nsnn,1)2(时当发散，1)(nsnn.)(1发散nsnn,1)3(时当交错级数，1) 1(nsnn.1,s绝对收敛.0,s1条件收敛思考：思考：下列命题是否正确下列命题是否正确.对一个收敛级数的和对一个收敛级数的和s来说它是无穷多个数的来说它是无穷多个数的“和和”，也可以按照有限个数求和的运算规律进行，也可以按照有限个数求和的运算规律进行，比如可以交换各项的顺序。比如可以交换各项的顺序。（A）正确）正确（B）不正确）不正确#2014022506（C）不确定）不确定绝对收敛级数与条件收敛级数的区别.*定理定理8. 2,2pnnnnnnuuquu设11,nnnnqp绝对收敛 ，则1)2(

8、nnu条件收敛，则1) 1 (nnu11,nnnnqp收敛；发散。*定理定理9. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. nnnsn412411211211015181613141211322ln)2112161514131211 (lim21lim3nnsnnn121313nssnnnnn41)241121(121)10151(81)6131(41)211 ()2112161514131211 (21nn2411323nssnn其和分别为 *定理定理10. ( 绝对收敛级数的乘法 )设级数1nnv1nnu与都绝对收敛,S )()(1121122111vuvuvuvuvuvunnn也是绝对收

9、敛的，并且其和为也是绝对收敛的，并且其和为 . s则这两个级数的柯西乘积则这两个级数的柯西乘积一 数项级数（一）基本概念1 敛散性nnulim1nnu=00发散收敛绝对收敛发散1nnu条件收敛收敛发散发散注(1)注(2)由比值或根值法判断 发散注(1)积分判别法 比值法 根值法发散收敛比较法极限形式比较法部分和数列有界111Rbaabba,2220,sinxxx0,1xxex0,)1ln(1xxxxx正项级数注(2) 任意项级数交错级数莱布尼兹 任意级数定义性质0cc11n1n同同敛敛散散，与与nnuu待待发发发发发发发发收收收收收收收收2不改敛散性不改敛散性加，减，改变有限项，加，减，改变有

10、限项，待待收收发发发发收收收收去括号去括号去括号去括号加括号加括号收敛收敛2 和函数和函数按定义求按定义求利用函数项级数在收敛域内某点的值求利用函数项级数在收敛域内某点的值求（二）基本题型1，判断敛散性，判断敛散性2，求和函数，求和函数3，求极限，求极限注绝对收敛。条件收敛，收敛发散，发绝对收敛，当当发散；收敛，当当时收敛；当时发散当1, 10 , 11, 10 , 1, 1, 1),0()3(,!)2()ln1(1,1,ln) 1 (1122ppappaaapnaeaeannannnnnpnnnnnn练习：练习：1.下列命题正确的有（）个下列命题正确的有（）个.（1 1）级数各项乘以常数后其

11、敛散性不变）级数各项乘以常数后其敛散性不变 ；（2 2）若加括弧后的级数发散）若加括弧后的级数发散, , 则原级数必发散则原级数必发散；0limnnu1nnu收敛收敛；（3）若）若，则，则（4）若）若1nnv1nnu都发散，都发散， 则则)(1nnnvu 也发散也发散；（5 5）级数）级数 收敛（发散）等价于其部分和数收敛（发散）等价于其部分和数 列列 收敛（发散）收敛（发散） ；1nnunS（6 6）对任何级数）对任何级数 来说，来说， 都是其余项；都是其余项；1nnu21nnnuur#2014022507练习：练习：2.下列命题正确的有（）个下列命题正确的有（）个.（3 3）由正项级数比值

12、法可知，）由正项级数比值法可知，（1）若）若1nnu的部分和的部分和nS有界，有界，（2）若）若1nnu收敛；收敛；则则nnvu )(Nn当当1nnv收敛时，收敛时，1nnu收敛；收敛；则则1lim1nnnuu1nnu正项级数正项级数当当时，时，收敛时，收敛时，则当正项级数则当正项级数1nnu收敛；收敛；; 1lim1nnnuu有有（）由正项级数比值法可知，（）由正项级数比值法可知，11nnuu1nnu正项级数正项级数当当时，时，收敛；收敛；#2014022508练习：练习：3.下列命题正确的有（）个下列命题正确的有（）个.（1）若对正项级数）若对正项级数由比值法判断其发散，由比值法判断其发散

13、，1nnu则其通项一定不趋于零则其通项一定不趋于零（）对正项级数（）对正项级数 ，1nnv1nnu)( ,nvunn 则两级数敛散性相同则两级数敛散性相同. .#2014022509（2）若）若1nnu收敛，收敛， 则则1nnu也一定收敛也一定收敛（3）若）若1nnu的通项单调递减极限为零，的通项单调递减极限为零，1nnu则则收敛收敛练习：练习：4.下列命题正确的有（）个下列命题正确的有（）个（1）级数）级数1nnu与广义积分与广义积分1)(dxxf有相同敛散性有相同敛散性#2014022510练习1 ) 12)(12(11的和为的和为数项级数数项级数nnn#2014022511 p, 1) 1(lim0, 01