杨劲芳：猜出精彩

1、猜出精彩“商不变规律”案例片段的比较分析杭州市学军小学 杨劲芳【主题阐述】猜想，已经成为学生当今学习数学的一种重要方式。从心理学角度看，猜想是一项思维活动，是学生有方向的猜测与判断，包含了理性的思考和直觉的推断；从学生的学习过程来看，猜想是学生有效学习的良好准备，它包含了学生从事新的学习或实践的知识准备、积极动机和良好情感。在数学学习中，猜想作为一种手段，目的是为了验证猜想是否正确，从而使学生积极参与学习的过程，让学生主动地获取知识，培养学生的创造性思维。然而在实际教学实践中，我们发现：有些老师将“猜想”过程浅尝辄止、一曝十寒；有些老师请学生“猜想”，却有名无实、匆匆过场；或是偏废结果、虎头蛇

2、尾信口开河的猜想、缺少思索的猜想、牵强附会的猜想等问题不自觉地困扰着“猜想”这种教学方式的实施，充其量仅能称之为“猜”，而并非“猜想”。由此，笔者提出这样的观点：数学是一门理性的科学，数学学习不能一味追求热闹的“猜”，数学学习的过程需要让学生静静思考、大胆假设、慢慢揣摩后的“猜”。【课堂观察】下面笔者结合人教版四上商不变规律一课中几个片断为例，谈谈基于教师层面对小学数学猜想过程有效性的有关思考。片段一：过于开放，猜测目标混沌模糊。教学伊始，教师从复习积的变化规律入手。1.出示：根据已知算式写出得数：1321273 （133）21 13（217）ab24 （a3）（b3） （a2）（b2）ab2

3、4 （a3）（b3） （a2）（b2）学生计算并口答。（略）师：谁来说说因数与积的变化规律？一个因数不变，另一个因数扩大或缩小几倍，积也要扩大或缩小相同的倍数；两个因数同时扩大或缩小几倍，积要扩大或缩小两个倍数的乘积；一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。2.抛出问题：两个因数的不同变化会带来积的变化。请你们猜一猜，在除法算式里，被除数、除数的变化会引起商怎样的变化？生1：我想这个与因数、积的变化规律差不多。除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也扩大或缩小几倍；生2：如果被除数不变，除数扩大或缩小几倍，商也扩大或缩小几倍；生3：我不同意。如果被除数不变，除数扩大或缩小几倍，商应该缩

4、小或扩大几倍；（其余学生开始纷纷议论。）老师见状问：怎样来说明自己的猜测是对的？生：我们可以举例说明。生4：我觉得还可以研究被除数和除数同时增加和减少的情况。师打断：那么请大家针对自己刚才的猜测进行举例说明。（学生举例说明，花了十来分钟时间还未进入商不变的研究。）因为问题比较大，其中包含了较多的要素，学生猜测的角度不一样而带来混乱的局面：有学生在整段时间里忙于猜测各种假设，缺少对假设的举例体验。有学生陷入了“被除数变化，除数不变或除数变化，被除数不变而引起商的变化”中，对新知“商不变”没有任何猜测探究。有学生因为缺少与旧知的对比，陷入被除数、除数的“增加”和“减少”的变化中，无从猜测。思考：数

5、学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实经验基础上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理。目标明确、任务清晰、空间广阔的探究任务是学生在探究中获得数学猜想的基点。上面的案例中教师对于旧知乘法规律不加工细化，迁移到除法后又过于开放，导致学生从多角度猜测商的变化规律。看似全面，却长时间进入不了主题“商不变”的研究。再加上在过于开放的问题的追问下，学生猜测目标只能停留在混沌模糊阶段。片段二：急于牵引， 猜测行为一曝十寒。片段一之后的汇报交流中，总算有部分学生提出了被除数和除数均发生变化的猜想。猜想1：被除数和除数同时扩大几倍，商也会扩大几

6、倍。猜想2：被除数和除数同时扩大几倍，商会缩小几倍。猜想3：被除数和除数同时扩大几倍，商会扩大两个倍数的乘积。猜想4：被除数和除数同时扩大几倍，商会缩小两个倍数的乘积。连续四位同学都没“猜”对，老师的眉头紧缩了生5（怯怯举起小手）：老师，我觉得商可能会不变。师（大喜）：你为什么觉得商会不变？生5：被除数和除数同时扩大，那么商不是扩大，就是缩小，除此之外第三种情况就是不变了。师生陷入尴尬思考：类似这样的教学场景在课堂中可能并不少见。由于受年龄特点和经验的约束，学生的能力未达到足够水平，所以他们猜不出来。这时教师脑子中一味想着“猜想”这一环节，急于牵引到正确结论中去，让学生一个接一个猜，未做任何引

7、导和提示，其结果只能将ABCD四个选项全猜一遍。这样的猜想能提高学生的数学猜想水平吗？这绝不是我们课堂追求的“猜想”！片段三：越俎代庖，猜测主体似懂非懂。练习阶段，教师出示了一组练习：4804012 （4805）（40）12（480）（408）12 （480）（40）12利用“商不变的规律”，学生比较轻松地填好答案后，教师要求观察最后一题，鼓励大家用不同的方法填写，但学生无外乎是乘或除以一个相同的数。师板书：（480）（4040）12问：除数增加40，要使商不变，请你猜一猜被除数怎么变？大部分学生异口同声：被除数也增加40一分钟后，学优生小A举起了小手：被除数增加480。师：我们一起算一算。得

8、出：被除数和除数同时加或减去相同的数，商会变。 被除数和除数同时增加相同的倍数，商不变。师：说得真棒！我们一起来用一用这个规律吧！课堂上留下的是大部分学生似懂非懂的照搬，后进学生不知所措的茫然思考：自主猜测应该着眼于让学生思考和寻找探索主题与自己已有知识体验之间的关联，这样的猜想才有比较清晰的思路，如果教师越俎代庖，直接给出假设，让学生通过举例计算来验证，而不再进行进一步的领悟与反思，学生对于“被除数和除数同时增加相同的倍数，商不变”这一结论的前提条件却不反思体验，用少数学优生的猜测替代全部学生的猜测，并非真正意义上的猜想。【反思研究】我们鼓励学生去猜想，学生的猜想可能是经过周密思考的，符合逻

9、辑性，颇像一个大数学家，但更可能是稚嫩无据的，只是顽童小技；学生的猜想状态可能是积极主动的，但也可能是消极被动的，这都是正常的，教师要在学生的猜想中发挥“主导作用”，引导他们去合理甚至求异地猜想，使学生更具信心地猜想，更好地发展他们的创造性思维。借于上述思考，从教师层面将猜想活动做以下调整。1.明确目标，猜在旧知后。教学伊始，教师从复习积的变化规律入手。1.出示：根据已知算式写出得数：1321273 （133）21 13（217）ab24 （a3）（b3） （a2）（b2）ab24 （a3）（b3） （a2）（b2）学生计算并口答。（略）师：因数发生变化，积就一定会发生变化吗？生：不一定。第三

10、种情况，当一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数时，积不变。2.追问：如果在除法算式中，被除数、除数发生一定的变化，有没有可能带来商的不变？如果保证学生思维方向、思维目标的清晰性，可以大大缩小学生的猜测范围。片段一中老师把问题直接指向了“商不变”，目标更明确后，学生马上排除了被除数和除数中只有一个变化的情况，学生认为：被除数不变，除数变化，商一定变；反之被除数变，除数不变，则商也会变。所以要使商不变，那么被除数和除数必须要一起变化。接下去在明确了任务和目标后，学生紧紧围绕“被除数、除数均发生变化”的情况进行猜想，利用“积不变”这一旧知，加以对比沟通，为探究商不变规律的有效建模打下扎实的基础

11、。这样的猜想是有价值的。2.放慢速度，猜在思考后。前面已经提到过了，猜想不是天马行空地乱想。数学的猜想必须是有一定的科学依据，有一定的针对性的。否则乱想一次，就用大力气进行验证，再乱想一次，再验证不断重复，这中间会带来多少时间和精力的浪费？合理的猜想必须是有依据的，要引导学生在猜想之前，先经过仔细思考，合理推导，大胆又不失慎重地提出自己的合理猜想，然后再进行验证。如上面片段二中，教师让学生猜想“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商会怎样”这一教学过程中，不应仅仅让学生站起来一个回答一个，不断重复；相反，此时教师要放慢速度，追问学生：为什么会得到这样的猜想，有什么依据，他是怎样思考的，然后引

12、导其他同学进行讨论。在这一过程中，教师也可以不断点拨、指导，帮助学生调整思路。那么，在这样的过程中，一些没有根据的“猜想”便会不攻自破，学生也会在这样的过程中逐渐意识到猜想不是胡思乱想，一定要建立在深思熟虑的基础上，要进行有根据的想象。下面是修改后二次教学中的一段实录：生1：我猜想，被除数和除数同时扩大几倍，商会扩大两个倍数的乘积。师：你能说说为什么会得到这样的猜想？有什么依据吗？生1：因为两个因数扩大相同的倍数，积会扩大两个倍数的乘积。生2（反驳）：那是在乘法中，不是在除法里。422，当被除数和除数都扩大3倍，变成1262，所以商应该是不变的。生3：我猜想商不变。我根据减法算式来推断，如果被

13、减数和减数都增加或减少一个相同的数，差是不变的。生3：我猜想商也应该不变。如果被除数扩大几倍，除数不变，那商是扩大的；反之被除数不变，除数扩大几倍，商会缩小。那么被除数和除数同时扩大相同倍数，商先扩大再缩小，那么商就是不变的。（大部分学生表示认同）学生举例验证。放慢速度，给足时间，引导学生通过思考后，引发猜想，充分暴露原创思维，远比简单地总结出“被除数和除数同时扩大或缩小几倍，商不变”更有意义。3.巧设迷障，猜在结论后。老师与学生、学生与学生之间的想法、思路不可能完全一致。教师应该允许学生暂时模模糊糊，似懂非懂，甚至出错。利用学生的错例巧设迷障，让学生把方法越辩越明，把思维越辩越清。如上面片段

14、三中，请学生填数：（480）（40）12生填：（4802）（402）12 （4803）（403）12 （4805）（405）12 （4809）（409）12问：我们常说“乘法是求几个相同加数的简便运算”。你们能把（4802）和（402）改写成其他运算吗？生1：（480480）（4040）12师：那么（4803）（403）12该怎样改成（480）（40）12的形式呢？生2：4803就是480再加上2个480，403就是40再加上2个40.所以（4803）（403）12就是（480960）（4080）12师：请把（4805）（405）12和（4809）（409）12改写成加法的形式。待学生初步感知后，再提供一组习题请学生填一填：123（12）（36） 102（1050）（2）204（2060）（4） 243（24）（39）得出商不变的规律后，一些学生会提出“被除数和除数同时加或减去相同的数，商不变”这样的猜想。针对这样的典型错误，安排上述练习，引导学生观察被除数和除数“乘和加”的相同点与不同点，是对发现规律的进行一步提升，对商不变规律还似懂非懂的学生通过这一环节可以在类似题组中得到新的启示，进一步明晰“被除数和除数同时扩大相同的倍数”也就是“被除数和除数同时