导数及其应用测试卷含详细答案

1、单元综合测试三(第三章)时间：90分钟分值：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1已知f(x)(xa)2，且f()3，则a的值为()A1 B2C1 D2解析：f(x)(xa)2，f(x)2(xa)又f()3，12a3，解得a2.答案：B2函数ysinx(cosx1)的导数是()Aycos2xcosx Bycos2xsinxCycos2xcosx Dycos2xcosx解析：y(sinx)(cosx1)sinx(cosx1)cos2xcosxsin2xcos2xcosx.答案：C3函数y3xx3的单调递增区间是()A(0，) B(，1)C(1,1) D(1，)解析：

2、f(x)33x2>0x(1,1)答案：C4某汽车启动阶段的路程函数为s(t)2t35t22，则t2秒时，汽车的加速度是()A14 B4C10 D6解析：依题意v(t)s(t)6t210t，所以a(t)v(t)12t10，故汽车在t2秒时的加速度为a(2)241014.答案：A5若曲线f(x)xsinx1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a的值为()A2 B1C1 D2解析：f(x)xcosxsinx，f()1，k1，a2.答案：D6已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A1 B3C4 D

3、8解析：如图所示，由已知可设P(4，y1)，Q(2，y2)，点P，Q在抛物线x22y上，P(4,8)，Q(2,2)又抛物线可化为yx2，yx.过点P的切线斜率为y|x44，过点P的切线为y84(x4)，即y4x8.又过点Q的切线斜率为y|x22.过点Q的切线为y22(x2)，即y2x2.联立解得x1，y4. 点A的纵坐标为4.答案：C7若函数ya(x3x)的递增区间是(，)，(，)，则a的取值范围是()Aa>0 B1<a<0Ca>1 D0<a<1解析：依题意ya(3x21)>0的解集为(，)，(，)，故a>0.答案：A8对任意的xR，函数f(x)

4、x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0或a7Ca<0或a>21 Da0或a21解析：f(x)3x22ax7a，当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数f(x)不存在极值点故选A.答案：A9已知函数f(x)x33x，若对于区间3,2上任意的x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是()A0 B10C18 D20解析：f(x)3x23，令f(x)0，解得x±1，所以1，1为函数f(x)的极值点，因为f(3)18，f(1)2，f(1)2，f(2)2，所以在区间3,2上，f(x)max2，f(x)min18，所以对于区间3

5、,2上任意的x1，x2，|f(x1)f(x2)|20，所以t20，从而t的最小值为20.答案：D10设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点解析：取函数f(x)x3x，则x为f(x)的极大值点，但f(3)>f()，排除A.取函数f(x)(x1)2，则x1是f(x)的极大值点，f(x)(x1)2，1不是f(x)的极小值点，排除B；f(x)(x1)2，1不是f(x)的极小值点，排除C.故选D.答案：D11若函数yf(x)满足xf(x)>

6、f(x)在R上恒成立，且a>b，则()Aaf(b)>bf(a) Baf(a)>bf(b)Caf(a)<bf(b) Daf(b)<bf(a)解析：设g(x)xf(x)，则g(x)xf(x)f(x)>0，g(x)在R上是增函数，又a>b，g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)答案：B12设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，则x>0时，f(x)()A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析：由题意知f(x).令g(x)ex2x2f(x)，则g(x)ex2x2f(x)4xf(

7、x)ex2(x2f(x)2xf(x)exex.由g(x)0得x2，当x2时，g(x)mine22×22×0，即g(x)0，则当x>0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增，既无极大值也无极小值答案：D第卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13若抛物线yx2xc上一点P的横坐标为2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为_解析：y2x1，y|x25.又P(2,6c)，5.c4.答案：414如果函数f(x)x36bx3b在区间(0,1)内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是_解析：存在与x轴平行的切线，即f(x)3x26b0有解，

8、x(0,1)，b(0，)答案：b|0<b<15已知a4x34x21对任意x1,1都成立，则实数a的取值范围是_解析：设f(x)4x34x21，则f(x)12x28x4x(3x2)，令f(x)0，解得x10，x2.又f(1)1, f()，f(0)1，f(1)9，故f(x)在1,1上的最小值为1，故a1.答案：(，116设二次函数f(x)ax2bxc(a0)的导数为f(x)，f(0)>0，若xR，恒有f(x)0，则的最小值是_解析：二次函数f(x)ax2bxc(a0)的导数为f(x)2axb，由f(0)>0，得b>0，又对xR，恒有f(x)0，则a>0，且b24

9、ac0，故c>0，所以121212，所以的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)已知函数f(x)ln(2xa)x2，且f(0).(1)求f(x)的解析式；(2)求曲线f(x)在x1处的切线方程解：(1)f(x)ln(2xa)x2，f(x)·(2xa)2x2x.又f(0)，解得a3.故f(x)ln(2x3)x2.(2)由(1)知f(x)2x，且f(1)ln(23)(1)21，f(1)0，因此曲线f(x)在(1,1)处的切线方程是y10(x1)，即y1.18(12分)已知函数f(x)x3axb(a，bR)在x2处取得极小值.

10、(1)求函数f(x)的增区间；(2)若f(x)m2m对x4,3恒成立，求实数m的取值范围解：(1)由已知得f(2)，f(2)0，又f(x)x2a，所以2ab，4a0，所以a4，b4，则f(x)x34x4，令f(x)x24>0，得x<2或x>2，所以增区间为(，2)，(2，)(2)f(4)，f(2)，f(2)，f(3)1，则当x4,3时，f(x)的最大值为，故要使f(x)m2m对4,3恒成立，只要m2m，所以实数m的取值范围是m2或m3.19(12分)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f

11、(x)的单调性，并求f(x)的极大值解：(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4，故b4，ab44，所以a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2)(ex)令f(x)0，得xln2或x2.从而当x(，2)(ln2，)时，f(x)>0；当x(2，ln2)时，f(x)<0.故f(x)在(，2)，(ln2，)上单调递增，在(2，ln2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)20(12分)已知函数f(x)xalnx(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)

12、处的切线方程(2)求函数f(x)的极值解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2lnx，f(x)1(x>0)，所以f(1)1，f(1)1，所以yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x>0可知：当a0时，f(x)>0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a>0时，由f(x)0，解得xa；因为x(0，a)时，f(x)<0，x(a，)时，f(x)>0，所以f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aalna，无极大值综上：当a0时，函数f(x)无极值，当a

13、>0时，函数f(x)在xa处取得极小值aalna，无极大值21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16x24时，这种食品日供应量p万千克，日需量q万千克近似地满足关系：p2(x4t14)(t>0)，q248ln.当pq时的市场价格称为市场平衡价格(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由pq得2(x4t14)248ln(16x24

14、，t>0)，即txln(16x24)t<0，t是x的减函数tmin×24lnlnln；tmax×16lnln，值域为.(2)由(1)知txln(16x24)而当x20时，t×20ln1.5(元/千克)，t是x的减函数，欲使x20，必须t1.5(元/千克)要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克22(12分)已知函数f(x)lnxax22x.(1)若函数f(x)在x2处取得极值，求实数a的值(2)若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围(3)当a时，关于x的方程f(x)xb在1,4上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围解：(1)由题意，得f(x)(x>0)，因为x2时，函数f(x)取得极值，所以f(2)0，解得a，经检验，符合题意(2)函数f(x)的定义域为(0，)，依题意，f(x)0在x>0时恒成立，即ax22x10在x>0时恒成立，则a21在x>0时恒成立，即amin(x>0)，当x1时