已知三角函数值求角

1、已知三角函数值求角学习目标：1.掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角(重点、难点)2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间2，2上对应的角(重点)自 主 预 习·探 新 知1已知正弦值，求角对于正弦函数ysin x，如果已知函数值y(y1,1)，那么在上有唯一的x值和它对应，记为xarcsin_y.2已知余弦值，求角对于余弦函数ycos x，如果已知函数值y(y1,1)，那么在0，上有唯一的x值和它对应，记为xarccos_y(其中1y1,0x)3已知正切值，求角一般地，如果ytan x(yR)

2、且x，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan xy，记为xarctan_y.思考：符号arcsin a(a1,1)arccos a(a1,1)，arctan a(aR)分别表示什么？提示arcsin a表示在区间上，正弦值为a的角，arccos a表示在区间上余弦值为a的角，arctan a表示在区间内，正切值为a的角基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)在区间上，满足条件sin xa(1a1)的x有1个()(2)在区间0,2上，满足条件sin xa(1a1)的x有2个()(3)在区间0,2上，满足条件cos xa(1a1)的x有2个()(4)在区

3、间上，满足条件tan xa(aR)的x只有1个()解析在同一坐标系中，分别画出y1sin x，x及y2a(1a1)的图象，可知(1)正确同理画出ysin x，x0,2及ya(1a1)的图象，可知它们可能有一个或两个或三个交点，即sin xa中x的解有一个或两个或三个，故(2)错误对(3)及(4)利用同样的方法可知(3)错误，(4)正确答案(1)(2)×(3)×(4)2已知是三角形的内角，且sin ，则()A.B.C.或 D.或D因为为三角形的内角，所以(0，)，当sin 时，或，故选D.3已知tan 2x且x0，则x_.解析x0，2x0,2tan 2x，2x或2x，x或.答

4、案或合 作 探 究·攻 重 难已知正弦值求角已知sin x.(1)当x时，求x的取值集合；(2)当x0,2时，求x的取值集合；(3)当xR时，求x的取值集合思路探究尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解解(1)ysin x在上是增函数，且sin ，x，是所求集合(2)sin x0，x为第一或第二象限的角，且sin sin，在0,2上符合条件的角有x或x，x的取值集合为.(3)当xR时，x的取值集合为 .规律方法1给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用2对于已知正弦值求角有如下规律：sin xa(|a|1)xx0,2xarcsin a0a11a0x1ar

5、csin ax2arcsin ax1arcsin ax22arcsin a跟踪训练1已知sin ，根据所给范围求角.(1)为锐角；(2)R.【导学号：79402030】解(1)由于sin ，且为锐角，即，所以arcsin .(2)由于sin ，且R，所以符合条件的所有角为12karcsin (kZ)，22karcsin (kZ)，即n(1)narcsin (nZ)已知余弦值求角已知cos x，(1)当x0，时，求值x；(2)当xR时，求x的取值集合思路探究解答本题可先求出定义arccos a的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合解(1)cos x且x0，xarcco

6、s.(2)当xR时，先求出x在0,2上的解cos x，故x是第二或第三象限角由(1)知xarccos是第二象限角，又coscos，且2arccos，所以，由余弦函数的周期性知，当xarccos2k或x2arccos2k(kZ)时，cos x，即所求x值的集合是 .规律方法cos xa(1a1)，当x0，时，则xarccos a，当xR时，可先求得0，2内的所有解，再利用周期性可求得：x|x2k±arccos a，kZ.跟踪训练2已知cos x且x0,2)，求x的取值集合解由于余弦函数值是负值且不为1，所以x是第二或第三象限的角，由coscos ，所以在区间0,2)内符合条件的第二象限

7、的角是x.又coscos ，所以在区间0,2)内符合条件的第三象限的角是x.故所求角的集合为.已知正切值求角已知tan 3.(1)若，求角；(2)若R，求角.思路探究尝试由arctan 的范围及给值求角的步骤求解解(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan 3的角只有一个，即arctan(3)(2)karctan(3)(kZ)规律方法1已知角的正切值求角，可先求出内的角，再由ytan x的周期性表示所给范围内的角2tan a，aR的解集为|karctan a，kZ跟踪训练3已知tan x1，写出在区间2，0内满足条件的x.解tan x10，x是第二或第四象限的角由tantan 1可

8、知，所求符合条件的第四象限角为x.又由tantan 1，得所求符合条件的第二象限角为x，在2，0内满足条件的角是与.三角方程的求解探究问题1已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？提示不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个2怎样求解三角方程？提示明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsin a或arccos a或arctan a表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角若cos xcos，求x的值思路探究先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角解在同一个周期，内

9、，满足cos xcos的角有两个：和.又ycos x的周期为2，所以满足cos xcos的x为2k±(kZ)规律方法已知三角函数值求角的大致步骤：(1)由三角函数值的符号确定角的象限；(2)求出0，2)上的角；(3)根据终边相同的角写出所有的角.跟踪训练4已知sin x，且x0,2，则x的取值集合为_解析x0,2，且sin x0，x(0，)，当x时，ysin x递增且sin，x，又sinsin，x也适合题意x的取值集合为.答案当 堂 达 标·固 双 基1下列说法中错误的是()AarcsinBarcsin 00Carcsin(1) Darcsin 1C根据已知正弦值求角的定义知arcsin(1)，故C项错误2已知cos x，x2，则x()A. B.C. D.B因为x(，2)且cos x，x.3函数yarccos(2x3)的定义域是_.【导学号：79402031】解析由题意可得，解得1x，所以