九年级数学竞赛试题

1、绝密启用前牛郎镇中学2012-2013学年度数学竞赛试卷九年级数学考试时间：120分钟；总分：100分题号一二三总分得分第I卷（选择题）评卷人得分一、选择题（每小题4分，共32分）1.如果=a+b（a，b为有理数），那么a+b等于( ) A.2 B.3 C. 8 D.102.下列运算正确的是（ ）A B C D3.若实数x，y满足，则yx的值为（ ）A. B.3 C. D.3 4.一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是()A、106元 B、105元 C、118元 D、108元5.在同一直角坐标系中，函数（）与y=kx+k（）的图象大致是（A） （B） （C）

2、 （D）6.如图：一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°,2小时后,船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°,则灯塔B到船的航海线AC的距离是（ ）千米. 7.小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差 （ ）A不变 B增大 C减小 D无法确定8.下列图案是用四种基本图形按照一定规律拼成的，第10个图案中的最下面一行从左至右的第2个基本图形应是（ ）第一个图案第二个图案第三个图案第四个图案第五个图案A B C D 第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题（每小题3分，共18

3、分）9.根据铜仁市委、市政府实施“五大战役”的工作部署，全市社会事业民生战役计划投资 3 653 000 000元，将3 653 000 000用科学记数法表示为_10.把代数式 分解因式得到_11.若表示不超过的最大整数（如等），则_12.在菱形ABCD中，ABC=60°，边长为2cm，E,F分别是边BC和对角线BD上两个动点，则EFCF的最小值为_.13.如图，RtABC在第一象限，AB=AC=2，点A在直线y=x上，其中点A的横坐标为1，且AB轴，AC轴，若双曲线与有交点，则k的取值范围是_.14.如图, 如

4、果函数y=x与y=的图像交于A、B两点, 过点A作AC垂直于y轴, 垂足为点C, 则BOC的面积为_.评卷人得分三、解答题（共44分）15.如图所示，在中，CD是AB边上高，若AD=8，BD=2，求CD。（5分）16. （8分）如图，在RtABC中，AB=AC，BAC=90，O为BC的中点。（1）写出点O到ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN=BM，请判断OMN的形状，请证明你的结论。17.（10分）今年我国许多地方严重的“旱情”，为了鼓励居民节约用水，区政府计划实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨

5、）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？（2）设每月用水量为吨，应交水费为y元，写出y与之间的函数关系式；（3）小英家3月份交水费39元，她家应用水多少吨？18.（7分）已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0. (1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根. (2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.19.（10分）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是、的中点（1）请判断四边形的形状

6、并说明为什么?（2）若使四边形为正方形，那么四边形的对角线应具有怎样的性质？20.（10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是_；（2）如图1，梯形ABCD中，ABDC，如果延长DC到E，使CEAB，连接AE，那么有S梯形ABCD SADE请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图2，四边形ABCD中，AB与CD不平行，SADCSAB

7、C，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出说明；若不能，说明理由ADBADEBADCFEBADDQFEBAD图1ADBADCFEBADDQFEBAD图2参考答案1.【答案】D 【解析】略2.【答案】C【解析】略3.【答案】B 【解析】略4.【答案】D【解析】设这件衣服的进价为x元，则132×0.9=x+10%x解得：x=108故选D5.【答案】C【解析】略6.【答案】C【解析】此题主要考查学生对方向角的理解及运用能力本题中BD是直角三角形ADB和直角三角形CDB的共有直角边，那么可用BD来表示出AD和CD，再根据AC的长来求出BD由题意得AC=20&

8、#215;2=40（海里），直角三角形CDB中，CD=BDtan45°=BD，直角三角形ADB中，AD=BDtan60°=BD，解得BD=，故选C.7.【答案】C【解析】解：每个图案中从上往下，从左往右四种基本图形一个循环，第10个图案中的最下面一行从左至右的第2个基本图形是第47个图形，47÷4=113，第10个图案中的最下面一行从左至右的第2个基本图形应是故选C8.【答案】D【解析】解：如图，作AOBC交DC于O点，ABCD，ADC+BCD=90°，AB=OC，AO=BC，DAO=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，S1

9、=AM×MD=AM2，根据勾股定理得：AM2+MD2=AD2，AM=MD，2AM2=AD2，S1= ，同理：S2=AN2，2AN2=AB2，S2=，同理：S3=BP2，2BP2=BC2，S3=，S1+S3=9S2（DC-AB）2=9AB2（CD-4AB）（CD+2AB）=0，CD=4AB，CD=-2AB（不合题意，舍去）故选D11.【答案】3.653×109【解析】略12.【答案】【解析】13.【答案】2010 【解析】略14.【答案】【解析】略15.【答案】2【解析】解：依题意AOC和BOC是同底等高的两个三角形，都等于，故BOC的面积为216.【答案】【解析】： 17.

10、【答案】18.【答案】11.5【解析】解：根据题意：在RtADE中，有AE=DE×tan45°=10，则AB=AE+BE=11.5（米）19.【答案】4【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质. 根据射影定理即可求此题，即斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项解：在RtABC中，ACB=90°，CD是AB边上高，CD2=ADBD，AD=8，BD=2，CD= =420.【答案】（1）OA=OB=OC（2）OMN的形状是等腰直角三角形，证明见解析【解析】解：（1）点O到ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系是OA=OB=OC；（2）OMN的形状是等腰直角三角形

11、，证明：ABC中，AB=AC，BAC=90°，O为BC中点，OA=OB=OC，AO平分BAC，AOBC，AOB=90°，B=C=45°，BAO=CAO=45°，CAO=B，在BOM和AON中AN=BM，CAO=B，OA=OBBOMAON（SAS），OM=ON，AON=BOM，AOB=BOM+AOM=90°，AON+AOM=90°，即MON=90°，OMN是等腰直角三角形（1）根据直角三角形斜边上中线性质推出即可；（2）根据等腰三角形性质求出B=C=45°=BOA=CAO，根据SAS证BOMAON，推出OM=ON，A

12、ON=BOM，求出MON=90°，根据等腰直角三角形的判定推出即可21.【答案】 设每吨水的政府补贴优惠价为元，市场调节价为元 答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元 ； ， （3）当0x14时，y=x1439，所以不可能； 当x14时，y=2.5x-21=39，所以x=24 答：小英家三月份应用水24吨【解析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价为x元，市场调节价为y元，根据题意列出方程组，求解此方程组即可；（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系，注意自变量的取值范围；（3）根据小英家的用水量判断其再哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可22.【

13、答案】(1)证明见解析(2) 【解析】本题主要考查了根与系数的关系. （1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可解：（1）已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0，=（-2k）2-4×（k2-2）=2k2+8，2k2+80恒成立，不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根（2）x1、x2是方程的两个根，x1+x2=2k，x1x2=k2-2，x12-2kx1+2x1x2=x12-（x1+x2）x1+2x1x2=x1x2=k2-2=5，解得k=±23.【答案】（1）四边形是平行四边形