集合问题中常见易错点归类分析答案

1、集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变.初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解.本文就常见易错点归纳如下：1.代表元素意义不清致误错解：由x+2y=5x2y=3例1设集合A=(x,y)IX+2y=5,B=(x,V)X-2y=3,求ABx=1c得从而AlB=1,2.J=2分析上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A、B中元素为点集，所以AriB=(1,2)例2设集合A=yIy=x2+1,x乏R,B=xIy=v'x+2,求AAB.错解：显然A=y|y>lB=xly>2.所以AAB=B.分析错因在于对集

2、合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y,从而A=yIy>1,但集合B中的元素为x,所以B=xIx>0,故AAB=A.变式：已知集合A=y|y=x2+1,集合B=y|x=y2,求A。B解：A=y|y=x2+1=y|y21,B=y|x=y2=RAB=y|y_122_例3设集合A=xx6=0,B=x|xx6=0,判断A与B的关系。错解：A=B=2,3分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合A中的元素属性是方程，集合B中的元素属性是数，故A与B不具包含关系。例4设B=1,2,A=x|x?B,则

3、A与B的关系是()A.A?BB.B?AC.ACBD.BCA错解：B分析：选D.B的子集为1,2,1,2,?,.A=x|x?B=1,2,1,2,?,从集合与集合的角度来看待A与B,集合A的元素属性是集合，集合B的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B与A,BCA.评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错.2忽视集合中元素的互异性致错例5已知集合a=1,3,a,b=1,a2a+1,且A二B,求a的值.错解：经过分析知，若a2a+1=3，则a2a-2=0，即a=T或a=2.若a2a+1=a,则a22a+1=0，即a=1.从而a=1

4、,1,2.分析当a=i时，a中有两个相同的元素1,与元素的互异性矛盾，应舍去，故例6设人=xIx2+(b+2)x+b+l=0,bWR,求A中所有元素之和.错解：由X2+(b+2)x+b+l=O得(x+1)(x+b+1)=0(1)当b=0时，xi=X2-1,此时A中的元素之和为一2.(2)当b¥0时，xi+X2=b2.分析上述解法错在(1)上，当b=0时，方程有二重根1,集合A=1,故元素之和为一1,犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”.评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别

5、是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。3.忽视空集的特殊性致误例7若集合A=x|x2+x6=0,B=x|mx+1=0,且B三A,求实数m的值.错解：A=x|x2+x-6=0=-3,2.B注A,(1) B=-3mx+1=0的解为一3,1由m(3)+1=0,得m=-;3(2) B=2mx+1=0的解为2,1由m2+1=0,得m=2；八，一11综上所述，m=或m=一32分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了B=e的情况。正解：A=x|x2+x-6=0=-3,2.-BA,(1) B=d,此时方程mx+1=0无解，m=0(2) B

6、=-3mx+1=0的解为一3,1由m(-3)+1=0,得m=-;3(3) B=2mx+1=0的解为2,1由m2+1=0,得m=2；1.1.综上所述，m=或m=-或m=032例8已知A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a21=0,若B=A,求a的取值范围。解：A=x|x24x=0=-4,0(1) B="A=4(a+1)24(a21)=8(a+1)<0,即a<1(2) B=工，方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两等根4,=0'a=-1"由J9得所以无解16-8(a+1)+a2-1=0§=1或7(3) b=0,方程x2+2(a

7、+1)x+a21=0有两等根o所以a=1a=0/日'a=-12得*a1=0a=±1!L(4) B=4,0,方程x2+2(a+1)x+a21=0有两不等根4,l01a一1由_4+0=-2(a+1)得<a=1，所以a=1-4*0=a2-1a=±1综上所述，2=1或24-1例9已知集合A=x|x<1或x>4,B=x|2aWxWa+3,若BJA,求a的取值范围。解：(1)B=4,2a>a+3得a>3(2) B#弧则aE3”3或a+3<-1a<32a>4得a:二乂或2:二a<3综上所述a：二-4或a2例10已知集合A=x|

8、xc1或x>4,B=x|1aExE1+a,若Ab=G,求a的取值范围。解：(1)B=6,则a<0,符合题意a>0(3) B。，则”一a之一1=0MaW21+a<4综上所述，a<2变式：已知集合A=x|x<-1或x>4,B=x|1aMxE1+a,若AB#，求a的取值范围。解：当aCb=中时，a<2所以当Ab"小时，a>2评注：对于任何集合A,皆有An*=*,AU*=A,©土A.4的特殊性不容忽视.尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维

9、定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。4 .忽视端点值能否取得致误例11已知集合A=xIx>4,或xV5,B=xIa+lWxWa+3,若AUB=A，求a得取值范围.错解：由AUB=A得B三A.，a+3w5,或a+i>4,解得aw8,或a>3.分析：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当a=8时，不符合题意；当a=3时，符合题意，故正确结果应为av8,或a>3.评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号,否则会导致解题结果错误.5 .忽视隐含条件致误例12设全集U=2,3,a2+2a-3,A=l2a-1I

10、,2,C|jA=5,求实数a的值.错解：CuA=5,5WS且5更A,从而，a2+2a3=5,解得a=2,或a=-4.分析导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为U是全集，所以AEU.当a=2时，12a-11=3wS,符合题意；当a=4时，12a-1I=9更s,不符合题意；故a=2.评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件.6、忽视补集的含义致错1例13已知全集I=R,集合M=x|x-x<Q,集合N=x|<1,则下列关x系正确的是()A.吟倒B.CT"D.-J，R11错解：N=x|2<1的补集为C|N=x|->1,故选Coxx剖析：本题错误地认为A=x|f(x)M0的补集为C|A=x|f(x)>0。事实上对于全集I=R,由补集的定义有aUc1A=R，但幻式幻工口)外>口>x|f(x)W0Ux|f(x)>0=x使f(x)有意义，xwR,即为f(x)的定义域。所以只有当f(x)的定义域为R时才有A=x|f(x)E0的补集为C1A=x|f(x)>0,否则先求A,再求CIA。一一1x-1正解：N=x|W1=x|之0=x|x<0或x之1,所以CN