工程力学64第6章弯曲内力1

1、1 授课教师：授课教师： 韩志型韩志型 土建学院力学教研室土建学院力学教研室 第第 6 6 章章 弯曲内力弯曲内力 5 5学时学时3本章重点本章重点重要概念重要概念本章难点本章难点46.1 弯曲的概念和工程实例弯曲的概念和工程实例一、一、 弯曲的概念弯曲的概念以弯曲变形为主的杆件！以弯曲变形为主的杆件！梁梁q qP PM M5桥桥式式吊吊车车二、工程实例二、工程实例6火火车车轮轮轴轴 7桥梁桥梁 露台露台8直立式反应塔直立式反应塔合成塔合成塔9锥形齿轮的齿合力锥形齿轮的齿合力蒸馏塔（高蒸馏塔（高42m42m）rF0MaFrFtF10三、常见梁的截面形状三、常见梁的截面形状 圆形圆形矩形矩形工字

2、形工字形 它们都有对称轴，梁横截面的对称它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵纵向对称平面向对称平面 。11q qP PM M12FxAFyAMAFRAyAFRAxFAAAA13FPqMMFPqFP14FPFP15 例例11如图示结构的计算简图为如图示结构的计算简图为: :q 均布力均布力P16吊车横梁简化吊车横梁简化Fq均布载荷均布载荷 集中力集中力17火车轮轴简化火车轮轴简化18露台露台q19直立式反应塔直立式反应塔20非对称弯曲：非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面，但外力并不作用在

3、纵向对称面内的弯曲。称面，但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。21PalABAx0 : F0 xF 0: AM 0 :yF FB yPal F0B ylPa () FAyP lal F+F0B yAyP PFAyFAxFByABxyAx F0 22()0 , ySAyP laFFFl FSMFByMFSCCxAFAyxP l-xPABFAyHAFByxC0 , CAyMMFx FByPal () FAyP lal alxalP)( 23FFFS（-）FS（-）FFFs FS dxmmFSFSFSmmFS+dx24MM25260 ,yF , 0 BM F0RBRAFqa 7 F4RBqa 202

4、RAaFaMqa 3 F4RAqa qM=qa2Ca aaBD11223344FRAFRB27RA0,0ySFFF 134SRAqaFF 110 ,CM 10RAMFa 2134qaM 1FRAA3 F4RAqa 7 F4RBqa 2FRAAM=qa2RA0,0ysFFF 234SRAqaFF 220 ,CM 20RAMFaM 224qaM qM=qa2Ca aaBD11223344FRAFRB28RB0,0ySFFFqa 334SqaF 330 ,BM 2302qaM 232qaM 0,0ySFFqa 4SFqa 440 ,BM 3FRBBqDFRAFRBqM=qa2Ca aaBD11223

5、3444 BqD2402qaM 242qaM 3 F4RAqa 7 F4RBqa 2934SqaF 3232qaM SFqa 4FRAFRBqM=qa2Ca aaBD11223344242qaM 34SqaF 12134qaM 34SqaF 2224qaM 222213()44qaqaMMqaM 4337()44SSRBqaqaFFqaF 3 F4RAqa 7 F4RBqa 30 (1) (1) 求剪力的规律求剪力的规律 梁内任一截面上的剪力梁内任一截面上的剪力F FS S，在数值上等于该截面一侧（左，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力在平行于剪力方向投影的代数和。侧或右侧）所有外力

6、在平行于剪力方向投影的代数和。SiFF 左siFF 右或或FFF S FS31FFM M mkkiniiMaFM左（右）左（右）左（右）左（右）1132计算内力要点：计算内力要点：33 例例6.26.2 简支梁受均布力简支梁受均布力q q和集中力偶和集中力偶Me=qlMe=ql2 2/4/4的作用，的作用，求求C C截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。FRAFRBBqMeACl/2l/2, 0 AM, 0 BM F02RBellMql F4RBql -02RAelFlMql 3 F4RAql 34FRAFRBBqMeACl/2l/2 F4RBql 3 F4RAql 4e 2qlM SiFF 左

7、左4SqlF 左CMM 左左左左42qlMC 左左RA24lqlFq 224RAlqllF24ql SiFF 右左RA24lqlFq CMM 右右左左224RAlqllFMe 0 4SqlF 右0CM 右右356.3 6.3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图( )SSFFx )(xMM 36 xFS(x)FS 图的坐标系图的坐标系OM 图的坐标系图的坐标系xOM(x)37( )SFxP ( )()M xP Lx 根据方程画内力图根据方程画内力图FSxMxPLoPxx38( )SFxqx 221)(qxxM LqFS(x)FSx qL22qL xxq xMx39

8、2RRqlFFBA FFlqABx)0(2)(RSlxqxqlqxFxFA x)0(222)(2RlxqxqlxxqxxFxMA 40)0(2)(SlxqxqlxF2SqlF 2SqlF +ql/2BlqFAxF+82ql)0(222)(2RlxqxqlxxqxxFxMA 00 Mx，0, Mlx( )d0d2M xqlqxx2lx 822maxqlMMlxxFSxxM-ql/241 注意：注意：一般情况下，梁全长上的一般情况下，梁全长上的剪力和弯矩不能用一个剪力和弯矩不能用一个函数表示，函数表示，外力有突变时，剪力方程和外力有突变时，剪力方程和弯矩方程可能发生变弯矩方程可能发生变化，应分段描

9、述。化，应分段描述。 集中力作用点、集中力偶作用点集中力作用点、集中力偶作用点 分布荷载起点和终点分布荷载起点和终点qABCDCabABCAB42解：解：1 1求约束反力求约束反力0 AM2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程AC： 0SRAFbFxxal F 0RAFbM xxxxal F FCB： SRBFaFxFaxll ()RBM xlxFalxaxll F FFRAFRB( )RAFbFl ( )RBFaFlCabABx0 BMxx43剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程FRAxxCFAB3 3、依方程画出剪力图和弯矩图、依方程画出剪力图和弯矩图lFab/(+) lFb/lFa/

10、AC： 0sRAFbFxxal F 0RAFbM xxxxal F FCB： SRBFaFxFaxll lxaxllFaxM FFSxMx44剪力和弯矩突变处：剪力和弯矩突变处：FAYFBYxxCFabABl xlFb /lFa/FClFab/Mx(+) lFb/lFa/lFab/(+)45解：解：1 1求约束反力求约束反力2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程AC 0eSRAMFxFxal 0eRAMM xFxxxal CBFRA FRBCMeAB eSRBMFxFaxll ()()RBeM xlxMlxaxll F Fxxx0 AM( )eRBMFl0 BM( )eRAMFl46剪力和

11、弯矩方程剪力和弯矩方程AC 0eSRAMFxFxal 0eRAMM xxxxal F FCBFRAFRBxxlCMeabAB eSRAMFxFaxll ()()RBeM xlxMlxaxll F F 可见可见, ,在在集中力偶作用处集中力偶作用处,弯矩有弯矩有突变，突变值等于该集中力偶的突变，突变值等于该集中力偶的大小。剪力在该处无变化。大小。剪力在该处无变化。3 3、画剪力图和弯矩图、画剪力图和弯矩图 lM /Me lMa /lMb /FSxMx47 48 0( )( )d( )d( )0ySSSFFxq xxFxFx ( )dd( )Sq xxFx dxxq(x)q(x)M(x)+d M(

12、x)FS(x)+d FS(x)FS(x)M(x)dxA ddSFxq xx 6.4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系xy49q(x)dxAy, 0)( iAFMd( )( )dSM xF xx )(d)(d22xqxxM 21( )d( )-( )-( )d( )(d )02SM xM xM x F xxq xx 50d( )( )dSM xF xx )(d)(d22xqxxM ddSFxq xx d0( )dSSFxFxcx c0d( )( )cMxcxb0d0SM xF xcxc （ ） F FS S图为一水平直线图为一水平直线0 c0 cMxSFx0c 0

13、c Mx0 b0 bMx0 c增函数增函数减函数减函数常数常数 弯矩图为一斜直线或水平线弯矩图为一斜直线或水平线51 ddSFxqx d( )( )qxbdSM xF xx 0q 0q SFxMx0q Mx0q d( )( )dSM xF xx )(d)(d22xqxxM ddSFxq xx ( )SFxq xb 2M xqxbxd（ ）52讨论：讨论：（3）在）在FS（x）=0的截面的截面 弯矩的斜率为零，弯矩为极值。弯矩的斜率为零，弯矩为极值。（4）集中力作用点处，剪力图有突变，突变量等于该集中）集中力作用点处，剪力图有突变，突变量等于该集中力。弯矩图的斜率也发生变化，弯矩图上有尖角。力。

14、弯矩图的斜率也发生变化，弯矩图上有尖角。（5）集中力偶作用处，剪力图无变化。弯矩图在力偶作用）集中力偶作用处，剪力图无变化。弯矩图在力偶作用处的两侧截面有突变，突变量为该力偶值。处的两侧截面有突变，突变量为该力偶值。（6）弯矩的极值，可能在）弯矩的极值，可能在FS（x）=0的截面上，也可能在集的截面上，也可能在集中力或集中力偶作用处。中力或集中力偶作用处。 d( )( )dSM xF xx )(d)(d22xqxxM ddSFxq xx 53讨论：讨论：（7）利用上式可得：）利用上式可得：d( )( )dSM xF xx ddSFxq xx dxxqxFxFxx 21)()()(1S2Sdxx

15、FxMxMxxS 21)()()(12两截面上的剪力之差等于两截面上的剪力之差等于两截面之间荷载图的面积两截面之间荷载图的面积)(d)(d22xqxxM 542 2、剪力、弯矩与外力间的关系、剪力、弯矩与外力间的关系外力外力无外力段无外力段均布载荷段均布载荷段集中力集中力集中力偶集中力偶FS图图特特征征M图图特特征征CPCmx增函数增函数x降函数降函数xCxM增函数增函数xM降函数降函数抛物线抛物线xMxM自左向右折角自左向右折角xM mMM215556aaqaqBCA572S30;2FMqa S ; 0FqaM 2S; Fqa Mqa 2S30 ;2FMqa aaqaqBqaACxM qa2

16、FSx232qad( )( )dSM xF xx )(d)(d22xqxxM ddSFxq xx 58 ; 22RARDqaqaFF ;2SqaF S;2Fqa 22qaM S;2Fqa 0 ;FS S;2Fqa S1 ; 2Fqa qqa2qaqa/2FSxqa/2qa/2qa/2ABCDqa2/2qa2/2qa2/23qa2/8aaa22qaM S;2Fqa 22qaM 823qaM 22qaM 0 M0 Mx M（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）x59 ; F22RARDqaqaFS( )()3-xq0;2FR AxFqaxa qqa 23ax 2()()2RAqMFxqa xax

17、a qqa2qaFRAFRDABCDaaax8232)23(2)23(232qaaaqaaqaaqa FSxqa/2qa/2qa/2（）（）qa2/2qa2/2qa2/23qa2/8x M（）（）（）（）（）（）（）（）60qqa2qaFRAFRDABCDaaaFSxqa/2qa/2qa/2 ; F22RARDqaqaFaaqaACqBqa（）（）616.5 6.5 叠加法绘制弯矩图叠加法绘制弯矩图S1211S22SF ()F ()F ()F ()nSnnP PPPPP )()()()(221121nnnPMPMPMPPPM 62 例例6.86.8 绘制下列图示梁的弯矩图。绘制下列图示梁的弯矩

18、图。2PaaP=2PP+xM12Pa=xM2+2Pa(1)xM+Pa63(2)aaqqqq=+=+qa2/2xM1 qa2xM23qa2/2qa2/2xMqa2/264(3)PaaPL/2=+P=+xMPaxMPaPaxMPa/26520kNm30kNm20kNmxM(4)50kN2m2m 20kNm=+=+20kNm50kN20kNm20kNm20kNmxM1xM250kNm66ABCD18kN2kN14kN3m3m6m+( )SddFq xxkN18SFB左左kN2S FB右右CABDF=20kN( )SSd6DDCCq xxqFFkN/m26)2()14( qq 18kN14kN67)(d)(dSxFxxM( )SdBBAAMMFxxmkN543180ABCD18kN2kN1