立体几何的探索存在性问题

1、AFB1第2讲导数与最值（2）班级：姓名：小组：评价：【考纲解读】了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次），会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）；会用导数解决某些实际问题.【课堂六环节】一、导一一教师导入新课。（7分钟）探索存在性问题在立体几何综合考查中是常考的命题角度，也是考生感觉较难，失分较多的问题，归纳起来立体几何中常见的探索性问题有：（1疹索性问题与空间角结合；（2环索性问题与垂直相结合；（3疹索性

2、问题与平行相结合二、思一一自主学习。学生结合课本自主学习，完成下列相关内容。（15分钟）角度一探索性问题与空间角相结合1. （2014哈师大附中模拟）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AAJ底面ABC,ZACB=90,E是棱CC1上的动点，F是AB的中点，AC=1,BC=2,AA1=4.当E是棱CC1的中点时，求证：CF/平面AEB1（2）在CC1上是否存在点E,使得二面角A-EB1-B的余弦值是书匕？若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由C1解析：（1）证明：取AB1的中点G,连接EG,FG.F,G分别是棱AB,AB1的中点,_11_1_FG/BBi,FG=gBBi,又BiB触CiC,

3、EC=CiC,BiB/EC,EC=-BiB.FG触EC.，四边形FGEC是平行四边形，CF/EG.CF?平面AEBi,EG?平面AEBi,CF/平面AEBi.(2)以C为坐标原点，射线CA,CB,CCi为x,y,z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A(i,0,0),Bi(0,2,4).Al设E(0,0,m)(0<m<4),平面AEBi的法向量ni=(x,y,z).则AB1=(-i，2,4),AE=(-1,0,m),由ABni，AEm，x+2y+4z=0,得x+mz=0.Ci.CA是平面EBBi的一个法向量，令eCA，一一一，217二面角A-EBi

4、-B的余弦值为7,2i7i7=cosni,n2>nin22m1n111n214m2+(m_42+4,解得m=i(0WmW4).在棱CCi上存在点E,符合题意，此时CE=1.角度二探索性问题与垂直相结合2. (2014南昌*II拟)如图是多面体ABC-A1B1C1和它的三视图.(1)线段CCi上是否存在一点E,使BE,平面AiCCi?若不存在，请说明理由，若存在,请找出并证明；(2)求平面CiAiC与平面AiCA夹角的余弦值.2解：(1)由题意知AAi,AB,AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),Ai(0,0,2),B(-2,0,0),C(0,-2,0),Ci(-

5、1,-1,2),则CCi=(-1,1,2),AC=(-1,T,0),AC=(0，-2,-2).T设E(x,y,z),则CE=(x,y+2,z),设CE=.x=一入一入x入EC，则y+2=-人入丫1、iz=2入一入7则E由2+入一2一入2人入1+入1+入/BEA1C01+入1+入一"入2入-+=0,+=0,解得壮2,1+入1+入3所以线段CC1上存在一点e,CE=2ec；，使BE，平面AiCCi.(2)设平面CiAiC的法向量为m=(x,v,z),mA1cl”-x-y=0,则由得彳2|-2y-2z=0.ImAC”mn13|m|ny33，取x=1,则y=1,z=1.故m=(1,1,1),

6、而平面AQA的一个法向量为n=(1,0,0),则cosm,n>=3故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为学角度三探索性问题与平行相结合3. (2013江西*II拟)如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE，平面ABCD,AF/DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成的角为60.(1)求证：AC,平面BDE;(2)求二面角F-BE-D的余弦值；(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM/平面BEF,并证明你的结论.解：(1)证明：.口£，平面ABCD,DEXAC,丁四边形ABCD是正方形,ACXBD,又DEABD=D,.AC,平面BDE.(2)DE，

7、平面ABCD,zEBD就是BE与平面ABCD所成的角，即/EBD=60：ED=#.由AD=3,得DE=3、£，AF=V6.BD如图，分别以DA,DC,DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3,0,0),F(3,0,俩，E(0,0,3V6),B(3,3,0),C(0,3,0),BF=(0,3,&),EF=(3,0,2阿令z=46,则n=(4,2,46)5.AC，平面BDE,CA=（3,3,0）为平面BDE的一个法向量,ncosn,CA=InllCAl26x321313.故二面角F-BE-D的余弦值为里13依题意，设M(t,t,0)(t>0),则=(t-3,t,0),AM/平面BEF,.AM力=0,即4(t-3)+2t=0,解得t=2.点M的坐标为（2,2,0）,此时DM=2DB,3.点M是线段BD上靠近B点的三等分点.三、议一一学生起立讨