线性代数行列式-习题课

1、 1212111212122212n121nnntnpppp ppnnnnaaaaaaDa aaaaa ., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所有排的所有排表示对表示对个排列的逆序数个排列的逆序数为这为这的一个排列的一个排列为自然数为自然数其中其中ntnppppppnn .,)1(21212121的逆序数的逆序数为行标排列为行标排列其中其中亦可定义为亦可定义为阶行列式阶行列式ppptaaaDDnnnpppppptnn (1);(2);(3);(4):;(5);(6)TijiijijijijijDDrrrkrrkabcrkr）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质11

2、,;0,.,;0,.1,;0,.nkjkiijknjkikijkijD ijDijD ijDijijija Aa A 或或其其中中1 ) 余子式与代数余子式余子式与代数余子式., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式，换成常数项换成常数项列列中第中第）是把系数行列式）是把系数行列式（其中其中那么它有唯一解那么它有唯一解的系数行列式的系数行列式如果线性方程组如果线性方程组bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn 由此可得由此可得（对方程个数与未知数个数相同的对方程

3、个数与未知数个数相同的方程组来说）方程组来说）（1）若非齐次线性方程组无解或多解，则）若非齐次线性方程组无解或多解，则其系数行列式必为零。其系数行列式必为零。（2）若齐次线性方程组有非零解，则其）若齐次线性方程组有非零解，则其系系数行列式必为零。数行列式必为零。1、当、当i= ，j= 时，时，19的排列的排列1i25j4897为为奇排列；奇排列；2、四阶行列式中，含有、四阶行列式中，含有a11a23的项为的项为 ；3、如果行列式、如果行列式D中的零元素的个数大于中的零元素的个数大于n2-n个，则个，则D= ；4、若行列式每行元素之和为零，则、若行列式每行元素之和为零，则D= ；5.已知四阶行列

4、式已知四阶行列式D的第二列元素为的第二列元素为-1,2,0,1，它们对应的余子式分别为它们对应的余子式分别为5,3,-7,4,则则D= 。 1112131111121321222321212223313233313132334236.1,423423aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 若若则则1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaaaaaaa 7、n为奇数时为奇数时= ；= ；8、已知四阶行列式、已知四阶行列式1224222214351427D Mij是元素是元素aij的余子式，则的余子式，则M41-M42+M43+M44= .9. 已知已知 121112

5、3111211xxxxxf 则则x3 的系数为的系数为 。 方法一：三角形法方法一：三角形法12111111(0)111ninaaDaa 例例1112111100naaaaa 11211221110000niiinacciianaaaaa 解：原式解：原式=111(1)nniiaaa 另解：原式另解：原式=1112221111111111111nnnnaaaaaaaaaaa 方法二：拆项法方法二：拆项法。看例。看例1解：原式解：原式=112211011111011111111naaaaa 1211nnna aaa D12112212()nnnnna aaa a aaaD方法三：升级法方法三：升

6、级法。看例。看例1解：原式解：原式=11110 11011naa11111010naa 11211111110000niiincciianaaaa 222244441111abcdDabcdabcd 例例2 计算计算22222333334444411111( )abcdxabcdxf xabcdxabcdx 解：构造解：构造（这是一个范德蒙行列式）（这是一个范德蒙行列式）=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)另外另外f(x)按最后一列展开，可得按最后一列展开，可得2341525354555( )f xAA xA xA xA x 上

7、两式是恒等式，故同次幂系数相等。上两式是恒等式，故同次幂系数相等。而而D=-A45，故，故D=(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)方法四：降级法方法四：降级法。（行列式中某一行（列）只有一、（行列式中某一行（列）只有一、二个非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）二个非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）1221111100001000001nnnnnnnnxxDxaaaaxaxa xaxa 例例3 证明证明证法一：按最后一行展开证法一：按最后一行展开1211211 0000001000100( 1)( 1)0010011001000

8、00000( 1)( 1) ()0001000nnnnnn nn nxxDaaxxxxxxax ax =右边右边证法二：按第一列展开，得证法二：按第一列展开，得Dn=xDn-1+an再根据上面的递推公式或数学归纳再根据上面的递推公式或数学归纳法可得结果。法可得结果。1121112210100001000001nncxcxcnnnnnnDxxxa xaaaax a 证证法法三三：按第一列展开即可得结果。按第一列展开即可得结果。证法四：从第一列开始，前一列乘证法四：从第一列开始，前一列乘1/x加加到后一列上去，化成下三角行列式到后一列上去，化成下三角行列式方法五递推法方法五递推法如例如例1的第二种

9、解法；例的第二种解法；例3的第二种解法的第二种解法方法六用数学归纳法方法六用数学归纳法例例4证明证明cos100012cos100012cos000002cos100012coscos.nnD 证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221结论成立结论成立时时当当所以所以因为因为 nnDD 得得展展开开按按最最后后一一行行现现将将的的行行列列式式也也成成立立于于阶阶数数等等于于下下证证对对的的行行列列式式结结论论成成立立假假设设对对阶阶数数小小于于,.,Dnnn1cos100012cos100012cos00( 1)0002cos0

10、00011cos100012cos100012cos002cos0002cos100012cosn nnD ,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由归纳假设由归纳假设;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .结论成立结论成立所以对一切自然数所以对一切自然数n.cos221DDDnnn 练习练习1、计算、计算.333222111222nnnDnnnn 解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2

11、)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin2、计算计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得将第将第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的将将第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，将将第第倍倍加

12、加到到第第列列的的将将第第)(1,3)(12)(11aaan . )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(222222221111113.111111aaaabbbbDccccdddd 1 abcd已知已知解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 212322 21 22 234.33 32 45 35443

13、57 43xxxxxxxxDxxxxxxxx 1121100011005.000100011nnnaaaDaaa 证证.0, 0, 01,),(0000从而有系数行列式从而有系数行列式的非零解的非零解可视为齐次线性方程组可视为齐次线性方程组则则点点设所给三条直线交于一设所给三条直线交于一必要性必要性 bzaycxazcybxczbyaxzyyxxyxM 0,0,00.ax by cbx cy acx ay ba b c 证证明明平平面面上上三三条条不不同同的的直直线线相相交交于于一一点点的的充充分分必必要要条条件件是是例例4 4 . 0)()()( )(21(222 accbbacbabaca

14、cbcba（） baycxacybxcbyax,. 0, cbacba故故同同也不全相也不全相所以所以因为三条直线互不相同因为三条直线互不相同将方程组将方程组如果如果充分性充分性, 0 cba. 00,唯唯一一解解下下证证此此方方程程组组（）有有（）到到第第三三个个方方程程，得得的的第第一一、二二两两个个方方程程加加 acybxcbyax. 00)(2)()(002222222 accaaccacacaaccabbacbaccbba，从而有，从而有，于是，于是得得。由。由，则，则如果如果.)1(.)2(. 0.00. 0, 02直直线线交交于于一一点点有有唯唯一一解解，即即三三条条不不同同方方

15、程程组组从从而而知知有有唯唯一一解解组组由由克克莱莱姆姆法法则则知知，方方程程故故，与与题题设设矛矛盾盾得得再再由由得得由由不不妨妨设设 cbbaccbabacba例例6有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，钾克，钾2克；乙种化肥每千克含克；乙种化肥每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，钾克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮克；丙种化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，钾克，钾1.4克若把此三种化肥混合，要克若把此三种化肥混合，要求总重量求总重量23千克且含磷千克且含磷149克，钾克，钾30克，问三种化克，问三种化肥各需多少千克？肥各需

16、多少千克？解解题意得方程组题意得方程组依依千克千克、各需各需设甲、乙、丙三种化肥设甲、乙、丙三种化肥,1xxx .304 . 16 . 02,1495108,23321321321xxxxxxxxx,527 D此此方方程程组组的的系系数数行行列列式式8127581 321 DDD，又又.15, 5, 332 xxx组组有有唯唯一一解解由由克克莱莱姆姆法法则则，此此方方程程.15,5 ,3 千千克克千千克克千千克克各各需需即即甲甲、乙乙、丙丙三三种种化化肥肥第一章第一章 测试题测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共3636分分) ) ijijnaDaaD则则若若, . 1

17、 1322133213321,0, . 2xxxxxxxxxqpxxxxx列式列式则行则行的三个根的三个根是方程是方程设设行列式行列式 . 3 1000000001998000199700020001000D 4433221100000000 . 4ababbaba四阶行列式四阶行列式 443424144, . 5AAAAcdbaacbdadbcdcbaD则则设四阶行列式设四阶行列式的的符符号号为为在在五五阶阶行行列列式式中中3524415312 . 6aaaaa 的系数是的系数是中中在函数在函数321112 . 7xxxxxxxf 8. ,a bab若为实数则当且时010100 abba1 2112 19. .nnn niii ii ii i排列可经次对换后变为排列二、计算下列行列式二、计算下列行列式( (每小题每小题1010分，共分，共2020分分) )0112210321011322211313211 . 15 DxzzzyxzzyyxzyyyxDn . 2齐次方程组齐次方程组取何值取何值问问, 0200321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？三、解答题三、解答题(10(10分分)四、证明四、证明( (每小题每小题1212分，共分，共2424分分) ) ; 0321321321321 . 12222222222222222 ddddccccbbbba