线性代数——行列式与克拉默法则

1、行列式与克拉默法则行列式与克拉默法则教学要求：教学要求：1. 了解行列式的定义和性质了解行列式的定义和性质;2. 掌握三阶、四阶行列式的计算法，掌握三阶、四阶行列式的计算法， 会计算简单的会计算简单的n阶行列式阶行列式;3. 了解排列与对换了解排列与对换;4. 会用克拉默会用克拉默(Gramer)法则解线性方程组法则解线性方程组.行列式的定义行列式的定义一一 . .行列式的性质行列式的性质二二 .行列式的计算举例行列式的计算举例三三 .方阵乘积的行列式方阵乘积的行列式四四 .排列与对换排列与对换六六 )Gramer( .法则法则克莱姆克莱姆七七 .分块矩阵的行列式分块矩阵的行列式五五 .行列式

2、的定义行列式的定义一一定义定义1. 二阶行列式定义为二阶行列式定义为.2112221122211211aaaaaaaaD 11a12a22a21a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算定义定义2. 三阶行列式定义为三阶行列式定义为,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三阶行列式的计算三阶行列式的计算333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa

3、312312aaa 312213aaa 332112aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .333231232221131211aaaaaaaaa考察三阶行列式如下：考察三阶行列式如下：322311332112312213

4、213213312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa )( )()(312221321331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaaa 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 323122213113333123212112333223221111)1( )1()1(aaaaaaaaaaaaaaa 133113122112111111)1()1()1(MaMaMa 记为记为131312121111AaAaAa 记为记为分别是分别是和和称称131211131211,AAAMMM.,131211的余子

5、式和代数余子式的余子式和代数余子式aaa定义定义3. 代数余子式代数余子式 ,212222111211列列行行与与第第所所在在的的第第中中划划去去元元素素在在jiaaaaaaaaaaijnnnnnn剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式,111111111111111111111111ijnnnjnjnnijijiinijijiinjjMaaaaaaaaaaaaaaaa记为记为 .)1( ;,的代数余子式的代数余子式称为称为而而记为记为的余子式的余子式称为元素称为元素ijijjiijijijaMAMa 定义定义4. 2122221112112nnnnn

6、naaaaaaaaaDnn 阶阶行行列列式式个个数数组组成成的的由由是一个算式，且是一个算式，且,1 ,1 ,111212111111111 nAaAaAaAanaDnnnjjj.), 2 , 1(11的代数余子式的代数余子式是是其中其中njaAjj 注意：注意：(1)行列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行行列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行 列式中位于不同行不同列的元素构成的列式中位于不同行不同列的元素构成的.).(! )2(1112111CCCCnnnn 项项阶行列式中共有阶行列式中共有(3) 定义定义4中行列式按第一行展开，同样也可按第一列中行列式按第一行展开，同样也可按第

7、一列 展开，甚至按行列式中任意行或列展开展开，甚至按行列式中任意行或列展开. 由此可计算一些行列式由此可计算一些行列式.Example1. .000 221122211211nnnnnnnaaaaaaaaaD 证证明明 . )4(淆淆不不要要与与绝绝对对值值记记号号相相混混一一阶阶行行列列式式aa Proof.（数学归纳法）（数学归纳法）;1时结论成立时结论成立当当 n则则阶行列式成立阶行列式成立假设结论对假设结论对,1 nnnnnaaaaD022211 )(2211nnaaa nnaaa2211 nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000 同理下三角行列式同理下三角行列式n

8、ndddddd2121000000, 对角行列式对角行列式特别地特别地00000021n 而而不是对角行列式，不是对角行列式，nnnn 212)1(21)1(000000 且且 .行列式的性质行列式的性质二二 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的

9、地位, ,因此行列因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. .例如例如推论推论 如果行列式有两行如果行列式有两行( (列列) )完全相同完全相同, ,则行列式为零则行列式为零. .,571571 266853.825825 361567567361266853证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaa

10、aaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 注意与矩阵数乘运算的区别注意与矩阵数乘运算的区别,.nnnAkkA 性质性质5 5若行列式若行列式D的某一列（行）的元素都是的某一列（行）的元素都是两数之和两数之和: :

11、nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111nnnjnjninnjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaa

12、akrr)()()(1222221111111 k例如例如性质性质7. 行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则 ;,0,1jijiAAankkjki当当当当 ;,0,1jijiAAankjkik当当当当下面证明下面证明:., 022111jiAaAaAaAajninjijinkjkik 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaAij)det( nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa11111111 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa11111111 行行第第 j行行第第i相同相同,时时

13、当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji .,52153412081317114434241444的值的值求求的代数余子式的代数余子式元素元素中中为行列式为行列式已知四阶行列式已知四阶行列式AAAAaDADijij 性质性质8. Laplace定理定理.)1(,;,;,),11(, )1(212121212的代数余子式的代数余子式叫做叫做则则所在列的序号为所在列的序号为所在行的序号为所在行的序号为子式子式阶阶若若的余子式的余子式称为称为阶行列式阶行列式位置组成一个位置组成一个剩下的元素按原来的剩下的元素按原来的阶

14、子式阶子式的的称为称为阶行列式阶行列式序组成一个序组成一个个元素按原来的位置顺个元素按原来的位置顺列交叉处的列交叉处的行行位于这位于这列列行行任取任取中中阶行列式阶行列式在在MMjjjiiiMkMMknkAMkkkknkkkAnkkjjjiiikk .)(),11)(,AkknkkAn积之和等于行列式积之和等于行列式数余子式的乘数余子式的乘阶子式与它们对应的代阶子式与它们对应的代中所有中所有列列行行则含在这则含在这列列行行任取任取中中阶行列式阶行列式在在 (2) Laplace定理定理2100032100032100032100032 A如如2103210322132 210320031310

15、2 10 .行列式的计算举例行列式的计算举例三三为方便起见，引用以下符号：为方便起见，引用以下符号：.,jiijiirkrjkikrkirrjiri 行记为行记为倍加到倍加到行的行的倍记为倍记为行的行的行记为行记为交换交换行记为行记为.,jiijiickcjkikckiccjici 列记为列记为倍加到倍加到列的列的倍记为倍记为列的列的列记为列记为交换交换列记为列记为其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为三角行列式来计算行列式的值三角行列式来计算行列式的值. .199421022130113. 2 计算计算exSolution.12004221002

16、1130013199421022130113 142221113200421002130013 1422211130 252414446 ex3.已知已知204,527,255三数都能被三数都能被17整除，整除， 不计算行列式的值，证不计算行列式的值，证明明三阶行列式三阶行列式552725402也能被也能被17整除整除. Solution.255525272520402552725402 整除整除能被能被由已知条件可得由已知条件可得17255525272520402.结论成立结论成立3351110243152113. 4 Dex 计算计算Solution.21ccD33151120435121

17、31 14125rrrr 72160112064802131 32rr 72160648011202131 242384rrrr 1510001080011202131 250001080011202131 40 0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(. 52222222222222222 ddddccccbbbbaaaaDex证明证明Solution.5232125232125232125232122222 ddddccccbbbbaaaaD42124212421242122222 ddccbbaa0 3111131111311113. 6 Dex 计算计

18、算Solution.4321rrrrD 311113111131666631111311113111116 其二、当行列式各行其二、当行列式各行( (列列) )元素之和相同时，应先把各元素之和相同时，应先把各列列( (行行) )加到第加到第1 1列列( (行行) )，提取公因式后再考虑，提取公因式后再考虑. .141312rrrrrr 2000020000201111648 0. 7212121 xaaaaxaaaaxaxexnnn的方程的方程求解关于求解关于Solution.xaaxaaaaxaxaaaaaxaaannnnnn 221221221左边左边xaaaxaaaxaaannnn 22

19、221111)(xxaaxaaannrrnii 00001)(22111)()1(2111xaaaxnnn 故原方程的解为故原方程的解为nnnaaaxxxx 21121, 0思考思考0111110111110111110111110 D计算行列式计算行列式)1()1(1 nn其三、根据行列式的特点，利用行列式的性质，将行其三、根据行列式的特点，利用行列式的性质，将行列式的某一行列式的某一行( (列列) )化出尽量多的化出尽量多的0 0元素，然后由定义元素，然后由定义按该行按该行( (列列) )展开展开. .221111111111111111. 8babbaaex 证明证明Solution.1

20、234rrrr 左边左边bbbaaa 0011110011111100111100111111baab 421423rrrrrr 11000000011000baab11000001baab 右边右边 22ba1111111111111111321. 9nnnnnDex 计算计算Solution.各各列列加加到到第第一一列列 D1111011110111101322)1(nnnnnnn 1111111111112)1(nnnnn 按第一列展开按第一列展开1111111111112)1(nnnn 各行加到第一行各行加到第一行10010010010002)1(nnnnn 各列减最后一列各列减最后一

21、列212)2)(1()1()1(2)1( nnnnnnn12)1(21)1( nnnnn其四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利用数其四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利用数学归纳法计算或证明行列式的值学归纳法计算或证明行列式的值. .112112222121111.10 nnnnnnnxxxxxxxxxDex证明证明)( )()()(122311312 nnnnxxxxxxxxxxxx njiijxx1)(Solution. （数学归纳法）（数学归纳法）)(11,212212xxxxDn 时时当当则则阶行列式成立阶行列式成立假设结论对假设结论对, 1 n1211221212122211

22、2100011111xxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnnrxrninii )()()()()()( 1213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn 按第一列展开按第一列展开223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx njiijxx1)(由假设得由假设得这个行列式称为这个行列式称为Vandermonde（范德蒙）行列式，（范德蒙）行列式，可见可见Vandermonde（范德蒙）行列式为零的充要条件是（范德蒙）行列式为零的充要条件是.,21中至少有两个相等中至少有两个相等nxxx注意注意

23、444422221111dcbadcbadcbaD 不是不是Vandermonde行列式行列式)()()()()()(dcbadcdbcbdacabaD 实际上实际上0,111111111.112121 nnnaaaaaaDex其中其中计算计算解法解法1nnaaaaaD001111111111111112121 拆项拆项其五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成低阶其五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成低阶同型行列式的线性关系，再由递推法得出结果同型行列式的线性关系，再由递推法得出结果. .1211110000 nnDaaa1121 nnnDaaaa)(21221121 nnnnnDaaa

24、aaaaa 121221121Daaaaaaaaaannnnn )1(121221121aaaaaaaaaaannnnn )11(121 niinaaaa解法解法2:行行各各行行都都减减去去第第nnnnnnaaaaaaaD 11111000000000321:1)1(行行倍都加到第倍都加到第行的行的把第把第naniii 11321110000000000000niinnnnnaaaaaaaaa)11(121 niinaaaa其六其六. .当行列式为三线非当行列式为三线非0 0行列式时，将其转化为三角行列式时，将其转化为三角行列式来计算行列式来计算. . 其七、加边法，即在行列式值不变的情况下，

25、加上一其七、加边法，即在行列式值不变的情况下，加上一行一列行一列. . 用于主对角线上元素不同，其余元素相同用于主对角线上元素不同，其余元素相同( (或或各行其余元素成比例各行其余元素成比例) )的行列式的行列式. .0,111111111.122121 nnnaaaaaaDex其中其中计算计算Solution.nnaaaD 111011101110111121nniicacniaaaaii000000000111112111211 )11(121 niinaaaanaaa001001001111121 .方阵乘积的行列式方阵乘积的行列式四四BABAAB . 1mmAAAAAA2121 . 2

26、 否则称为奇异方阵否则称为奇异方阵是非奇异方阵是非奇异方阵阶方阵阶方阵称称若若 ;, 0 . 3AnA 阵阵中至少有一个是奇异方中至少有一个是奇异方是奇异方阵是奇异方阵BAAB, . 4AkkA :注意注意., 0 ,.13BABAEBBBBEAAAAnBAex 求求及及满足满足阶方阵阶方阵为为设设Solution.ABBA , 0EBAEBA 而而BAABBA BABA)( BBAA)( BBAA)( BBAA)( BBAA BAA 20)1(2 BAA故故0 BA五五. 分块矩阵的行列式分块矩阵的行列式;,BADBADBCOAD 则则为方阵为方阵且且设设;,)1(,阶方阵阶方阵为为其中其中

27、则则为方阵为方阵且且设设nmBABADBADCBAODmn rrrAAAAAAAAAOAOAA212121, 则则为方阵为方阵且且设设 .排列与对换排列与对换六六定义定义1., 2 , 1级排列级排列为一个为一个组成的一个有序数组称组成的一个有序数组称由由nn如如2431是一个是一个4级排列级排列. .,12)2( ;!)1(:这个排列具有自然顺序这个排列具有自然顺序也是一个排列也是一个排列个个级排列总共有级排列总共有所有不同的所有不同的注意注意nnn定义定义2.在一个排列中在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数即前面的数大于

28、后面的数,那么它们就称为一个逆序那么它们就称为一个逆序,一一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.定义定义3. 逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为奇数的排列称为奇排列.定义定义4.在一个排列中某两个数的位置调换，而其余的数不在一个排列中某两个数的位置调换，而其余的数不动，从而构成一个新的排列，这种调换叫做对换

29、动，从而构成一个新的排列，这种调换叫做对换. 将相邻两个数字对换，叫做相邻对换将相邻两个数字对换，叫做相邻对换. 结论结论1. 对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性.结论结论2. 关于关于n阶行列式的另一定义阶行列式的另一定义 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中tnpppn2121ex14.已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 xSolution. 含含 的项有两项的项有两项,即在即在3x 1211

30、123111211xxxxxf 中对应于中对应于 4334221112431aaaat 44332211)1234(1aaaat ,1344332211)1234(xaaaat 343342211124321xaaaat . 13 的系数为的系数为故故 x )(Gramer( .法则法则克莱姆克莱姆克拉默克拉默七七1. 线性方程组线性方程组当方程个数与未知数个数相同时当方程个数与未知数个数相同时,线性方程组的形式为线性方程组的形式为: nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,21不全为零不全为零若常数项若常数项nbbb则称此方程组

31、为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;,21全为零全为零若常数项若常数项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.2. Gramer法则法则如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD.,332211DDxDDxDDxDDxnn nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111, 111, 111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 j 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即阶行列式，即jDD证明证明 njn