精华：特殊平行四边形知识归纳和题型精讲

1、八年级平行四边形相关知识归纳和常见题型精讲性质和判定总表矩形菱形正方形的矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。·是矩形，且有一组邻边相等；·是菱形，且有一个角是直角。对称性既是

2、轴对称图形，又是中心对称图形一. 矩形矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)矩形性质1: 矩形的四个角都是直角矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形的判定方法矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形矩形

3、判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形例1已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm求AD的长及点A到BD的距离AE的长 例2 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DFAE于F，若AE=BC 求证：CEEF 例3如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长例4、如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F(1)求证：AB=CF；(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形

4、ABFC是矩形，并说明理由 思维训练 例1. 试说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 分析：两个相同的直角三角形可以拼成一个矩形，故可以利用矩形的特征来加以说明。 解：ABC为直角三角形，且为直角，点O为斜边上的中点。以O为对称中心，作ABC的中心对称图形CDA，则所得四边形ABCD，则ABCD是平行四边形，而且，所以ABCD是矩形，而且B、O、D在一条直线上。因为矩形的对角线互相平分。所以 BD=2BO。 又因为矩形的对角线相等，所以 AC=BD， 所以AC=2BO。 即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例2. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AB=4cm，求矩形

5、对角线的长。 分析：矩形的对角线相等且互相平分，因此矩形的对角线将矩形分成了四个等腰三角形，再由特殊角我们就可以得到更特殊的三角形等边三角形。 解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以ABO是等腰三角形。又因为 所以 所以ABO是等边三角形 因为AB=4cm 所以AC=BD=2AB=8cm 例3. 如图所示，平行四边形ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，试说明四边形EFGH是矩形。 答案：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 而AF、BH分别是 所以， 即 由三角形的内角和定理知。 同理可得， 所以四边形EFGH是矩形。 剖析：题中已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边

6、形的特征：两组对边分别平行，进而由平行便可得出相邻的两个角互补，再由角平分线的定义得到AEB、BHC、CGD、DFA都是直角三角形，因此四边形EFGH的四个角都是直角，便可判定它是矩形了。 例4. 如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过顶点C，作BD的垂线与的平分线相交于点E，交BD于G，求证：AC=CE。 分析：本题要证AC=CE，只须证如果过A作AF垂直BD于F，则有AF/CE，因而只须证即可，这可由AE是角平分线和而得到。 证明：过A作AF垂直BD于F，因为 在直角ABD中， 二菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻

7、边相等菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形例1  已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F求证：四边形AFCE是菱形 例3、如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是

8、菱形.例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE。求证：AM=BE。 例5 （10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OEAB，垂足为E(1)求线段的长例6、（2008四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DEAB交BA的延长线于E，DFBC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想例7、（2008山东烟台）如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF； （2）判断BEF的形

9、状，并说明理由；（3）设BEF的面积为S，求S的取值范围. 例5. 已知菱形的周长为20cm，两个相邻角的度数比为1：2，求较短的对角线长。 分析：菱形是四条边都相等的四边形，因此菱形的每条对角线都将它分成两个等腰形三角形，再由特殊角可得到等边三角形。 解：如图所示，因为菱形的四条边都相等且周长为20cm，所以菱形的边长 AD=CD=5cm 所以ADC为等腰三角形 又因为， 且， 所以， 因此ADC为等边三角形。 所以较短的对角线AC长度为5cm。 例6. 如图所示，从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线，试说明，连接各垂足的四边形是矩形。 答案：在菱形ABCD中，AD/BC， 因为，所以 因

10、为，所以N、O、M三点在同一条直线上（过一点，有且只有一条直线垂直于已知直线）。 同理，E、O、F三点也在同一条直线上 又因为四边形ABCD是菱形，所以。 而 同理：OE=OM，OE=ON 所以ON=OM，OE=OF， 所以四边形EMFN为平行四边形。 所以OE+OF=ON+OM，即EF=MN。 所以四边形EMFN为矩形。 剖析：本例中，已知菱形的两条对角线的交点，实质上隐含的是菱形的四条角平分线的交点，再可根据角平分线的性质可得OM=OE=ON=OF，从而可得出四边形EMFN是矩形。 例7. 如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且，求证：。 分析：观察ABC与ACD，联

11、想菱形性质和这个已知条件，寻找它们的关系（ABC与ACD均为等边三角形），从而得出AE=AF的结论，得等边AEF，从而可确定AE与AF、BAE与CAF的大小关系。观察、，联想三角形外角的性质，就能得出的关系。 解：连结AC。 将ACF绕A点顺时针旋转60°必与ABE重合 例11. 如图所示，在矩形ABCD中，已知AD=8，AB=6，BD=10，P是AD边上任一点，那么的值为（ ）？为什么？ 思路点拨：分别求出PE、PF困难，AOD为等腰三角形，若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质，则问题迎刃而解。 解：连结OP，做 例12. 如图所示，在ABC中，分别

12、是的平分线，BE和AD交于G，求证：GF/AC。（湖北省荆州市中考题） 思路点拨：从角的角度证明困难，连结EF，在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGFE为平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形。 图解（1）： 在ABF中， ，且交于点G 解（2）：连结EF 同证法（1）可得：AG=AE 四边形AGFE为平行四边形 GF/AC。 引伸：证明四边形AGFE为菱形 可证出四边形AGFE为菱形 三正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又

13、是特殊的菱形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质正方形具有矩形的性质，同时又具有菱

14、形的性质正方形的判定方法： (1)有一个角是直角的菱形是正方形； (2)有一组邻边相等的矩形是正方形 注意：1、正方形概念的三个要点： （1）是平行四边形； （2）有一个角是直角； （3）有一组邻边相等 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形. 例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F求证：OE=OF 例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点求证：四边形PQMN是正方形例3、（2008海南

15、）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设AP=x, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. ABCPDE例4（2006年河南省）如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DEAB，试判断ADE的形状，并给出证明例5：（2008深圳）如图，在梯形ABCD中，ABDC， DB平分ADC，过点A作AEBD，交CD的延长线于点E，且C2E（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形（2）若BD

16、C30°，AD5，求CD的长 例8. 如图所示，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求的度数。 答案： 剖析：本题是运用正方形的性质解题，正方形的性质很多，要根据题目的已知条件和要达到的结论，选择最恰当的方法，使解题思路简捷。在本例中，因为是的外角，；因此只需求出的度数即可。由已知，所以，而CA是正方形ABCD的对角线，所以故。 所以 所以 例9. 如图所示，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得到四边形，试问怎么剪才能使剩下的图形仍为正方形？说明理由。 由果索因是解答本题的重要途径。 假设把如图所示的边长为1的正方形ABCD的

17、四个角（阴影部分）剪掉，得到的四边形是正方形，那么，它和原正方形一样是中心对称图形，并且两个正方形有相同的对称中心，由此你能得出图中线段间的关系吗？想一想，应怎样剪？ 解：剪法：当时，四边形仍为正方形 理由：在正方形ABCD中 将绕正方形对角线的交点O每次旋转90°，连续旋转三次，必分别与重合 由（1）、（2）可知四边形为正方形。 例10. 如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，BN平分并交MN于N。求证：MD=MN。 要证MD=MN，一般证它们所在的两个三角形能够重合，但MBN与ADM不可能重合，因此必须造一个三角形能与MBN重合，取AD的中点P，连结PM，证能重合即可。

18、证明：如图所示，以M为中心，将MBN顺时针方向旋转90°，得，此时， 到AB2N2位置，再将AB2N2向上平移， 使A到D的位置，B2到P点。此时N2的对应点在直线DM上， 且 点N2的对应点在MN上 点N2的对应点在直线MN与DM的交点上 点N2的对应点是点M 引伸：若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”。其余条件不变（如图乙所示）。则结论“MD=MN”还成立吗？如果成立。请证明；如果不成立，请说明理由。（上海市闵行区中考题）例题讲解例一.分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计

19、算，这是几何计算题中常用的方法解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在RtABD中，由勾股定理：，解得x=6 则 AD=6cm（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB AD×AB，解得 AE 4.8cm例二分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AFBE，则问题解决，而证明AFBE，只要证明ABEDFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形 证明： 四边形ABCD是矩形， B=90°，且ADBC 1=2 DFAE， AFD=90° B=AFD又 AD=A

20、E， ABEDFA（AAS） AF=BE EF=EC此题还可以连接DE，证明DEFDEC，得到EFEC菱形 例1 证明：四边形ABCD是菱形， CB=CD， CA平分BCD BCE=DCE又 CE=CE， BCECOB（SAS） CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD， AFD=FDCAFD=CBE例2 证明： 四边形ABCD是平行四边形， AEFC 1=2又 AOE=COF，AO=CO， AOECOF EO=FO 四边形AFCE是平行四边形又 EFAC， AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)例6、解：DEDF 证明如下：连结BD四边形ABCD是菱形CBDABD(菱形的对角线

21、平分一组对角)DFBC，DEABDFDE(角平分线上的点到角两边的距离相等)例7 、正方形 例1 分析：要证明OE=OF，只需证明AEODFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得 证明： 四边形ABCD是正方形， AOE=DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90° EAO=FDO AEO DFO OE=OF例2 分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证A

22、BMDAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP即可证出MN=NP从而得出结论证明： PNl1，QMl1， PNQM，PNM=90° PQNM， 四边形PQMN是矩形 四边形ABCD是正方形 BAD=ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 1+2=90°又 3+2=90°， 1=3 ABMDAN AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP即 MN=PN 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）例3 （1）证法一： 四边形ABCD是正方形，AC为对角线， BC=DC, BCP=DCP=45°. PC=PC， PBCPDC （SAS）. PB= PD， PBC=PDC. 又 PB= PE ， PE=PD. ABCDPE12H （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， PB=PE， PBE=PEB， PEB=PDC， PEB+PEC=PDC+PEC=180°， DPE=360°-(BCD+PDC+PEC)=90°， PEPD. ）（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图. PEC=P