最小二乘复频域法(PolyMax)

1、最小二乘复频域法（PolyMax）SX1201069虞刚PolyMax模态识别方法,属于多自由度时域识别法,也称作多参考点最小二乘复频域法（Polyreferenceleastsquarescomplexfrequencydomainmethod）,是最小二乘复频域法（LSCF）的多输入形式，是一种对极点和模态参预因子进行整体估计的多自由度法，一般首先通过实验建立稳态图，以判定真实的模态频率、阻尼和参预因子；建立可以线性化的直交矩阵分式模型，然后基于正则方程缩减最小二乘问题，得到压缩正则方程，于是模态参数可以通过求解最小二乘问题得到。该方法集合了多参考点法和LSCFf法的优点，可以得出非常清晰

2、的稳态图，并且密集空间可以被分离出来，尤其在模态较密集的系统（动力总成系统），或者FR嗷据受到严重噪声污染的情况下仍可以建立清晰的稳态图，识别出高度密集的模态，对每一个模态的频率、阻尼和振型都有很好的识别精度，是国际最新发展并流行的基于传递函数的模态分析方法。其基本思想如下：（1）建立频率响应函数模型多参考点最小二乘复频域识别技术（PRLSC或PolyMAX要以频响函数矩阵作为识别的初始数据，其数学模型采用右矩阵分式模型来描述。在频域中，系统输出。（o=1,2，No,其中N0为输出点数）和全部输入的关系可用右矩阵分式模型（RMFD来描述，右矩阵分式模型的表达式为1H°g）=U0g）D

3、（o）（1）式中：H03/Cl网一理论频响函数的第o行，Ni是输入点数，即激励数；Uo（o）-ClxNi一分子多项式行向量；Do侬产CNi刈一分母多项式矩阵。且U。侬剂Do侬）可以表示成如下形式：nUo：一Z-Borr=0(o=1ZNo)(2)nDo='、乙'Arr=0式中：N一多项式阶次其中分母系数矩阵ArWRNixNi和分子系数行向量BoreRl对是待估计的参数。所有这些系数合并为一个矩阵。其中0。0、Po=，Bo1除R”I:IBonTTa)(4)A'Bo=CRNi”沪I:IAn式(2)和式(3)中出现的多项式基函数Zr(0),一般地，有以下两种选择:Zr一i.对于

4、连续时域模型，可取为(6)''1'''N式中：一上一缩放因子，用来提高方程的数值状况。2ii.对于离散时域模型，可取为Zr(o)=eW")式中：Ts一采样周期。通常采用离散时域模型。(2)参数的线性化通过试验测量出的频率响应函数矩阵励f把CNo小，用。励f、C1列表示实测频响矩阵的第o行，(o=1,2,，No,f=1,2,，Nf),那么关于参数矩阵日的非线性最小二乘(NLS目标函数可表示为NoNf鼠®)=£ZtrVSfof,Q)Hf&»(8)odf=1式中：一矩阵的复共扼转置；tr()矩阵的迹，即矩阵的主对

5、角元素之和。通过对式（8）求极小值，便可以得到频率响应函数矩阵的右分式矩阵模型各系数的估计值，即e矩阵的估计值。式（8）中的加权非线性最小二乘误差函数被定义：6LS3,8片双防朝0缸,日卜彳*f）=双6）Uo（a）f.Po）,D/3fp卜，加f）(9)上式中Wo侬f）是一个加权函数。一般地，为了提高估计的质量，我们采用Wof)Ho|var1Ho,：；i)；(10)式中：var一方差，可用相关函数求取。也可使用公式W.f=varlH。J(11)来做加权函数的。这两种加权函数都考虑了测量频响函数数据的好坏：测得频响的方差越小，对目标函数的贡献越大。非线性误差函数可以经过一个近似的处理为一个线性的问

6、题。实际上，通过对%NLS（初心）右乘Dgf），则可以得到一个关于参数为线性的方程，此加权线性最小二乘（LS）方程误差以（%,6）为产“尸-；尸0一=Wo(SfXUo3f,Bo)D,阿p)Ho3f)Df”)(12)N=Wo-fVZr.fBor-Zr'fH'。Arz0这样式（12）关于参数为线性，将所有频率点装配成一列，f=1,2,111,Nf,它可用矩阵形式来表示8LSfa日LS"PA:>=【Xo训。>=Jo*»（13）LSII卜I；S-Nf尸其中:Wo,'1-'1,Zi，1JH,Zn-.1Xo(14)Wo侬Nf)Zo(«

7、;Nf)4侬n，III,Zn侬Nf'Nf)Zo侬L),乙(即,M",Zn(NfJ-W,(©1)Zo(01),Z1(01),|,Zn(01Ho(«1),丫。wCNfXNi-)(15)式中，®Kronecker积。（3）缩减标准方程加权线性最小二乘估计表达式为No通）Jtr产o1NofHLS1oU式中:同时,式中,=£tr羽o以TRo：sTtomL(16)Ro=ReXoHXorn1N1目标函数（16）等价于.f：Ls-tr的ReJHJ）旧）(17)J是Jacobian矩阵,X0被如下定义0HIX2丫11丫2CNoNfN1No-Ni(18)0

8、HIXNoYNo为使.匕（日）值最小，将£ls（8）对系数矩阵Po和a求导，并令其为零-*£ls步)=2(RA+SoB)=0(。=1,2,|但No)(19)二-o二Nots(9)=2RK+中)=0(20)由式(19)得到久=-&飞°0,把它代入式(20)得No2E(To-sTRo4so)Q=M。=0(21)-o=i-No其中，M=2|Z(To-S：R'S)wRNi(N4T”)。J-由式(19)和(20)得到标准方程，经过整理，此标准方程的表达式为一R0III00R2III0+>+1+12|00IIIRno.STSTIIISTOS1S2PP.S

9、NNo工Too：=2Re(JHJ=0aJ(22)式(21)即为“缩减”标准方程，其中矩阵M维数为N(N+1FN(N+1),比标准方程式(22)中的Re(JHJ)的维数(No+NXN+1)x(No+NiXN+1)要小的多。(4)求解缩减标准方程通过求解“缩减”标准方程，便可得到分母系数矩阵«。根据线性方程组的求解理论，先对系数矩阵口施加一个约束。假如，设定系数矩阵«中的一个系数矩阵块等于正则常数矩阵(例如设系数矩阵口的最后一个矩阵块口(N+1)=lNj),在这种前提下，缩减标准方程变为AX=B(23)其中A=M1：NjN,1：NiN系数矩阵«的最小二乘估计为X,叱S

10、=V卜X=AB(24)INi一旦求得了Rs,那么通过Po=-R1So。就可得到所有的分子系数Ks,o这种方法考虑了标准方程的结构特性，比直接求解方程(22)要快得多。确定了分母系数矩阵a后，通过求解a的伴随矩阵的特征值和特征向量，这样就可以得到了系统的极点和相应的模态参与因子。方程如下一0IIII0000|(00：；：V=VA(25)00Hl0I-A0-A：IMAn_2Ana上式中，V,AWCNoN>NoN,矩阵V的最后Ni行就是模态参与因子；对角阵A的角元记录为A(i=1,2JH,N°N)由不稳定的数学极点和稳定的物理结构点两部分组成。记稳定的物理结构极点为=eWs,通过对这

11、些物理结构极进行转换，便可得出结构的固有频率.和模态阻尼比；关系式如下%,加=Qr±idr或九，"=二四士iJi二128r(26)(5)计算频率点和阻尼比点根据信号与系统基本理论中对系统稳定性的描述：系统的全部极点落于s域左半平面(不包括虚轴)，且满足有界输入有界输出原则，系统是稳定的。复特征矩阵A中的复特征值总是以共腕对的形式出现，同时也包含实数(虚轴上)，在求解频率点外和阻尼比点G时，对于每个共腕对只取其中一个进行分析，且不考虑实数。复特征矩阵A中的对角元A=e4Ts,由式(26),4用Re(d)+i'Im(4)描述，贝URe*iIm-=$一山却=e7Ts45=

12、e5scosVsisingTs)(27)Re(4)+iIm(Aj=e对(28)arctan1m)=瑞Ts(29)33)所以%=ln(4)(30)(31)x1flm（Ai瑜=一arctan'Ts闻）J由此可求得频率肺和阻尼比G飒二褥2十仃：<,5（32）-i=-一L劭在求得的频率a和阻尼比，i包含有结构的固有频率历和模态阻尼比，r,因此，必须对所有求得的劭和。进行有效的分析和选取，以确定系统真实的固有频率和阻尼比。建立稳态图就是一种行之有效的方法。（6）建立稳态图在模态分析中，稳态图是帮助实验者分离结构物理极点和数学极点的一个有力工具，如图1所示。通过逐渐增大多项式的阶次N,且进行相应的重复性分析计算可