曲面积分与高斯公式

1、曲面积分与高斯公式1 .第一类曲面积分(1)问题的提出设有一块光滑的金属曲面S。它的密度是不均匀的。在其点(x,y,z)ws处密度为f(x,y,z),并设f在S上连续，则金属曲面S的质量M=f(x,y,z)dsS说明：第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关(2)第一类曲面积分的计算(代入法)设S是一个光滑曲面，S的方程是Z=f(x,y),仃f(x,y,z)ds二口f(x,y,z(x,y)1+z2+zydxdysD当f三1时可得空间曲面面积的计算公式，即S=Jk：1+z2+z；dxdyD例1.I=口寸x2+y2ds,S是半球面x2+y2+z2=R2(z>0)s解：z=.R2-x2-y2,(x

2、,y)D,D:x2y2<R2z_-xxR2-x2-y2z-yii-,x2y2ds二srdr2一.R1dxdy=Rdr00,R2-r2_23_R一22 .第二类曲面积分(1)问题的提出磁通量问题。表示Pdydz-Qdzdx-Rdxdyy说明:第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号(2)计算(代入法)JJPdydz十Qdzdx+Rdxdy用带入法计算时，一般应分成三个计算：£JJR(x,y,z)dxdy=±JJR(x,y,z(x,y)dxdy(如果曲面积分取工的上侧取十三Dxy号，如果曲面积分取工的下侧取-号).类似有JJP(x,y,z)dydz=±

3、JJP(x(y,z),y,z)dydz(如果曲面积分取工的前侧取+三Dxy号，如果曲面积分取工的后侧取-号)。JJQ(x,y,z)dzdx=±JJR(x,y(z,x),zdzdx(如果曲面积分取工的右侧取+:Dxy号，如果曲面积分取工的左侧取-号).例2:计算曲面积分J7(z2+x)dydz+2xydzdx-zdxdy,其中工是圆面x2+y2<1,z=0下侧。分析：由于在工上，2=0,进而2=0,所以2i(zx)dydz2xydzdx(2-z)dxdy=(2-z)dxdy=-2dxdy=-2二I1d评论：本题展示的化简积分的方法是非常重要的。例3:计算曲面积分口(z2+x)dy

4、dz-zdxdy,其中工是旋转抛物面y1z=-(x+y)介于平面z=0及z=2之|可的下侧分析：Il(z2x)dydz-zdxdy=(z2x)dydzuzdxdy工工工Hzdxdy可直接代公式计算，而口(z2+x)dydz需要分成前后两部分分别计算.£y解：(略)(3)高斯公式设D是R3内的一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成，方向是外侧(相对于区域D而言)。又设函数P,Q,R都在D内关于x,y,z有连续偏导数，则下列高斯公式成立：；:pQR_dxdydz=PdydzQdzdxRdxdyd夕2y.2:口由Gauss公式可计算某些空间立体积分，一1hidxdydz=一xd

5、ydzydzdxzdxdyv=D3:D2222例4计算Ux3dydz+y3dzdx+z3dxdy,式中S为球面xyz=a的内侧S解由高斯公式知3一一3一一3222一11xdydzydzdxzdxdy-3111(xy'z)dVSV=-312叼日.dqJaP4sin9dp=-3J2叼日f?sinqd中J；P4dP-32n(cos中-15-1252)a=a55例5:计算曲面积分I：iixzdyd2zyd3dxxydxdyI2,2y_.、其中工为曲面z=1x(2MzM1)的上侧。4【分析】（补面法）本题曲面工不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭,在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平

6、面域上直接投影即可。2-、，0一、，、ff2y一，【详解】补充曲面："x+L=1,z=2,取下侧.则4I=xzdydz2zydzdx3xydxdy11xzdydz2zydzdx3xydxdy111(z2z)dxdydz-ii3xydxdy其中C为工与-1所为成的空间区域,D为平面区域2y2x-14由于区域D关于x轴对称，因此113xydxdy=2D111(z2z)dxdydz=3iiizdxdy3°zdzdxdy=3°z2二(1-z)dz=二.1J'J=Dz22y其中Dz：x-一_1-z.4【评注】（1）注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。本题也可通过直接投影进行计算，但计算过程比较复杂。（2）本题中的三重积分计算用“先二后一”法，若用“先一后二”法计算量是大的例6:计算dydzdzdxdxdy2222+L,S:x+y+z=a,a>0外侧。Sxyz111、.分析：该题P=1,Q=1,R=1，它们在S所包围的区域内不连续（在原点xyz没定义，偏导数不存在），所以不能用高斯公式。dxdySzSxyzSxS详解：dydzdzdxdxdy=dydzdzdx由积分表达式及s的对称性知dydzdzdxdxdyH=H=JJsxSysz所以dydzdzdxdxdy_3dxdysxyzsz记上半球（上侧）为S上，记下