微积分的思想和方法

1、微积分的思想和方法（部分讲义）黄荣第四讲第四章定积分与不定积分教学目标1、了解定积分产生的历史、实际背景，理解定积分的概念，掌握定积分的性质；2、理解原函数与不定积分的概念；3、掌握不定积分性质与其本积分公式；4、掌握定积分的牛顿莱布尼兹公式；5、了解定积分在实际问题中的应用；6、了解简单微分方程的概念。重点难点定积分、不定积分的概念、牛顿莱布尼兹公式。学习建议1、学习定积分概念时，应充分注意体现微积分的基本思想。2、学员学习不定积分时，要注意加强练习，尽量做到掌握不定积分的计算方法。3、牛顿莱布尼兹公式，建立了微分和积分之间的联系，学员应适当练习，切实掌握。4、为了掌握计算技能，学员必须做适

2、当的练习。课时分配面授8课时，自学16课时面授辅导1、不定积分1.1不定积分定义1.1.1原函数如果函数f(x)与f(x)定义在同一区间(a,b),并且处处都有：F1(x)=f(x)或df(x)=f(x)dx则称f(x)是f(x)的一个原函数。下列是一些简单函数的原函数：出数原函数cosxsinxsinx-cosxexexenxn+1设函数f(x)与F(x)定义在同一区间(a,b)内。苦F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+c也是f(x)的原函数，c为常数。例1:求2x的原函数F(x),且使F(2)=7。解：:x2=2xx2是2x的一个原函数。2x的全体原函数为F(x)=x2+c(c为常

3、数)F(2)=22+c=7c=3.F(x)=x2+3为所求。例2:求sinx的原函数F(x),且使F(0)=4。解：由于九工.一(-cosx)=sinx因此-cosx就是sinx的一个原函数。sinx的全体原函数记为F(x)=-cosx+c依题意有：F(o)=-cosD+c=4c=5所求F(x)=-cosx+5例3:求f(x)=x3-3x2+2x+7的原函数。解：f(x)的一个原函数为x4-x3+x2+7x则f(x)的全部原函数为F(x)=x4-x3+x2+7x+c(c为常数)1.1.2不定积分定义函数F(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记为(x)dx。其中称为积分号，x称的积分变量

4、，(x)称为被积函数。虽然(x)dx=F(x)+c(c为任意常数，称为积分常数)注意：“不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算。已知自由落体的运动速度v=gt,求自由落体的路程公式。解设自由落体的路程公式为s=f。由导数的力学意义可知，,'f,-gt2=gt、，1，速度v=f=gt。联想到12J，并且常数的导数为0,所以f'-gt2C;gtI2'。于是路程公式为1,2-s=f（t）=5gt£（c为任意常数）又因当t=0时S（0）=。，代入上式，可得C=0,故所求的路程公式为-12s=ft=,gt该物理问题是已知速度求路程。抽象为数学问题，就是已知导数求原

5、来的函数，这是求导数的逆运算。数学中的逆运算我们已经碰到过不少，比如相对于加法的减法，相对于乘法的除法，相对于乘方的开方等。这里需要解决两个问题：一是逆运算是否存在？二是如果逆运算存在的话，结论有几个？现在就来围绕这两个问题解决求导数（或微分）的逆运算问题。首先我们要知道什么是原函数。根据导数公式或微分公式，我们很容易得出一些简单函数的原函数。如函数cosxsinx原函数sinxex-cosxex从这些例子不难看出，sinx是cosx的原函数，（sinx'C）也是cosx的原函数，这里C是任意常数。于是产生这样一个问题：同一个函数究竟有多少原函数？定理设函数f(x)与F(x)定义在同一

6、区间(a，b)内。若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数，这里C是任意常数；而且F(x)+C包含了f(x)的全部原函数。证明因为(F(x)C)'=F'(x)=f(x)所以F(x)+C是f(x)的原函数。下面证明F(x)+C包含了f(x)的一切原函数。而这只需证明，f(x)的任一原函数G(x)必然有F(x)+C的形式。证明根据假设G'(x)=f(x),F'(x)=f(x),从而G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0,由中值定理推理2得G(x)-F(x)=C,故G(x)=F(x)+Co例1求2x的原函数F(x),

7、且使F(2)=7。一dx2=2x解我们知道dx,因此x就是2x的一个原函数，2x的全体原函数记为F(x)=x2+C。根据题意，我们求常数C。F(2)=22+C=7,c=3所以F(x)=x2+3例2求sinx的原函数F(x),且使F(0)=4。解求解的思路同例1一样。我们知道磊(一应刈=而,因此cosx就是sinx的一个原函数，sinx的全体原函数记为F(x)=-c0sx+C。根据题意,我们求常数C。F(0)=_cos0+C=_1+C=4C=5所以F(x)=-cosx+5例3求f(x)=x3-3x2+2x+7的原函数.一32解f(x)=x-3x+2x+7的一个原函数为F0(x)=1x4-x3x2

8、7x4则f(x)的全部原函数为F(x)=F°(x)+C(C为常数)。不定积分定义定义函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记为jf(x)dx其中称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积函数。由定理可知，如果知道了f(x)的一个原函数F(x),则Jf(x)dx=F(x)+C其中C是一个任意常数，称为积分常数。关于不定积分运算和微分运算从不定积分的概念可知，“不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算：Iff(x)dx11=f(x)ngdJf(x)dx=f(x)dx-反过来，F'(x)dx=F(x)+C或jdF(x)=F(x)+Co这就是说，若先积分后微分，则两者的作用互相抵消；若先微分后积分，则抵消后差一常数。例4求展xdx解2xdx是指求2x的一切原函数，所以2xdx=x2C不定积分的几何意义作例4