最实用的对数函数复资料(经典+精练)

1、对数与对数函数专题复习【知识点梳理】-、对数的概念1、对数的定义：如果ax=Na0且a=1,那么数x叫做以a为底,N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2、几种常见对数：对数形式特点记法一般对数底数为a(a0,且a=1)logaN常用对数底数为 10lgN自然对数底数为 elnN3、对数的性质与运算法那么(1)对数的性质(a0,JLa1)：1loga1=0,logaa=1,a10gaN=N,logaaN=N.(2)对数的重要公式：换底公式：logbN=10gaN(a,b均为大于 0 且不等于 1,N0);logab12 logab=,推广：logablogbClogc

2、d=logad.logba(3)对数的运算法那么：如果a0,且a#1,MA0,NA0那么1 loga(MN)=logaM+logaN;2 logaM=logaMlogaN；Nn13 logaM=nlogaM(nR)；logamM=logaMm4 logambn=logab.m二、对数函数1、对数函数的定义：一般地,我彳门把函数y=logax(20且2金1)叫做对数函数,其中x是自变量,函2、对数函数 y=logax(a0 且 aw1 的图象与性质:图象a10a1r-厂J必期一y-logL.ril)irjl1性质定义域：(0,+oo).值域：R.过定点：(1,0),即当x=1时,y=0.当0cx

3、1时,ye(-,0)；当0/3)2变式 1：计算：11lg600lg0.036lg0.122,一-,322【解析】分子=lg5lg8000+(lg2*3)=lg5(3+3lg2)+3(lg2)=3lg5+3lg2(lg5+lg2)=3,11一分母=lg600lg0.036lg0.1=2+lg6-lg22一一.3所以,原式=3.4题型二、对数函数的性质例题 2：求函数 y=log(xw(164x)的定义域.16-4x0 x1.所求函数定义域为x|Tvxv0 或 0 xx 恒成立,故(x)的定义域为(*+川,21.1x2x-2又.f(x)=ln(、1+x+x)=lnt=ln=ln(*1+xx)=f

4、(x),1x2x(/1x2)2-x2将它们化为真数的积、商、哥、方根,然后化简求值.(计算对数的值时常用到 lg2+lg5=lg10=1)361八,一,6乂=2+lg6-lg=4；100010100.f(x)为奇函数.【点评】在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候,当所给函数的定义域关于原点对称时,再判断 f(x)和 f(x)之间的关系.f(x)为奇函数 Uf(x)=f(x)Uf(x)+f(x)=0uf(x)=-1f(x)w0;f(x)f(x)为偶函数 Uf(x)=f(x)uf(x)f(x)=0yf(-x)=1f(x)wo.f(x)在解决具体问题时,可以根据函数解析式的具体特点选择不同的

5、方式来判断.例题 4:比拟以下各组数的大小：(1)10g0.71.3 和 10g0.71.8;(2)10g35 和 10g64;(3)(Ign)和(lgn)2(n1).【解析】(1)对数函数 y=log0.7x 在(0,+询是减函数,由于 1.3V1.8,所以 10g0.71.31og0.71.8.(2)10g35 和 10g64 的底数和真数都不相同,需找出中间量搭桥,再利用对数函数的单调性即可求解.由于 10g35log33=1=log66log64,所以 10g351og64.(3)把 lgn 看作指数函数的底,此题归为比拟两个指数函数的函数值的大小,故需对底数 lgn 讨论.假设 11

6、gn0,即 1vnv10 时,y=(lgn)x在 R 上是减函数,所以(lgn)1.7(lgn)2;假设 1gn1,即 n10 时,y=(lgn)x在 R 上是增函数,所以(1gn)1.71 时是增函数,0vav1 时是减函数,如果不是同一个函数的函数值,就可以对所涉及的值进行变换,尽量化为可比拟的形式,必要时还可以搭桥-找一个与二者有关联的第三量,以二者与第三量(一般是 T、0、1)的关系,来判断二者的关系,另外,还可利用函数图象直观判断,比拟大小方法灵活多样,是对数学水平的极好练习.1,一的定义域是(1g(2-x)A、1,2B、1,4】C、1,2D、1,2x-10【解析】由题意得：,2x0

7、,解得：1x2,选A.Jg2-x产0变式 3:设 a=1og0.70.8,b=1og1.10.9,c=1.10.9,那么 a、b、c 的大小顺序是A、abcB、bcaC、bacD、cba【解析】由于 0a=1og0.70.81og0.70.7=1,b=1og1.10.91.10=1,所以选 C.变式 4：求函数 y=log4(7+6x-x2)的单调区间和值域.首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域,变式 2:(2021 重庆四月模拟)函数【分析】考虑函数的定义域,依据单调性的定义确定函数的单调区间,同时利用二次函数的根本理论求得函数的值域.【解析】由 7+6x-x20,得(x-7)(x+1)

8、V0,解得 TVXV7.,函数的定义域为x|TVxv7.设 g(x)=7+6x-x2=-(x-3)2+16.可知,x3 时,g(x)为减函数.因此,右 TVxiVx2V3.那么g(xi)g(x2),即 7+6xi-x/v7+6x2-而 y=10g4x 为增函数,10g4(7+6xi-xi2)dab.【点评】利用logaa=1,可以有效的解决对数函数底数大小的比拟问题；由上述结果可知,对数函数底数越小,图象在第一象限越靠近 y 轴.题型三、反函数例题 6：(2021 广东)假设函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且a=.的反函数,且f(2)=1,那么f(x)=()【解析】函数y=ax(a0,且

9、a#1)的反函数是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1,所以a=2,故f(x)=log2x,选A.【点评】利用同底的指数函数与对数函数互为反函数.题型四、对数方程与不等式A、log2xB、2xC、log1x2D、xi例题7：10g2(X1)=2log2(x+1)的解为【解析】原方程变形为log2(x-1)+log2(x+1)=log2(x2-1)=2,即x1=4,得x=V5,fx-10厂.x1,x=M5.x+10J【点评】考察对数运算,注意验根,使对数式有意义.变式 5：解关于 x 的不等式：loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)loga2,(a0,a1).【解析】

10、原不等式可化为loga(4+3x-x2)loga2(2x-1),12x1A0 x2当 a1 时,有?4+3xx20=,1x4=1x2(2x-1)-3x2当 0a0=1x4=2cx4.4+3x-x22(2x-1)x2J1当 a1 时不等式的解集为1Mx2；2当 0a1 时不等式的解集为 2x0,aw.(1)求函数的定义域与值域；(2)求函数的单调区间；(3)证实函数图象关于 y=x 对称.【解析】(1)1-ax0,即 axv1,.a1 时,定义域为(一8,0)；0vav1 时,定义域为(0,+00).令 t=1-ax,那么 0vtv1,而 y=loga(1ax)=logat.a1 时,值域为(0

11、);0vav1 时,值域为(0,+).(2)a1 时,t=1ax在(00,0)上单调递减,y=logat 关于 t 单调递增,1.y=loga(1ax)在(一,0)上单调递减.10a0,alogag(x)(a0,a#1),那么f(x)0当a1时,得4g(x)0,当0ag(x(3)形如F(logax)=0或F(logax)0(F(logax)(0)的方程或不等式,一般用换元法求解；c(4)形如logf(x)g(x)=c的方程化为f(x)=g(x)求解,对于logf(x)g(x)c的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决.f(x)00；J(x产g(x)fx0得“g(x)0f(x)g(x)x 题库题

12、目仅供选择使用【稳固练习】11 .2021 肇庆高三上学期期末函数fx=rz+lnx1的定义域是,2x-1A、0,FB、1,FC、0,1D、0,1U1*2.0 xy1,m=log2x+log2y,那么有A、m：0B、0：m：1C、1:m：2D、m2x3 .2021 北东海江区第二学期期中在同一坐标系中回出函数y=logax,y=a,y=x+a的图像,A.B.C.0.4.(2021辽宁)设2a=5b=m,且工+1=2,那么m=()abA、,WB、10C、20D、100一.,25.函数y=ln(x+4x+5)的单调递减区间为6 .(1)lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 lg 版;(3

13、)lgx=2lga+3lgb-5lgc,求 x.7 .求函数 y=10g2|x|的定义域,并画出它的图象.可能正(2)设 logax=m,logay=n,用 m、n 表7Kloga4a确的是8 .比拟以下各组数中两个值的大小:9 .设 A、B 是函数 y=10g2x 图象上两点,其横坐标分别为 a 和 a+4,直线 1：x=a+2 与函数 y=10g2X 图象交于点 C,与直线 AB 交于点 D.(1)求点 D 的坐标；(2)当 4ABC 的面积大于 1 时,求实数 a 的取值范围.-一一一一2一.2一10.函数f(x)=1g(a-1)x+(a+1)x+1.(1)假设f(x)的定义域为R,求实

14、数a的取值范围;(2)假设f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.(1)10g23.4,10g23.8;(2)log0.5I.8,10g0.52.1;(3)1oga5.1,1oga5.9；(4)log75,10g67.【课后作业】,3x(x0)1A、9B、一92.0 xya1,那么有()F.1,那么ffF的值为41C、一9D、一一A、loga(xy)0B、0loga(xy)1C、1loga(xy)0,那么 a 的取值范围是_1_1,1A、0,B、0,-C、,二D、0,二2224.假设函数y=logax在 R 上为增函数,那么 a 的取值范围是2111A、0,二B、仁,1C、二,二D、1,二22

15、25.a=log20.3,b=20.1,c=0.21.3,那么a,b,c的大小关系是A、a：b:二cB、c:二a:二bC、a：二c：二bD、b:二c:a,436.假设xue,1,a=lnx,b=2lnx,c=lnx,那么A、abcB、cabC、bacD、bca7.2021 北京西城一模假设 0m2)8,假设指数函数 y=ax的反函数的图象经过点2,1,那么 a 等于1-A、jB、2C、3D、101.29.(2021 重庆)设a=log1,b=log1一,32332021 江门市一模函数fx=1g|x|,xwR且x#0,那么仪是1oga2+6,那么a的值为14 .假设 f(10 x)=x,贝 U

16、f(5)=15 .2021 上海市奉贤区 4 月质量调研函数y=1ogax1+2aA0,a01的图像恒过一定点是16 .2021 上海市普陀区二模函数y=J1og13x2的定义域是.17 .10g189=a,18b=5,求 10g3645.mnA22B、111n22C、log2mlog2nD、10glm.log1n4皿c=1og3,那么a,b,c的大小关系是3A、a：b:cB、c：b:aC、b:a：cD、b:二c：a10.假设loga20 且aw1)1f(X1X2-X2021)=2m+n,求(x；)+f(X2 2)+f(X2021)的值.20、函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x

17、),其中(a0且a#1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由；3(3)假设f(-)=2,求使f(x)0成立的x的集合.【拓展练习】1.函数 y=logax 在 xe2,0)上总有|y|1,那么 a 的取值范围是()-11A、0a一或1a2B、一a1或1a22 21八 cC、1a2D、0a22x2.(2021 山东)函数f(x)=log2(3+1)的值域为()A、0,二 B|0,二 C、1,二 D|1,二3 .20且2#1,以下四组函数中表示相等函数的是()A、y=logax与y=(logxa)4B、y=a10gaxVy=xC、y=2x与y=logaa2xD、y

18、=logax2与y=2logax(2a-1)x+4a.(x(0,-)11C、-,)621D、,1)6xx11 .函数f(x)=lg(a-b),a1b0.(1)求f(x)的定义域；(2)在函数f(x)的图象上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于x轴;(3)当a,b满足什么条件时,f(x庶(1产)上恒取正值.5. 函数y=2l2log1x+1的单调递增区间是(26.A、B、C、1二_4D、定义在 R 上的偶函数在0,y是增函数,且A、0,二B、11、0,-32*x-合2MN=xWR|g(x)0,且awl.x(a2-1)求f(x)；求证：f(x)是奇函数;(3)求证：f(x)在 R 上为增函数

19、.一112 .现有两个函数f1(x)=loga(x-3a)与f2(x)=loga,其中a0,a#1.x-a(1)求函数F(x)=fi(x)f2(x)的表达式与定义域；(2)给出如下定义：对于在区间m,n】上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对任意x-m,M,有f(x)-g(x)|1,那么称f(x)与g(x)在区间m,n】上是接近的,否那么称f(x)与g(x)在区间k,M上是非接近的.假设0a0 xA11、选 B.由=x1.2x-10 x02、A.3、选 D.依题意,a0 且aw,对于 A,D 图,由对数及指数函数图像知,a1,此时直线 y=x+a 在 y 轴上的截距大于 1,因此 A 错

20、,D 对,选择 D.112._一-4、选A.+-=logm2+logm5=logm10=2,二m=10,又,m0,二m=410.ab5、2,5).注意定义域.一1190116、【解析】1lgJ45=lg45=lg=lg9+lg10lg2=2lg3+1lg222222,c11,c=lg3+2-lg2=0.4771+0.5-0.1505=0.8266.11.1,111=-logax-一logay=-n-m.43a12a43122loga4/a1114312-logaalogaxlogay7、8、9、23.5(3)由得：1gx=1ga+1gb-1gc【解析】(3)(4)对数函数 y=1og0.5x

21、在(0,2.3abgr2.3abx=510g2(-x)其图象如下图(其特征是关于(1)对数函数 y=1og2x 在【解析】函数的定义域为x|xWQ+)上是减函数,且 1.8V2.1,于函数解析式可化为 y=Jog2x是 10g0.51.81og0.52.1.当 a1 时,对数函数 y=1ogax 在(0,+川上是增函数,于是 1oga5.1v1oga5.9;当 0vav1 时,对数函数 y=1ogax 在(0,+8)上是减函数,于由于函数 y=1og7x 和函数 y=1ogex 都是定义域上的增函数,是 1oga5.11oga5.9.所以 10g75v1og77=1=1og66v1og67,所

22、以 10g75v1og67.(1)易知 D 为线段 AB 的中点,因 A(a,10g2a),B(a+4,1og2(a+4),所以由中点公式得 D(a+2,1og2Ja(a+4).(a2)2(2)SAABC=S梯形AACC+螂形CCB-BS梯形AAB=10g2/,a(a4)其中 A,B为A,B,C 在 x 轴上的射影,由SAABC=10g2(：;)1,得 0a一；(2)10对一切xwR恒成立当a2-1#0时,必须有22.一a-10522,即a一W=(a+1)-4(a-1)03当a21=0时,a=1,当a=1时,f(x)=0满足题意,当a=1时不合题意5故aE1或a一；3依题意,只要t=(a21)

23、x2+(a+1)x+1能取到(0,收)的任何值,那么f(x)的值域为R,a2-10522,即1a;:-(a1)-4(a-1)-03当a21=0时,a=1,当a=1时,t=2x+1符合题意,当a=-1时,不合题意,log3645lg45-1g361g(95)lg182_lg9lg5_alg18b1g18ab-21g181g9-21g18a1g182a2、课后作业答案111911、选B.f()=log2=2ff(-)=f(2)=3/=44492、选 D.0 xyalogaa=1,logaylogaa=1,1-loga(xy)=logax+logay2.13、选 A.当x=(1,0)时,x+1w(0

24、,1),而函数f(x)=log2a(x+1)0,故02a1,即0a一.2x14、选A.y=(log1a)在 R 上为增函数,log1aa1,0a-.2225、选 C.由于a=log20.320=1,c=0.21.3=(0,1).,13,6、选C.由ex1得1lnx0,从而b=2lnxlnx=a.7、选 D.由指数函数与对数函数的单调性知 D 正确.8、选 A.运用原函数与反函数图象关于 y=x 对称,那么函数 y=ax过点(1,2),应选 A.9、选 B.10、选 C.11、选 B.12、选 C.函数f(x)=ax+logax(a0且a=1)在1,2上具有单调性,因此 a+a2+loga2=l

25、oga2+6,解得 a=2,选择 C.13、选 C.M=(0,1,N=( (g,0,因此MUN=( (g,1.14、lg5.由题意 10 x=5,故 x=lg5,即 f(5)=lg5.15、(2,2).当 x=2 时,函数y=loga(x1)+2(a0,a=1)值为 2,所以其图像恒过定点(2,2).2-216、(一,1.10gl(3x2)之0,03x2W1,解得 xC(一,1.33317、【解析】方法一：:10g189=a,18b=5,log185=b,10g184510g18(95)10g18910g 伤 5abablog3645=10g183610g18(182)110g182182-a

26、1log189方法二：:log189=a,18b=5,1g9=a1g18,1g5=b1g8,18、【解析】设 0vxiVX21,X2XiX2(1-Xi)X21-X1log2-iog2；=log2-=log2-1-X21-X1(1-X2)为X11-X2X2,1-X1X21-X1-0X1X21,11.贝 UIog2=0,X11-X2X11-X2 f(X2)f(X1).故函数 f(X)在(0,1)上是增函数.19、【解析】(1)方法一：100m=102m=5,二102m10n=102m+=10,.2m+n=1.方法二：100m=5,.2m=lg5,10n=2,.n=lg2,.2mn=Ig51g2=l

27、g10=1(2)由(1)可知 f(X1X2-X2021)=f(X1)+f(X2)+-+f(2021)=1,r/222 f(Xi)+f(X2)+f(X2021)=2f(X1)+f(X2)+f(X2021)=2X1=2.20、【解析】由J“.得-1(工0Aaa/W 的定义域为(一 LD.( (2)函数/住)的定义域为( (-LD 美子原点对称.ogfl(l+x)=-/(I)二了是奇西数.(3)由f(3)=loga8-loga|=loga4=2,得a=2.555.f(X)=log2(1+X)log2(1X),由f(X)0得10g2(1+X)log2(1X)0,log2(1+X)log2(1-X)得1

28、+XA1XA0,解得00成立的X的集合是x|0 x有|y|1.1当 0a1 时,函数 y=logax 在xW2,)上总有 y-1,即loga21,IPloga21,a2.,一一,-1,由可得-a1或1a0得g(x)4g(x)+3a0那么g(x)3即3-23,所以x1或xAlog35;由g(x)2得3x22即3x0 x0 x08、(0,v6I.由/1=(1=0 xWJ6.1-2log6x-010g6xx0),贝 Uf(t)=-=a(at-a-t)at(a2-1)a2-1(2)证实：:f(x)=a(a-xax)=-a(axa-x)=f(x),f(x)为奇函数.a-1a-1(3)证实：设 x1、x2cR,且 x1Vx2,那么 f(x2)-f(x“=-(aa-x2)(ax1a-x1)a-1=a-(ax2