微积分复习提纲

1、高等数学复习提纲基本内容：1、函数基本概念及性质。基本初等函数：窑函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。注：分段函数一般不是初等函数。特例：y=VX7=lX，X-0为初等函数。Ix,x：02、极限定义：liman=au对任给£>0,存在N,当n>N时，有|ana|<8.n_（等价定义）3、无穷小的定义与性质。1）若函数f（x）当XTXo（或XT笛）时的极限为零，则称f（x）当XTXo（或XT比）时为无穷小量。注：（1）无穷小量是个变员而不是

2、个很小的数.（2）零是常数中唯一的无穷小量。2）无穷小的性质：有限个无穷小的代数和是无穷小、有界函数与无穷小的乘积是无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积也是无穷小。3）函数极限与无穷小的关系：limf（X）=A的充要条件是X）XoXf（x）=A+ot,其中A为常数，ot是当XTx0（或XT的）时的无穷小。4、无穷大的定义。若当XTXo（或XT笛）时,f（x）的绝对值无限增大，则称函数f（x）当XTXo（或XTg）时为无穷大量。注：无穷大是变量，不是一个绝对值很大的数。5、无穷大与无穷小互为倒数。6、极限的运算法则。0型：1）用风詈。2）因式分解法则1。3）分子分x-9母有理化

3、法lim”。X1.Jx-1身型：分子分母同除以一个非零因式,如:CO23x2x-1'Xm：2x2-x3°7、两个重要极限。1)sinxlim1xTx2)=e以及lim(1十X)x=e。x0会用重要极限求函数极限。8、求两个无穷小之比极限时，分子、分母都可用等价无穷小代替。如:sin2xlixmo或、3x2-36limsin-t：3x5x注：等价无穷小只能在乘积和商中进行，不能在加减运算中代换9、连续的两种定义。函数f(x)在点x。处连续，必须同时满足三个条件：1) f(x)在点xo处有定义；2) |imfW存在；x眩03)极限值等于函数值，即|imf(x)=f仅。卜xo,1.

4、，c、7例：已知函数f(x)=41-2sinx),x#0,在x=0处连续，则a,x=0a=.10、函数y=f(x)在点x0连续的充分必要条件是：f(x。-0)=f履+0)=f&0)(既左连续又右连续)。11、函数在点x0处连续与该点处极限的关系：函数在点x0处连续则在该点处必有极限，但函数在点x0处有极限并不一定在该点连续。12、如何求连续函数的极限？连续函数极限必存在，且极限值等于函数值，即|imf(x)=f(xJxk13、对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论如:xgx=xIX-1,x：:：1-11-,x-1214、如

5、何求连续区间?基本初等函数在其定义域内是连续的；一切初等函数在其定义区间内都是连续的15、间断点的定义。16、间断点的类型。（一）第一类间断点1、可去间断点（1） f（x而Xo处无定义，但|mf（x）存在。x女0（2） f（x）在xo处有定义，f（x）在xo处左右极限存在且相等，但是limf（x）#f（x°）。xxo2、跳跃间断点：f（x施点xo处左右极限都存在，但不相等,即limf（xlim+f（x）。xx0-xxo第一类间断点的特点:函数在该点处左右极限都存在.（二）第二类间断点（若lim+f（x）与iimf（x）中至少有一个不存xIox-xo-在，称xo为f（x）的第二类断点。

6、）1、无穷间断点2、振荡间断点。ix=0是函数f(x)=cos的何种I可断点x17、导数定义：函数f(x施点X。处可导的充要条件是：f(x)在点X。处的左右导数都存在且相等，即f+(x。)=f-(X。)。18、判断分段点处是否可导：在分段点处应按定义求出左右导数，在分段点处左右导数都存在且相等，则分段点可导。19、连续与可导的关系：若函数f(x应点x。可导，则函数f(x)在点x。连续。20、函数y=f(x在点x。处的导数f收。在几何上表7K曲线y=f(x)在点p(x0,f(x。)处的切线的斜率。21、隐函数的求导法。方程两端对x求导，y是x的函数，即把y看成中间变量，利用复合函数求导法则求导。

7、22、参数方程所表示函数T)的导数dy立、y=W(t)dx中'(t)23、对数求导法：先取对数，然后利用隐函数求导法则求导。如:tanxy=x,仅。)。24、Ay=f(x+&xf(x)可表7K为Ay=A&x+o(Ax),称函数y=f(x)在点x是可微的。dy=A&，叫做函数y=f(x而点x的微分。注：A#。，dy是Ay的线性主部。25、函数y=f(x准点x可微的充要条件是函数f(x)在点x可导，且dy=f(x部。(dy是由的线性主部)26、近似公式：fx:.fx0Lfx0x-x0o此近似公式，用来求x0近旁点x的函数值的近似值。27、中值定理的内容。28、洛必达

8、法则。注：当lim匚宜)不存在时，并不能断定|im二)也不存在，此xk0gxxj)<0gxX；:X二时应使用其他方法求极限。21Jxsin丫如：lim=一°x_0sinx29、函数单调性判别法：设函数y=f(x病kb】上连续，在(a,b)内可导。(1)如果在(a,b)内fx)>0,那末函数y=f(xa,b】上单调增加；(2)如果在(a,b)内fx)<0,那末函数y=f(x1,b】上单调减少。注：讨论单调区间，f<x)=0的根(即驻点)及f1x)不存在(不可导点)的点作为定义区间的分点。30、求极值步骤：(1)求导数f'(x)；(2)求出f(x)的全部驻

9、点以及使导数不存在的点(即可能极值点)；(3)由定理2或定理3判断极值点(用定理3判断，f”(x0)=0的点再用定理2判断)；(4)求出各极值点处的函数值，即得f(x冏全部极值。31、求最大(小)值的步骤：1、找出f(x而b,b】内部的一切驻点，求出驻点处的函数值。2、找出f(x位a,b1内部不可导的点，求出不可导点的函数值。3、求出区间端点处的函数值。4、将所求出的所有函数值进行比较，最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。例：函数y=x+2cosx在0,-上的最小值为232、原函数与不定积分的关系：全体原函数构成不定积分。即jf(x)dx=F(x)+c。积分运算与微分运算有如下互逆关系：F

10、1) (jf(x)dx)=f(x)或d(jf(x)dx)=f(x)dx.2) F(x)dx=F(x)c或dF(x)=F(x)c.33、不定积分的换元法和分部积分法。第一类换元法(凑微分法)：jf3(x巾(x)dx=1f(u)du】。u二x第二类换元法：f(x)dx=f(t)(t)dto分部积分法：udv=uv-vduo35、定积分的性质。36、(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间Lb】上连续，则在积分区间a,b】上至少存在一个点使下式成立：Jf(x)dx=f穴b-a)(a复4b)这个公式叫做积分中值公式。ax37、6x)=ff(t)dt(a<x<b),为积分上限的函数(或变上限的JEa积分)。它的导数是：D,x="；f%='(X)aMxMb2积分上限的函数是上限的函数。会计算如：±广sinddt类型dx0的题目。(原函数存在定理)如果函数f(x)在Q,b】上连续，则函数X(x)=f(t)dt就ZEf(x)在b,b】上的一，个原函数。38、|bf(x)dx=F(b)F(a)叫做牛顿一莱布尼兹公式，又叫微积分基a本公式。计算定积分：1)先用求不定积分的方法求出一个原函数。2)把上、下限代入原函数。3)作减法运算。39、定积分的换元法：lbf(x)dx=f