概率论讲义(茆诗松)

1、第二章随机变量及其分布教学目的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数.教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布.教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布.教学举措：理论局部的教学多采用讲授法,注意思想方法的练习,计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学.教学时数：20学时教学过

2、程： 2.1 2.1随机变量及其分布例2.1.1(1)掷一颗骰子,出现的点数X：1、2、6;n个产品中的不合格品个数Y：0、1、2、n；(3)某商场一天内来的顾客数Z：0、1、2、；(4)某种型号电视机的寿命T：0,).(1) 2.1.1随机变量的概念定义2.1.1定义在样本空间C上的实值函数称为随机变量,常用大写X、Y、Z等表示；随机变量的取值用小写字母x、y、z等表示.注意：(1)随机变量X9)是样本点.的函数,其定义域为Q,其值域为R=(-,y),假设X表示掷一颗骰子出现的点数,那么X=1.5是不可能事件；(2)假设X为随机变量,那么X=k、aXMb、均为随机事件,即：aXWb=co:a

3、X(o)WbuG；(3)注意以下一些表达式：X=k=Xk-X二kaXMb=Xb-Xa(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量.两类随机变量：假设随机变量X可能取值的个数为有限个或可列个,那么称X为离散随机变量；假设随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b),那么称X为连续随机变量,其中a可以是,b可以是前例2.1.1中的X、Y、Z为离散随机变量；而T为连续随机变量.(2) 2.1.2随机变量的分布函数定义2.1.2设X是一个随机变量,对任意实数x,称F(x)=p(Xx)为随机变量X的分布函数,且称X服从F(x),记为XF(x),有时也可用Fx(x)说明是X的分布函数.定理2.1.1任一个分布函

4、数F(x)都有如下三条根本性质：(1)单调性：F(x)是定义在整个实数轴(-,y)上的单调非减函数,即对任意的x1Mx2,有F(x1)EF(x2);(2)有界性：Vx,0F(x)：.F(二)=lim.F(x)=1xJ-.(3)右连续性：F(x)是x的右连续函数,即对任意的x0,有limF(x)=F(x0)x：x0即：F(x.+0)=F(x.).注：(1)上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件；(2)有了分布函数的定义,可以计算：p(aXMb)=F(b)-F(a)p(X=a)=F(a)-F(a-0)p(Xb)=1-F(b_0)等.(3) 2.1.3离散随机变量的概率分布列定义2.1

5、.3设X是一个离散随机变量,如果X的所有可能取值是x1、x2、%、,那么称X取x的概率Pi=p(x)=P(X=Xi)(i=1,0|nIII,)为X的概率分布列或简称为分布列,记为Xpi分布列也可用以下形式表示:Xxx2xnpp(x1)p(x2)p(%)分布列的根本性质：非负性：p(x)之0(i=1,2l)0正那么性：Mp(Xi)=1i4注：(1)上述两条可以作为判断一个数列是否为分布列的充要条件;(2)离散随机变量的分布函数为：F(x)=p(Xi)oXix求离散随机变量的分布列应注意：(1)确定随机变量的所有可能取值；(2)计算每个取值点的概率.对离散随机变量的分布函数应注意：(4) F(x)

6、是递增的阶梯函数;(2)其间断点均为右连续的；(3)其间断点即为X的可能取值点；(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.例2.1.2X的分布列如下：X012p111362求X的分布函数?x二00x：11x：22x解：013F(x)=0;(2)正那么性：(p(x)dx=1.注：(1)上述两条可以作为判断一个函数是否为密度函数的充要条件；b(5) p(a-X_b)=p(x)dx;a(6) F(x)是(Q,依)上的连续函数；(7) p(X=x)=F(x)-F(x_0)=0;(8) p(aXMb)=p(a二Xb)-p(aXb)-p(aXb)-F(b)-F(a);(6)当F(x)在x点可导时,p(x)=

7、F(x),当F(x)在x点不可导时,p(x)=0.离散随机变量与连续随机变量比照:离散随机变量连续随机变量分布列：p,-p(X一为)(唯)登度函数：Xp(x)(不唯一)F(x)=p(x)不&xF(x)=fp(t)dt-QUF(a)=F(a+0)且p(aX0,求(1)常数k；(2)F(x)?x_0解：(1)k=3；1-eF(x)=0例2.1.5设Xp(x)-1,x:二00x1,求F(x)?其它x：-1解：F(x)=x-22x-x21-1x:二002和8=丫2独立,且p(AUB)=1,求常数a?4解：由于p(A)=p(B),且A、B独立,得p(AUB)=p(A)p(B)-p(AB)=2p(A)-p

8、(A)231再由p(AUB)=一解得：p(A)=一42由此得0:二a:二23因此=p(A)=p(Xa)=-x2dx=1-2a88从中解得a=狐. 2.2 随机变量的数学期望 2.2.1 学期望的概念例2.2.1(分赌本问题)假设甲乙两赌徒赌技相同,各出赌注50元,无平局,谁先赢3局,那么获全部赌注,当甲赢2局、乙赢1局时,中止了赌博,问如何分赌本？赌本有两种分法：21(1)按已赌局数分：那么甲分总赌本的乙分总赌本的1；33(2)按已赌局数和再赌下去的“期望分：设再赌下去,那么再赌两局必分胜负,共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.于是,甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量,其分布列为：

9、X0100p134413甲的“期望所得是：0xl+100x3=75o44这就是数学期望的由来,又称期望或均值,数学期望是一种加权平均 2.2.2 学期望的定义定义2.2.1设离散随机变量X的分布列为p(x=x)=p(Xi)(i=1,2l|n川,)fao-bo假设|X|p(x)2,那么称E(X)=ZXp(x)为随机变量x的数学期望,简称期i1i=1望或均值.假设级数一|为|p(xj不收敛,那么称X的数学期望不存在.i1定义2.2.2设连续随机变量X的密度函数为p(x),假设J*|x|p(x)dxc,那么称E(X)=J*xp(x)dx为随机变量X的数学期望,简称期望或均值.假设级数J*|x|p(x

10、)dx不收敛,那么称X的数学期望不存在.00例2.2.2设随机变量X的分布列如下：X-1012p0.20.10.40.3求E(X)解：E(X)=-1X0.2+0父0.1+1父0.4+2X0.3=0.8. 2.2.3 期望的性质定理2.2.1设随机变量X的分布用分布列p(x)或用密度函数p(x)表示,假设X的某一函数g(X)的数学期望E(g(X)存在,那么-be工g(x)p(x)E(g(X)=H.*bogg(x)p(x)dxL-O0例2.2.3设随机变量X的概率分布为:X01r2111p244求E(X2+2)?解:2212121E(X2)=(02)-(12)-(22)-3613=1+=0444数

11、学期望的性质:假设c是常数,那么E(c)=c;对任意的常数a,有E(aX)=aE(X);对任意的两个函数g1(x)、g2(x),有E(X)_g2(X)=E(g(X)E(g2(X)2x0：x：1.例2.2.4设Xp(x)=?求以下X的函数的数学期望0其它(1) 2X-1；(2)(X-2)2?1解：(1)E(2X-1)二一；3211(2) E(X-2)=-06 2.3 机变量的方差与标准差数学期望只能反映平均值即X取值的中央,有很大的局限性,在一些情况下,仅知道平均值是不够的,还要讨论随机变量与其平均值的偏离程度,用什么量去表示随机变量X与其数学期望的偏离程度呢？显然,可用随机变量|X-E(X)|

12、的平均值E(|X-E(X)|)来表示X与E(X)的偏离程度,但为了数字上处理的方便,通常用E(X-E(X)2来表示X与E(X)的偏离程度. 2.3.1 差与标准差的定义定义2.3.1假设随机变量X2的数学期望E(X2)存在,那么称偏差平方(XE(X)2的数学期望E(XE(X)2为随机变量X(或相应分布)的方差,记为r-beZ(Xi-E(X)2p(Xi)在离散场合Var(X)=E(X-E(X)2=i(x-E(X)2p(x)dx在连续场合称方差的正平方根War(X)为X(或相应分布)的标准差,记为仃(X)或仃X.注意：(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,那么随机变量的取值越分散

13、.(2)标准差的量纲与随机变量的量纲相同. 2.3.2 差的性质性质2.3.1Var(X)=E(X2)-(E(X)2.性质2.3.2假设c为常数,那么Var(c)=0.性质2.3.3假设a、b为常数,那么Var(aX+b)=a2Var(X)X例2.3.1Xp(x)=2x,00_x：二11x0,有p(|X-E(X)|s)WVar2X)或p(|X-E(X)|1-Var(2X)ozz定理2.3.2假设随机变量X的方差存在,那么Var(X)=0的充要条件是X几乎处处为某个常数,即p(X=a)=1. 2.4 用离散分布 2.4.1 二项分布定义如果随机变量X的分布列为p(X=k)=C：pk(1-p严(k

14、=0,1,n.那么称这个分布为二项分布,记为Xb(n,p)当n=1时,称b(1,p)为二点分布或0-1分布例2.4.1设Xb(2,p)、Yb(4,p),p(X21)=3,求p(Y*)?981解：由p(X至1)=知p(X=0)=,于是990021C2P(1-p)92从而解得p=2所以3p(Y之1)=1p(Y=0)=1C0(2/3)(13)4=80/81.二项分布的数学期望与方差：n!kn_kkpqk！(n-k)!设Xb(n,p),令q=1p,那么nnk(n4)-(k4)pqE(X)八kp(X=k)八kCkpkqnkzSk13nkd(k-1)!(n-1)-(k-1)!=npZC：p(nT)YkA)

15、=np(pq)n工二npn又因E(X2)=k2C：pkqnJsk1nck(k-1)kk1n!k!(n-k)!kn_kpq-n!kn_kn!=k(k-1)pq=kk4k!(n-k)!k!(n-k)!n-k=n(n-1)pn2T(n-2)!y(k-2)!(n-2)-(k-2)!k_2pq(n/),k/)npn2-八kNkN(n/),kN)=n(n-1)p%*pqnpk=2二n(n-1)p2(pq)n/np=n(n-1)p2np于是Var(X)=E(X2)(E(X)2=n(n1)p2+np(np)2=npq. 2.4.2 松分布定义如果随机变量X的分布列为kp(X=k)=e-(k=0,1,.k!其中

16、参数Z0,那么称这个分布为泊松分布,记为XP(九).泊松分布的数学期望与方差：设XP(九),那么二二,k,寸kk1E(X)=kp(X=k)=ke1=e-x=1e-e,k=0k=0k!kd(k-1)!吸,k,-.C.k又因E(X2)=Ak2e1=k(k-1)ke-kok!k0k!二-k二kk-22=k(k-1)e八ke-2e%kmk!kfk!k(k-2)!-12e-e-1-2于是Var(X)=E(X2)_(E(X)2=九2+九一九2二九.二项分布的泊松近似：在二项分布中,当n较大时,直接计算是很麻烦的,下面我们给出一个当很大而p很小时的近似计算公式.定理2.4.1(泊松定理)在n重贝努里试验中,

17、事件A在一次试验中出现的概率为pn(与试验总数n有关),limnpn=九(儿A0为常数),那么对任意确定的n非负整数k,有klimb(k;n,pn)=limC：p；(1Pn)n=-e0nink!证实：设九n=npn,那么pn=,于是nb(k;n,pn)=C；pk(1-pn)nn(n-1)(n-k1)k!/n、kn、n_k()(1-)nn12k-1nk1(1-)(1-)111(1-)(1-)n(1-)k!nnnnnri、r九丁对任意确定的k,当nT+定时1一一it1(i=1,2,k一1)、1-It1、e-20,pW0.05时,上式的近似值效果颇佳,而n2100且npW10时,效果更好2.4.3超

18、几何分布定义如果随机变量X的分布列为p(X=k)=kn-kCMCN-McN(k=0,1,r.其中r=minM,n、MEN、nWN且n、N、M均为整数,那么称这个分布为超几何分布,记为Xh(n,N,M).超几何分布对应于无放回抽样模型：N个产品中有M个不合格品,从中无放回地抽取n个,不合格品的个数为X0 2.4.4 何分布与负二项分布定义如果随机变量X的分布列为P(X=k)=(1-p)k,p(k=1,2,.那么称这个分布为几何分布,记为XGe(p)0几何分布对应于抽样模型：X为独立重复的伯努里试验中,“首次成功时的试验次数.几何分布的数学期望与方差：设XGe(p),令q=1p,那么丁/ki一二k

19、i一二dkE(X)八kp(X=k)-kpq=pkq=pqk1k-1kJkJdq一d,二k、hd/1、p-p(-q)-p()-2dqk卫dq1-q(1-q)-be-be-be-be又因E(X2)-k2p(X=k)=,k2pqk二pk(k-1)qkJ、kqkJk4kk4k二k21=pqxk(k-1)q一=kmp二d2pq,qkddq=pqG,=qk)pdqk=0ppq12q1=12ppp于是E(X2)-(E(X)2常:卓二学定理2.4.2(几何分布具有无记忆性)设XGe(p),那么对任意的正整数m与p(Xm+n|XAm)=n).定义如果随机变量X的分布列为p(X=k)=C：pr(1-p产(k=r,

20、r1,.那么称这个分布为负二项分布(巴斯卡分布),记为XNb(r,p)o负二项分布对应于抽样模型：X为独立重复的伯努里试验中,“第r次成功时的试验次数.注：(1)二项随机变量是独立0-1随机变量之和;(2)负二项随机变量是独立几何随机变量之和. 2.5 用连续分布 2.5.1 正态分布定义假设随机变量X的概率密度函数为(x-甘1-0.2p(x)：e2、一(-二：x；二)2二二其中和仃为常数,且.A0,那么称随机变量X服从参数为N和仃的正态分布,或高斯(Gauss阶布,称X为正态变量,记为XN(N,.2),正态分布N(N,tr2)的1R苴密度函数p(x)=e-所表示的曲线称为正态曲线2-7正态分

21、布的性质:(1)正态曲线以x=N为对称轴;1(2)当x=N时取最大值;,2二二(3)以x轴为水平渐近线,即x离N越远,p(x)的值越小,且xt/时,p(x)T00相应的分布函数为：d(t-J21X-2-F(x)=edt72式.Jp(x)和F(x)的图形分别如以下图所示:P当仃固定,改变N的值,y=p(x)的图形沿x轴平移而不改变形状,因而R又称为位置参数；其图如下：当N固定,改变仃的值,那么y=p(x)的图形的形状随着灯的增大而变得平坦,故CT称为形状参数其图如下：W大称参数N=0、仃=1的正态分布称为标准正态分布,记为XN(0,1),其密度函数记为21二一一(x):e2(-二：二x：)2二相

22、应的分布函数为xxt2x中(x)：-=e2dt2二二其图如下：标准正态分布的计算:当x0时,(x)的函数值可查表得至IJ;当x0时,由丫=邛(刈的对称性即中(x)=中(-x)知,先查处(-x),再由(x)=1-9(-x)来得到(x)的函数值.例2.5.1假设X-N(0,1),求以下事件的概率：(1)p(X1.52);(3)p(X1.52);(4)p(-0.75X1.52);(5)p(|X|1.52)?解：略.非标准正态分布的计算:o一.X_J定理2.5.1假设XN(巴.2),那么Y=N(0,1).CT利用定理2.5.1,将非标准正态分布化为标准正态分布计算,即假设XN(,.2),人X一那么令Y

23、=X一,于是x1-x2-1p(x1：二X:二x2)二p二一二Y:二-2例2.5.2假设XN(108,32),求p(102X117);(2)假设p(Xa)=0.95,求常数a?解：(1)p(102X117)=p(102-108X-108117-108=：.：,117-108一：.：,102-108=：43-中-2二13中2-1-0.9987-0.9772-1-0.9759(2)由p(Xa)=p(X-108a-108)=：(a-108)=0.95反查表得：(1.645)=0.95,于是a-108=1.645=a=112.9353正态分布的数学期望与方差：设XN(N,.2),那么t2(x-1)2E(

24、X)xe2.2c2dx=_(：t)e2dtte2dt2二-二2二(x-42Var(X)=E(X-E(X)2e,2二二21二2工2e-odt22dt二2t2(5)1；e2二一正态分布的3.原那么:设XN(R,.2),那么0.6826,X-1p(|X-|):二k.)=p(|：k)=：,(k)-：D(-k)=0.9545仃I0.9973可见在一次试验中,X几乎必然落在区间(R3仃*+3仃)内,或者说,在一般情形下,X在一次试验中落在区间(N3.下+3.)以外的概率可以忽略不计,这就是通常所说的3仃原那么.2.5.2均匀分布定义假设随机变量X具有概率密度函数1,a:x:bP(x)=b-a、0其它那么称

25、X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为XU(a,b)相应的分布函数为：0xa一、x-a.F(x)=a-x：bb-a1 b0,那么称X服从参数为九的指数分布,记为XExp(K)相应的分布函数为:1-eF(x)=指数分布的数学期望与方差:二一二1.1E(X)=xedx=xe|.一一0edx=1e|=一E(X2)=Ix2儿exdx=-x2ex|05c+J.2xexdx=Z(九xexdx=222121于是Var(X)=E(X)-(E(X)=-()=-7./uAj/u定理2.5.2(指数分布的无记忆性)如果XExp(Z),那么对任意的s0t0,有p(Xs+t|Xs)=p(Xt).证实：由XExp(九)知

26、p(Xs)=e-/s又因Xs+t仁Xs,于是p(Xs11Xs)二p(Xs1)P(Xs)=p(X1)o例2.5.4假设某设备在任何长为1的时间0,1内发生故障的次数N服从P(Z1),那么相继两次故障之间的间隔时间TExp(7J证实：由N(1)P(却,那么(1)k,1p(N(1)=k)k!又因两次故障之间的间隔时间T是非负的随机变量,且事件T1说明此设备在0,1没有发生故障,即T1=N(1)=0,于是当10时,有FT(1)=p(T1)=0当1之0时,有Ft(1)=p(T1)=1-p(N(1)=0)=1-e于是T的概率密度函数为1e-11pt(1)=0即：TExp(乃. 2.5.4 玛分布函数=广乂

27、吸飞乂称为伽玛函数,其中参数0伽玛函数具有如下性质：(1)=1、(12)=;(2)严+1)=卜),当a为自然数n时,有-(n1)=n：(n);n!3Ct：T.xxep(x)-J,1-(：)0其中u0为形状参数,定义假设随机变量X具有概率密度函数x-0x:0儿下0为尺度参数,那么称X服从伽玛分布,记为XGa(:,)伽玛分布的数学期望与方差:设XGa(a,九),那么E(X)二(11)0、b0贝塔函数具有如下性质：(1)B(a,b)=B(b,a);B(a,b)(初(b)(ab)定义假设随机变量X具有概率密度函数P(x)=：(ab)(a)(b)a1b1x(1-x)0:x：1其它其中a0、b0都是形状参

28、数,那么称X服从贝塔分布,记为XBe(a,b)贝塔分布的数学期望与方差:设XBe(a,b),那么E(xf,1(7&(ab)：(a0一(a),(b).(ab1)abE(X)=(ab)-(a)-(b)a1b_1,x(1-x)dx.(ab)-(a-2).(b)_a(a1)-(a)-(b)-(ab2)(ab)(ab1)于是Var(X)=E(X2)-(E(X)2二a(a1)-()2(ab)(ab1)abab一20(ab)(ab1)贝塔分布的特例：Be(1,1)-U(0,1)o2.6随机变量函数的分布在实际问题中,我们常要讨论随机变量函数的分布.例如分子运动的速度X1C是随机变量,分子的动能Y=mX2也是

29、随机变量,它是X的函数.设X是随机2变量,g(x)是一个单值函数,那么称Y=g(X)为随机变量X的函数.2.6.1离散随机变量函数的分布设X是离散随机变量,X的分布列为:XXiX2XnpP(Xi)P(X2)P(Xn)那么Y=g(X)也是离散随机变量,其分布列为:Yg(x1)g(X2)g(Xn)PP(Xi)P(X2)P(Xn)当g(x.、g(x2)、g(%)、中有某些值相等时,那么将它们合并,将对应的概率相加即可例2.6.1设随机变量X的分布列如下,试求随机变量Y=X2+X的分布列？X-2-1012p0.20.10.10.30.3解：由题意得:Y20026P0.20.10.10.30.3再将相同

30、值合并得Y=X2+X的分布列为Y026P0.20.50.32.6.2连续随机变量函数的分布对连续随机变量X,分情况讨论Y=g(X)的分布:当g(x)严格单调时:定理2.6.1设X是连续随机变量,其密度函数为pX(x),y=g(x)严格单调,其反函数h(y)有连续导函数,那么Y=g(X)也是连续型随机变量,且其密度函数PY(y)=Px(吗1h(y)1a:y:二b其它其中a=ming(-0o),g()、b=maxg(-),g(+).证实：为求Y=g(X)的密度函数,先求其分布函数当y=g(x)为严格单调增函数时,它的反函数h(y)也是严格单调增函数,且h(y)0,由于当x取值于(3,依)时,y取值于(华(3),华(依),所以当y0时,有Y=kXGa(ct,Mk).定理2.6.5设*5*仪),假设Fx(x)为严格单调增的连续函数,那么Fx(X)-U(0,1)o当g(x)为其它形式时：