学而思高中题库完整版排列与组合.版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版

1、排列组合问题的常用方法总"W蚱知识内容1 .根本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事,完成它有n类方法,在第一类方法中有m界1不同的方法,在第二类方法中有m2种方法,在第n类方法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2Lmn种不同的方法.又称加法原理.乘法原理分步计数原理：做一件事,完成它需要分成n个子步骤,做第一个步骤有mi种不同的方法,做第二个步骤有m2种不同方法,做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nmim2Lmn种不同的方法.又称乘法原理.加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理

2、.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论根底,也是求解排列、组合问题的根本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用.2 .排列与组合排列：一般地,从n个不同的元素中任取m(mwn)个元素,根据一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)排列数：从n个不同的元素中取出m(mwn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A：表示.排列数公式：Amn(n1)(n

3、2)L(nm1),m,nN,并且m<n.全排列：一般地,n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列.n的阶乘：正整数由1到n的连乘积,叫作n的阶乘,用n!表示.规定：0!1.组合：一般地,从n个不同元素中,任意取出m(mwn)个元素并成一组,叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合.组合数：从n个不同元素中,任意取出m(m<n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号c：表示.组合数公式：n(n1)(n2)L(nm1)n!,m,nN,并且m<n.m!m!(nm)!组合数的两个性质：性质1：cmcnm；性质2：c,cmcm1

4、.规定co1排列组合综合问题解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1 .特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置；2 .分类分步法：对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.3 .排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.4 .捆绑法：某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素捆成一个元素,与其它元素进行排列,然后再给那幺捆元

5、素内部排列.5 .插空法：某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空.6 .插板法：n个相同元素,分成mmwn组,每组至少一个的分组问题把n个元素排成一排,从n1个空中选m1个空,各插一个隔板,有cnm11.7 .分组、分配法：分组问题分成几堆,无序.有等分、不等分、局部等分之别.一般地平均分成n堆组,必须除以n!,如果有m堆组元素个数相等,必须除以m!8 .错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当n2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算

6、,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.1 .排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径：元素分析法：以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置；间接法：先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件,防止选取时重复和遗漏；最后列出式子计算作答.2 .具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排；理解题意后进行合理和准确分类,分类后要

7、验证是否不重不漏；对于抽出局部元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复；对于元素相邻的条件,采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法；顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面.对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.的岷?典例分析直接法(优先考虑特殊元素特殊位置,特殊元素法,特殊位置法,直接分类讨论)【例1】从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会译、交通、礼仪三项义工活动,要求译有2人参加,交通和礼仪各有1人参加,那么不同的选派方法共有.【例2】北京?财富?全球论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待工作

8、.假设每天排早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,那么开幕式当天不同的排班种数为A.c14C2c8B.C12A42A4C.1244C14C12C8a3D.C12C42c8A3【例3】在平面直角坐标系中,x轴正半轴上有5个点,y轴正半轴有3个点,将x轴上这5个点和y轴上这3个点连成15条线段,这15条线段在第一象限内的交点最多有()A.30个B.35个C.20个D.15个【例4】一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球,从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种？假设取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种？【例5】一个口袋内装有大小相

9、同的7个白球和1个黑球.从口袋内取出3个球,共有多少种取法？从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法？从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?【例6】有12名划船运发动,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,其余5人既会划左舷也会划右舷.从这12名运发动中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛,有多少种不同的选法？【例7】假设xA,那么1A,就称A是伙伴关系集合,集合M1,0,12,3,4的x32所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为A.15B.16C.28D.25【例8】从6名女生,4名男生中,按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组,那么不同的抽取方法种数为.

10、a.c3c2B. C2C3C. C50D. A3A2【例9】某城市街道呈棋盘形,南北向大街北角,路程最短的走法有多少种.3条,东西向大街4条,一人欲从西南角走到东【例10】某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,假设规定从二楼到三楼用7步走完,那么上楼梯的方法有种.【例11】亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有5名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种？.板块七.排列组合问题的常用方法总结1.题库好学宫智【例12】设含有10个元素的

11、集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,那么T的值为SA20A.128B.生128C.12821D.128【例13】设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向正方向或负方向跳动一个单位,经过5次跳动质点落在点1,0允许重复过此点处,那么质点不同的运动方法种数为.【例14】从10名男同学,6名女同学中选3名参加体能测试,那么选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有种用数字作答【例15在AOB的边OA上有Ai,小,色,A4四点,OB边上有Bi,B2,B3,B4,B5共9个点,连结线段ABj1wiw4,1wj<5,如果其中两条线段不相交,那么称之为一对“和睦线

12、,和睦线的对数共有：A.60B.80C.120D.160【例16】从7名男生5名女生中,选出5人,分别求符合以下条件的选法种数有多少种？A、B必须中选；A、B都不中选；A、B不全中选；4至少有2名女生中选；选出5名同学,让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.【例17】甲组有5名男同学,3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.假设从甲、乙两组中各选出2名同学,那么选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有A.150种B.180种C.300种D.345种【例18】从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,那么甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同

13、选法的种数为A.85B.56C.49D.28【例19】4人参加某次社区效劳,如果要求至少有1某班级要从4名男生、2名女生中选派名女生,那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48【例20】要从10个人中选出4个人去参加某项活动,其中甲乙必须同时参加或者同时不参力口,问共有多少种不同的选法？【例21】有四个停车位,停放四辆不同的车,有几种不同的停法？假设其中的一辆车必须停放在两边的停车位上,共有多少种不同的停法？【例22】某班5位同学参加周一到周五的值日,每天安排一名学生,其中学生甲只能安排到周一或周二,学生乙不能安排在周五,那么他们不同的值日安排有A.288种B.72种C.42种D

14、.36种【例23】某班有30名男生,30名女生,现要从中选出5人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于2人的选法为221A. C30C20C46C.c5.C30c20C30c20B. C50C30C20D-C30c20C30c20【例24】用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足以下条件的四位数各有多少个数字1不排在个位和千位数字1不在个位,数字6不在千位.【例25】甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行讲笑话比赛,决出了第一到第五的名次,甲、乙两名参赛者去询问成绩,答复者对甲说：“很遗憾,你和乙都未拿到冠军,对乙说:“你当然不会是最差的.从这个答复分析,5人的名次排列共有用数

15、字作答种不同情况.【例26】某高校外语系有8名奥运会志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项好运北京测试赛的译工作,假设要求这3人中既有男生,又有女生,那么不同的选法共有A.45种B.56种C.90种D.120种【例27】用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为A.120B.72C.48D.36【例28】某电视台连续播放5个不同的广告,其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且两个奥运宣传广告不能连续播放,那么不同的播放方式有A.120种B.48种C.36种D.18种【例29】从6

16、人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中,甲、乙两人不去巴黎游览,那么不同的选择方案共有种用数字作答.【例30】从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,假设这3人中至少有1名女生,那么选派方案共有A.108种B.186种C.216种D.270种【例31】甲组有5名男同学,3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.假设从甲、乙两组中各选出2名同学,那么选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有A.150种B.180种C.300种D.345种【例32】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,那么不同的分

17、配方案有种用数字作答【例33】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有A.48个B.36个C.24个D.18个【例34】一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人,那么不同的安排方案共有()A.24种B.36种C.48种D.72种【例35】2位男生和3位女生共5位同学站成一排.假设男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,那么不同排法的种数为()A.36B.42C.48D.60【例36】从6名女生,4名男生中,按性别

18、采用分层抽样的方法抽取那么不同的抽取方法种数为.a.c3c2B. C2C3C. C505名学生组成课外小组,D. A3A2【例37】7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.假设每天安排3人,那么不同的安排方案共有种(用数字作答).【例38】给定集合An1,2,3,L,n,映射f:AnA满足：当i,jA,ij时,f(i)f(j)；任取mAn,假设m>2,那么有mf(1),f(2),L,f(m).那么称映射f:AnAn是一个优映射.例如：用表1表示的映射f:AA3是一个优映射表1表2If(i)I1234f(I)3表2表示的映射f:儿A4是一个优映射,请把表2补充完整只需填出一个

19、满足条件的映射；假设映射f:A0A.是优映射,且方程fII的解恰有6个,那么这样的优映射的个数是.I1234f(I)2314【例39】将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里,使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号,那么不同的放球方法共有种.【例40】将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,那么不同的放球方法有A.10种B.20种C.36种D.52种【例41】一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球,从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种？假设取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少

20、于7分的取法有多少种？【例42正整数aia2LanLa2n2a2ni(nN,n1)称为凹数,如果aia2Lan,且a2n1a2n2Lan,其中ai0,1,2,L,9(i1,2,L),请答复三位凹数ala2a3(ala3)共有个(用数字作答).【例43】2021年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事译、导游、礼仪、司机四项不同工作,假设其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,那么不同的选派方案共有A.36种B.12种C.18种D.48种【例44】某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、

21、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,那么不同的传递方案共有种.用数字作答【例45】某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,有5次出牌时机,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法？【例46】从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作,那么不同的选派方法有A.C7A10A5种B.A7C10P5种C.C10C7种D.C7A10【例47】12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,假设每个路口4人,那么不同的分配方案共有444A.C：2C：c4种B,3c：2C4c4种C.C：2C：a3种D,C12c8c4种A3【例

22、48】袋中装有分别编号为1,2,3,4的4个白球和4个黑球,从中取出3个球,那么取出球的编号互不相同的取法有A.24种28种C.32种36种.【例49】现有男、女学生共8人,从男生中选2人,从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案,那么男、女生人数分别是A.男生2人,女生6人B.男生3人,女生5人C.男生5人,女生3人D.男生6人,女生2人.【例50】将4个小球任意放入3个不同的盒子中,假设4个小球各不相同,共有多少种放法？假设要求每个盒子都不空,且4个小球完全相同,共有多少种不同的放法?假设要求每个盒子都不空,且4个小球互不相同,共有多少种不同的放法?【例51】将7

23、个小球任意放入4个不同的盒子中,每个盒子都不空,假设7个小球完全相同,共有多少种不同的放法？假设7个小球互不相同,共有多少种不同的放法？【例52】四个不同的小球,每球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中.随便放可以有空盒,但球必须都放入盒中有多少种放法？四个盒都不空的放法有多少种？恰有一个空盒的放法有多少种？恰有两个空盒的放法有多少种？甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？【例53】设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向正方向或负方向跳1个单位,假设经过5次跳动质点落在点3,0处(允许重复过此点),那么质点不同的运动方法共种；假设经过m次跳动质点落在点n,0处(允

24、许重复过此点),其中m>n,且mn为偶数,那么质点不同的运动方法共有种.【例54】设集合I1,2,3,4,5,选才iI的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,那么不同的选择方法共有()A.50种B.49种C.48种D.47种【例55】f是集合M1,2,3,4到集合N1,2,3的映射,g是集合N到集合M的映射,那么不同的映射f的个数是多少？g有多少？满足f(a)f(b)f(c)f(d)8的映射f有多少？满足fg(x)x的映射对(f,g)有多少？【例56】排球单循坏赛,胜者得1分,负者0分,南方球队比北方球队多9支,南方球队总得分是北方球队的9倍,设北方的球队数为x.试求北方

25、球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分；证实：x6或x8;证实：冠军是一支南方球队.【例57】集合A1,2,3,4,函数fx的定义域、值域都是A,且对于任意iA,fii.设ai,a2,a3,a4是1,2,3,4的任意的一个排列,定义数表为a2a3a4f(q)f(a2)f(a3)g,假设两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这是两张不同的数表,那么满足条件的不同的数表的张数为A.216B.108C.48D.24间接法直接求解类别比拟大时【例58】有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数？【例59】从

26、0,2,4中取一个数字,从1,3,5中取两个数字,组成无重复数字的三位数,那么所有不同的三位数的个数是A.36B.48C.52D.54【例60】以三棱柱的顶点为顶点共可组成个不同的三棱锥.【例61】设集合S1,2,3,L,9,集合Aai,a2,a3是S的子集,且a-a2,a3满足aia2a3,a3a2w6,那么满足条件的子集A的个数为A.78B.76C.84D.83【例62】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,那么不同分法的种数为A.18B.24C.30D.36【例63】某高校外语系有8名奥运会志愿者,其中有5名男生,3名女生,现

27、从中选3人参加某项好运北京测试赛的译工作,假设要求这3人中既有男生,又有女生,那么不同的选法共有A.45种B.56种C.90种D.120种【例64】对于各数互不相等的正数数组i1,i2,inn是不小于2的正整数,如果在pq时有ipiq,那么称“ip与iq是该数组的一个“顺序,一个数组中所有“顺序的个数称为此数组的“顺序数.例如,数组2,4,3,1中有顺序“2,4,“2,3,其“顺序数等于2.假设各数互不相等的正数数组a1,a2,a3,a4,a§的“顺序数是4,那么为,a,a3,a2,Q的“顺序数是.【例65】集合A5,B1,2,C1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,那么确定的不同点的个数为A.33B.34C.35D.36【例66】甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,假设每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,那么不同的站法种数是用数字作答.【例67】设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入5个盒子内,只有一个盒子空着,共有多少种投放方法？没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法？每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法？【例68】在排成44的方阵的