高数公式与定义高级版

1、第一章 函数、极限和连续一、 函数：五大类基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数反函数（与原函数关于Y=X相对称）三角函数：正割函数，余割反三角函数：（收敛） （发散） （收敛） （发散）收敛的界限是（-1,1）函数特性：单调性 奇偶性 有界性 周期性二、 极限1、 数列的极限（收敛·发散）收敛数列的性质（唯一·有界·保号·）Ps:函数化简到哪一步可以带数值？（化简到只余一个X项或上下X的次数一致）2、 函数的极限·极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等·函数极限的性质（唯一·局部有界·局部保号）·夹

2、逼准则·单调有界函数必有极限（1） 两个重要极限··（2） 无穷小： ·当（或）时的极限为零 高阶，低阶，同阶，等价无穷小的性质：（1）有限个无穷小的和是无穷小（2）常数与无穷小的乘积是无穷小（3）有限个无穷小的乘积是无穷小（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小等价无穷小：·时······Ps:无穷小可以在使用，无论、还是三、 连续1.连续条件：·自变量变化量趋于零函数值变化量也趋于零·2. 间断点：第一类，左右极限都存在；可去间断点，跳跃间断点第二类无穷间断点，振荡

3、间断点一切初等函数在定义区间内都连续。闭区间上连续函数的性质：·零点定理：方程根的存在性·有界性和最值定理第二章 导数与微分一、 相关概念1、 导数的两大定义式；··2、 左右导数；·函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在并且相等3、 几何意义；·切线方程：；·法线方程：4、 可导与连续的关系。·如果函数在点处可导，则在点处必连续，但反之不一定成立，即函数在点处连续，它在该点不一定可导可以看课本27页注释理解5、16个基本导数公式，4个求导法则二、 六大类函数求导1、 复合函数求导；2、 隐函数求导；&

4、#183;求导两法1方程两边对求导，求导时要把看作中间变量 2. 3、 参数方程所确定的函数求导；· 4、 幂指函数求导；·复合求导法·对数求导法5、 分段函数求导；6、 抽象函数求导。三、 微分1、 概念；可微·可微必可导，可导必可微·微分公式与导数公式基本相同，只是多了单位dx2、 复合函数微分法则第三章 微分中值定理与导数的应用一、 微分中值定理·拉格朗日和罗尔的共同条件： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导；罗尔定理：驻点（3）在区间端点处的函数值相等，即， ·即两个值相等 那么在内至少有一点（），使得拉格

5、朗日中值定理：内至少有一点（） ·即必有一个值在某瞬间变化量为0（拉格朗日是罗尔定理的补充）·两个重要推论： ·如函数在区间上导数恒为零，那么它在区间上是一个常数 ·与在区间内的导数恒有 则这两个函数在 内至多相差一个常数二、 洛必达法则·需要的条件：（1）当零或无穷时，函数及都趋于零；（2）在点的某个去心邻域内及都存在且；（3）存在（或为无穷大），可应用 两种类型还有三种应用方法P46三、 单调性和凹凸性单调性：求单调区间；（关键：找驻点和不可导点）求极值；可导函数的极值点必定是它的驻点但反过来，函数的驻点却不 一定是极值点。Ps:不可导点也

6、可能是极值点；定义域有限制时，极值也可能在边界上。 对应拐点是一个点（X,Y） 证明不等式；证明方程根的唯一性。 极值的第一充分条件（就是判定左正右负来判定极大极小） 第二充分条件： 在处取得极大值 在处取得极小值 凹凸性： ·（1）若在内，则在上的图形是凹的； （2）若在内，则在上的图形是凸的 凹凸区间； 拐点：令，解出这方程在区间内的实根，并求出在区间内不存在的点四、 渐近线1、 水平渐近线2、 垂直渐近线3. 斜渐近线若（），则就是函数的斜渐近线.（变量的趋向也可为或） Ps:即斜渐近线有两种第四章 不定积分一、 原函数与不定积分的概念；·函数的带有任意常数项的原函数

7、称为（或）在区间上的不定积分，记作（13+2）原函数；被积函数；积分变量；x不定积分的性质： · · 二、 计算1、（第一类换元法）凑微分法（12种见高数公式）2、第二类换元法（常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式）（1）当被积函数中含有，可令；（2）当被积函数中含有，可令；（3）当被积函数中含有，可令；3、分部积分法 （一）4小题 （二）2小题？ （三）1小题1.2.3. 即 注意事项： 如被积函数为幂函数和 正（余）弦函数/指数函数，分部积分设幂函数为u 目的：降幂 如被积函数为幂函数和对数函数/反三角函数，则设后两者为u 目的：化为x简单根式的积分第五章 定积分一

8、、 定积分的相关概念和性质 ·什么是定积分 a积分下限，b积分上限 叫做积分区间说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关推理：在区间上连续，则在上一定可积；若在上可积，则在区间上不一定连续，故函数在区间上连续是在上可积的充分非必要条件Ps：在区间上有界，且只有有限个间断点，同样可积。几何意义：面积的代数和 区间上函数时，是由、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积，曲边梯形位于轴的下方，表示面积的负值既取得正值又取得负值时，此时定积分表示轴上方图形的面积减去轴下方面积所得之差比较性质： ·定积分对于积分区间的可加性 定积分的中值定理· （）（类似拉格朗日）

9、83;称为函数在区间上的平均值二、 关于计算方面的内容1、 定积分的计算； ·牛顿莱布尼茨公式 定积分的还原法和分部积分法 · 定积分的换元法 设函数在区间上连续，函数满足条件： （1），； （2）在（或）上具有连续导数，且其值域，则有（原函数的定义域是新元的值域） ·定积分的分部积分法： （参照不定积分的分部积分法） ·定积分的两个简便公式 1. 若在上连续且为奇函数，则；若在上连续且为偶函数，则 第二个看不懂+_+2、 积分上限的函数；（1） 变上限定积分； ·并且设为上的一点 ,在区间上连续 由 变为 （）变dx为dt（2） 求导运算；&

10、#183;1. （） ·2.对于积分上限函数的复合函数，求导法则可按下述公式进行：积分下限函数： 积分上下限均有函数： 定积分的性质见高数公式3、 广义积分（反常积分）（即在无穷上有确切值）（1） 无穷限的广义积分； ·分为三种情况函数在无穷区间/上的反常积分：举例：存确切值则收敛，无则发散计算方法同上；（2） 无界函数的广义积分（瑕积分）？ 无界间断点，瑕点？ 4、 用定积分求面积和体积平面图形的面积：·型区域 由y=f(x)与y=g(x)和两条x=?组成 型区域 由x=f(y)与x=g(y）与两条y=?组成 要求：（）或（） 旋转体的体积： ·1.绕

11、x轴旋转的体积 2.绕y轴旋转的体积 相当于面积乘以高第六章 微分方程一、 相关概念定义：未知函数，未知函一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，数的导数，自变量；阶，解：如果函数满足一个微分方程，则称它是该微分方程的解通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同时初始条件： 当自变量取某值时，要求未知函数及其导数取给定值，这种条件称为初始条件特解：满足给定初始条件的解 二、 四类方程1、 可分离变量的微分方程；2、 一阶线性微分方程；1. 一阶齐次线性： 通解 ：2. 一阶非齐次线性的 通解： 区别：Q(X)是否为零3、 二

12、阶常系数齐次线性微分方程·当时，方程 称为二阶常系数齐次线性微 分方程。定理1 若 、 是齐次线性方程 的两个解，则 也是它的解，且当 与 线性无关时， 是其通解定理2 若为非齐次线性方程的某个特解，为对应的齐次线性方程的通解，则为非齐次线性方程的通解 二阶常系数齐次线性微分方程的通解考查特征方程，设、为其两个特征根，则1. 不相等的实根（、为任意常数）2. 相等的实根3. 共轭复根 其中，4、 二阶常系数非齐次线性。·这里只考虑这一种形式（、为常数，为关于的次多项式）.定理1同上定理2定理2：定理1中的的形式一定为（求最终特解可能用到待定系数法），其中即为原非齐次方程中的

13、，是与同次的多项式（一般不相等），中的是常数，且只能取三个数中的一个，按如下规则取值当特征方程的根是： 非根，k=0; 单根，k=1； 二重根k=2.（单根是只有一个,与其他跟都不相同的根，二重根是有两个根相同）如：x2-1=0 有两个单根 x2=0 有一各二重根 x2(x2-1)=0 有一个二重根,两个单根）第八章 多元函数微分学一、二元函数，三元函数二元函数的定义域：平面区域（平面点集），图形空间曲面三、 求偏导数；求全微分；变量的对称性四、 二元隐函数求偏导数；五、 二元函数的极值。第九章 二重积分一、 相关概念面积元素，积分区域：平面闭区域曲顶柱体的体积二次积分,累次积分交换积分次序二

14、、 计算（直角坐标系中的计算）极坐标系第十章 无穷级数一、 无穷级数的定义，分类，常数项无穷级数函数项无穷级数：幂级数 收敛，发散；收敛级数三大性质（1,2,5）；三大级数：调和级数，等比级数（几何级数），p-级数二、 正项级数审敛法1、比较审敛法；2、比较审敛法的极限形式；3、比值审敛法；阶乘4、根值审敛法三、 交错级数（莱布尼茨定理）四、 绝对收敛，条件收敛五、 幂级数1、 相关概念；收敛点，发散点收敛域，发散域收敛区间，收敛半径R和函数第七章 向量代数与空间解析几何一、 向量1、 相关概念：大小，方向模：向量的大小称为向量的模，记为或单位向量，零向量（向量即为空间中两点之差）空间直角坐标系（三维）坐标的两种表示方法：或正交，方向角，方向余弦平行的充要条件：1. 向量与非零向量平行的充要条件是存在一个实数，使得2. ，3. 或 垂直的充要条件： 或 2、向量的运算·1.线性运算：加法，减法，数乘 2.数量积（点乘积） 3.向量积（叉乘积）计算方法见高数公式右手法则二、空间曲面和曲线三、平面及其方程1.点法式方程2.一般式方程 （， 不同时为零）3.截距式方程 （， 均不为零）4.两平面之间的关系（看法向量n1与n2） 设有两个平面和 ·，即 ,则两平面平行。 · ，即 ，则两平面垂直。 · 两平面夹角即两法向量夹角， ， 四、（