第三章 第六节 Gauss型求积公式

1、第六节第六节 Gauss型求积公式型求积公式 一、问题的提出一、问题的提出 三、三、 常用的常用的Gauss型求积公式型求积公式二、二、 Gauss型求积公式的构造型求积公式的构造四四 Gauss型求积公式的余项型求积公式的余项一、问题的提出一、问题的提出 为了一般性，考虑积分为了一般性，考虑积分 baIx f x dx（6.1) 何普通积分何普通积分 ，都可写成，都可写成 其中，其中， 为权函数，当为权函数，当 时，即为普通积时，即为普通积分。对任分。对任 ( ) x( )1x( )bag x dx( )( )( )bag xxdxx 1().nbkkakx f x dxA f x（6.2）

2、 n()fx从而都可化成（从而都可化成（3.1）形式的积分。）形式的积分。对于（对于（3.1）中的）中的 ，用，用 个不等距节点个不等距节点 作插值，则可得到作插值，则可得到12,nx xx其中其中 bnkaknkxAxdxxxx 它不依赖于函数它不依赖于函数 ,但可以依赖于权函数但可以依赖于权函数 。由于代数精。由于代数精度的次数是积分公式近似程度的一种量度，所以对于包含同度的次数是积分公式近似程度的一种量度，所以对于包含同样节点数的积分公式，自然希望采用一种准确度次数比较高样节点数的积分公式，自然希望采用一种准确度次数比较高的积分公式。因为这样可以用同等的代价，获得较高近似度的积分公式。因

3、为这样可以用同等的代价，获得较高近似度的计算结果。于是提出如下问题：的计算结果。于是提出如下问题： ( )f x( ) x 1110mmmmmPxa xaxa xa12,nA AA能否选择能否选择 个节点个节点 和和 个系数个系数 ，使得求，使得求积公式（积公式（6.2）具有尽可能高的代数精度？）具有尽可能高的代数精度？12,nx xxnnn 为了回答这个问题，先固定为了回答这个问题，先固定 值，并设（值，并设（6.2）的代数精）的代数精度为度为m（待定），即设（待定），即设（6.2）对所有的）对所有的 次多项式次多项式mn是准确的。于是有是准确的。于是有 1nbmkmkakx Px dxA

4、Px即即 10bbbmmaaaaxx dxaxx dxax dx11101()nmmkmkmkkkA a xaxa xa（6.3） 令令 biiaxx dx则（则（6.3）成为）成为1100mmaaa（6.4） 11101111nnnnmmmkkmkkkkkkkkkaA xaA xaA xaA由于系数由于系数 是任意的，故使（是任意的，故使（6.4）成立的）成立的充要条件是充要条件是110,mmaaa a1201 12 212221 12 221 12 2nn nn nmmmn nmAAAAxAxAxAxAxAxAxAxAx（6.5） 这是一个具有这是一个具有 个未知数，个未知数， 个方程的方

5、程组个方程的方程组 ，2n1m21mnkx 当当 时，方程组（时，方程组（6.5）是可解的。）是可解的。 因此确实可以因此确实可以 找到一组找到一组 和和 使求积公式（使求积公式（6.2）的代数）的代数 精度从精度从 次提高到次提高到 次。次。(1,2, )kA kn1n21n定义定义2 若对于次数若对于次数 的多项式的多项式 ，关系式，关系式 21n( )f x 1nbkkakx f x dxA f x（6.6） 为恒等式，则称（为恒等式，则称（6.6）为）为Gauss型求积公式型求积公式，相应节点，相应节点 称为称为Gauss型点型点。12,nx xx 显然，由方程组（显然，由方程组（6.

6、5）就可以把）就可以把Gauss型求积公式型求积公式的节点和系数求出来。但在一般情况下，要解这个方程的节点和系数求出来。但在一般情况下，要解这个方程组是相当困难的，下面我们给出一种行之有效的方法。组是相当困难的，下面我们给出一种行之有效的方法。二、二、 Gauss型求积公式的构造型求积公式的构造先从一个简单例子入手先从一个简单例子入手 对任何三次多项式对任何三次多项式 精确成立。精确成立。230123( )f xaa xa xa x 解：解： 以以 除除 得得12()()xxxx( )f x 011201121.f xxxxxxxqxxr x于是，于是， 111121111f x dxqxx

7、dxr x dx 111221f x dx Af xAf x（6.7） 1,112,x x( )1x例例4 取取 ，积分区间，积分区间 为，求为，求 和和 使使 12,A A由于由于 1111221r x dxAr xA r x而而 1211,1,2kkkkkf xqxxr xr xk从而有从而有 1111221r x dxA f xA f x故要使故要使 111221f x dxA f xA f x必须有必须有 11210qxx dx（6.8）也就是说，当节点满足条件（也就是说，当节点满足条件（6.8）时，能使（）时，能使（6.7）式）式 精精 确成确成立。立。 由于由于 是任意三次多项式是

8、任意三次多项式 ， 所以所以 是任意一次多是任意一次多项式，据正交多项式的性质知，任意一个一次多项式都与二项式，据正交多项式的性质知，任意一个一次多项式都与二 次次Legendre多项式在多项式在 上带权正交，又因为上带权正交，又因为 是最高是最高次项系数为次项系数为1的多项式，故（的多项式，故（3.8）中的）中的 应取为应取为( )f x1q 1,12( )x2( )x 2212222 13133 2xxxxxP xx 就是二次就是二次Legendre多项式的根，即多项式的根，即 12,x x1213xx 12,A A 求出节点后，可利用求积公式（求出节点后，可利用求积公式（6.7）确定）确

9、定 。为此，。为此， 取取 ( )1,( ),f xf xx则有则有 112111 12 2120A AdxAxAxxdx解得解得 121.AA 故求积公式（故求积公式（3.7）变成）变成 111133f x dxff 此式对于任何不高于此式对于任何不高于3次的多项式次的多项式 都准确成立。这都准确成立。这 就是就是 时的时的Gauss-Legendre求积公式求积公式。( )f x2n kx 下下 面面 讨讨 论论 一一 般般 情情 形形 。即。即 求求 节节 点点 和和 系系数数 ，使，使 求求 积积 公公 式式(1,2, )kA kn 1nbkkakx f x dxA f x对任何不高于

10、对任何不高于 次的多项式次的多项式 都准确。都准确。 21n( )f x 令令 12nnxxxxxxx取取 ，用，用 除除 得得210121( )nnf xaa xax( )nx( )f x 11.nnnf xqxxrx于是于是 11( )bbbnnnaaax f x dxx qxx dxx rx dx由于由于 111nbnk nkakx rx dxA rx而而111,knknknknkf xqxxrxrx从而有从而有 11nbnkkakx rx dxA f x故要使故要使 1nbkkakx f x dxA f x必须有必须有 10bnnax qxx dx即任意即任意 次多项式次多项式 与与

11、次多项式次多项式 在在 上上关于权函数关于权函数 正交。因此有正交。因此有1n1( )nqxn( )nx , a b( )x12,nx xx 定理定理3 Gauss求积公式求积公式(6.6)的的n个节点个节点 是是 上关于权上关于权 的的 次正交多项式次正交多项式 的的 个根个根. , a b( )xn( )nxn 我们知道我们知道,对于某些固定的权函数及积分区间对于某些固定的权函数及积分区间, 都有相都有相应的正交多项式应的正交多项式,只是与只是与 相差一个常数相差一个常数,它们的根就是它们的根就是Gauss型求积公式的节点。当正交多项式及其根值确定之型求积公式的节点。当正交多项式及其根值确

12、定之后，随之便可确定系数后，随之便可确定系数 。可以证明。可以证明( )nxkA 定理定理4 Gauss型求积公式的系数皆为正，且型求积公式的系数皆为正，且 2221bnkaknkxxAdxxxx（6.9） 证明证明 由于由于 与与 的表达式无关，从而可取的表达式无关，从而可取kA( )f x 2nkf xxxx（6.10） 这是一个次数为这是一个次数为 次的多项式，并且容易看出次的多项式，并且容易看出22n20,jnkjkfxxjk 由于由于Gauss公式对其精确成立，故得公式对其精确成立，故得 2221jnbbnnjknkaajkkx xxxx f x dxxdxAAxxxxx因为因为 0

13、,bax f x dx所以所以 210bkankAx f x dxx最后将（最后将（6.10）式代入，便得到公式（）式代入，便得到公式（6.9） 三、三、 常用的常用的Gauss型求积公式型求积公式 由于正交多项式随权函数不同而异，所以有各种各样的由于正交多项式随权函数不同而异，所以有各种各样的Gauss型求积公式。型求积公式。1、GaussLegendre求积公式求积公式GaussLegendre求积公式是相应于求积公式是相应于 时的时的求积公式：求积公式：( )1, , 1,1xa b 111nkkkf x dxA f x（6.11）其中其中 11.nkknkxAdxxxx12( )()(

14、)()nnxxxxxxx是在是在 上的上的 次正交多项式。我们知道，次正交多项式。我们知道，Legendre多项式多项式 1,1n 22!2!nnnnP xxn在在 上正交，从而可取上正交，从而可取 为为 1,1( )nx 22!2 !nnnnxP xn这时这时Gauss型求积公式（型求积公式（6.11）的节点）的节点 即为即为 的根，的根，其求积系数为其求积系数为( )nP x 1111nnkknkknkxP xAdxdxxxxxxP x直接用这个公式来计算直接用这个公式来计算 比较困难，事实上，我们比较困难，事实上，我们可以得到更简便的系数公式。只要取可以得到更简便的系数公式。只要取kA

15、,nnkP xf xP xxx则有则有 112111nnnjjnkjkPxfx dxpx dxA fxA Pxxx注意到注意到 1212,1nnkkP xP x dxxxx便可得到便可得到2221kknkAxP x（6.12） 2 GaussChebyshev求积公式求积公式当权函数当权函数 积分区间积分区间 时，有时，有GaussChebyshev求积公式求积公式122( )(1)xx , 1,1a b 1211.1nkkkf xdxA f xx（6.13） 其中其中 为为 次次Chebyshev多项式多项式 的根，即的根，即 kxn( )nT x21cos,1,2, .2kkxknn （6

16、.14）因为此时因为此时 12nnnxTx从而有从而有 11221111111nnkknknkkTxTxAdxdxxxTxTxxxxx01cos1cosnknkknkTxndTxxTxnn（6.15） 这样，（这样，（6.12）式成为）式成为公式（公式（6.16）的最大优点是求积系数都相同。这在应用）的最大优点是求积系数都相同。这在应用时可以减少时可以减少 次乘法运算。次乘法运算。1n 1211.1nkkf xdxf xnx(6.16) 四四 Gauss型求积公式的余项型求积公式的余项 定理定理5 若若 在在 内内 次连续可微，则次连续可微，则Gauss型求积公式的余项表达式为型求积公式的余项

17、表达式为( )f x , a b2n 226.172 !nbnafE fxxdxn其中其中 12,.nnabxxxxxxx证明证明 若给定若给定 在在 个互异节点个互异节点 处的处的函数值及导数值，可作出一个次数函数值及导数值，可作出一个次数 的多项式的多项式 使得使得 ( )f xn12,nx xx21n21( )nHx212,nkknkkHxf xHxfx并且并且 2221,2!nnnff xHxxa bn于是有于是有 22212!nbbbnnaaafx fx dxx Hx dxxxdxn（6.18） 而而 212111,nnbnknkkkakkx Hx dxA HxA f x从而得从而得

18、 22112!nbbnkknaakE fx f x dxA f xx fxdxn 由于由于 ，且因，且因 ，故依积分中，故依积分中值定理可得值定理可得(2 )( ) , nfxC a b2( )( )0nxx (2 )22!nbnafE fxxdxn证毕。证毕。由定理由定理6，不难得到，不难得到GaussLegendre求积公式的余求积公式的余项表达式为项表达式为 421232!,1,16.19212!nnnE ffnn GaussChebyshev求积公式的余项表达式为求积公式的余项表达式为 221,1,122!nnE ffn （6.20） 例例5 利用利用 时的时的GaussLegendre