科研训练-基于MATLAB的直线一级倒立摆仿真系统研究

1、科研训练论文科研训练结题报告名称：基于MATLAB的直线一级倒立摆仿真系统研究小组成员:指导教师：关于一节倒立摆系统的研究，有着各种各样方式予以仿真并研讨，其中MATLAB进行研究成为越来越大众研究方式。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、 非线性系统。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。本次设计就是针对直线一级倒立摆系统进行研究。运用MATLAB中的Simulink仿真工具，建立起直线一级倒立摆系统的仿真模型，并对仿真模型进行封装及添加PID控制器，使最终的仿真控制模型能够符合设计要求。关键字 MATLAB软件；倒立摆系统；P

2、ID控制器；封装子系统Title Research on simulation system of linear single inverted pendulum based on MATLABAbstractThe research on an inverted pendulum system has been simulated and studied in a variety of ways, among which, MATLAB has become an increasingly popular research method.Inverted pendulum control s

3、ystem is a complex, unstable, non - linear system. Inverted pendulum control problem is to make the pendulum as soon as possible to reach a balance position, and so there is no large oscillation and excessive angle and speed. This design is for a straight line inverted pendulum system for research.

4、The simulation model of the inverted inverted pendulum is established by using the Simulink simulation tool in MATLAB. The simulation model is encapsulated and the PID controller is added to make the final simulation - control model meet the design requirements. Keywords MATLAB software; inverted pe

5、ndulum system; PID controller; package subsystem1.直线一级倒立摆问题简介61.1背景简介【1】61.2软件特性61.3设计要求分析62. 数学模型的建立72.1 倒立摆受力分析72.2 微分方程的推导83.Simulink仿真模型93.1 Simulink仿真简介【2】93.2 初次模型搭建103.3 二次模型搭建113.4 二次模型优化123.5最终仿真模型及仿真结果134.封装子系统194.1 封装子系统简介194.2 封装子系统设置205. PID控制205.1 PID控制理论205.2 基于SIMULINK的PID控制器设计225.3

6、PID参数的确定246. 成果汇总与分析317. 经验总结与心得体会32参考文献321.直线一级倒立摆问题简介1.1背景简介【1】倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、 非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、 鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置

7、。倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。

8、倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，本次实验采用的是直线一级倒立摆。 1.2软件特性 倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性: 1）非线性 2）不确定性 3）耦合性4）开环不稳定性 5）约束限制 倒立摆控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器，本小组采用的控制方法有：PID 控制。1.3设计要求分析通过对倒立摆系统的原始模型进行适当简化，开展了控制特性分析以及可控性研究，提出合理的控制策略和高精度控制算法设计的研究方案。在我

9、们的 方案中通过pid控制器实现将偏差的比例，积分，和微分通过线性组合构成控制量，对要运行的对象进行控制。同时运用封装子系统对系统进行读单独的包装进而实现参数的修改更为方便，内部结构也不易被修改。2. 数学模型的建立2.1 倒立摆受力分析在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示。 图2.1-1 直线一级倒立摆系统我们不妨做以下假设：为小车质量、为摆杆质量、为小车摩擦系数、为摆杆转动轴心到杆质心的长度、为摆杆转动惯量、为加在小车上的力、为小车位置、为摆杆与垂直向上方向的夹角、为摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。下图是系

10、统中小车和摆杆的受力分析图。 图2.1-2（a）小车隔离受力图 图2.1-2（b）摆杆隔离受力图 其中，和为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向：2.2 微分方程的推导 在SIMULINK中对该模型建模是具有挑战性的，因为小车和摆杆之间的是物理约束（铰接），这减少了系统的自由度。小车和摆杆都具有一个自由度（分别是和）。我们将运用牛顿第二运动定理（）来对这两个自由度建立微分方程，如下所示。 为了建立完整的系统动态模型，方程中必然包含下车和摆杆间的相互作用力和。通常，我们是利用仿真软

11、件的建模能力来解决该代数问题的。因此，我们将建立摆杆和分量的方程，如下所示。 由于位置坐标和是的精确函数，因此我们用含有导数的式子来表示它们的导数。最后把以上方程代入之前求出的和的方程中，得到如下形式的方程：注：在模型中，以Nx表示N，以Ny表示P。现在我们可以在SIMULINK中表示这些方程了。由于SIMULINK可以直接求解非线性方程，所以没有必要再对方程进行线性化处理了。 3.Simulink仿真模型3.1 Simulink仿真简介【2】Simulink是一种强有力的仿真工具，它能让使用者在图形方式下以最小的代价来模拟真实动态系统的运行。Simulink准备有数百种福定义的系统环节模型、

12、最先进的有效积分算法和直观的图示化工具。依托Simulink强健的仿真能力，用户在原型机制造之前就可建立系统的模型，从而评估设计并修复瑕疵。Simulink具有如下的特点： （1）建立动态的系统模型并进行仿真。Simulink是一种图形化的仿真工具，用于对动态系统建模和控制规律的研究制定。由于支持线性、非线性、连续、离散、多变量和混合式系统结构，Simulink几乎可分析任何一种类型的真实动态系统。 （2）以直观的方式建模。利用Simulink可视化的建模方式，可迅速地建立动态系统的框图模型。只需在Simulink元件库中选出合适的模块并施放到Simulink建模窗口，鼠标点击连续就可以了。S

13、imulink标准库拥有超过150中，可用于构成各种不同种类的动态模型系统。模块包括输入信号源、动力学元件、代数函数和非线性函数、数据显示模块等。Simulink模块可以被设定为触发和使能的，用于模拟大模型系统中存在条件作用的子模型的行为。 （3）增添定制模块元件和用户代码。Simulink模块库是可制定的，能够扩展以包容用户自定义的系统环节模块。用户也可以修改已有模块的图标，重新设定对话框，甚至换用其他形式的弹出菜单和复选框。Simulink允许用户吧自己编写的C、FORTRAN、Ada代码直接植入Simulink模型中。 （4）快速、准确地进行设计模拟。Simulink优秀的积分算法给非线

14、性系统仿真带来了极高的精度。先进的常微分方程求解器可用于求解刚性和非刚性的系统、具有时间触发或不连续的系统和具有代数环的系统。Simulink的求解器能确保连续系统或离散系统的仿真速度、准确地进行。同时，Simulink还未用户准备一个图形化的调试工具，以辅助用户进行系统开发。 （5）分层次的表达复杂系统。Simulink的分级建模能力使得体积庞大、结构复杂的模型构建也简便易行。根据需要，各种模块可以组织成若干子系统。在此基础上，整个系统可以按照自定向下或自底向上的方式搭建。子模型的层次数量完全取决于所构建的系统，不受软件本身的限制。为方便大型复杂结构系统的操作Simulink还提供了模型结构

15、浏览的功能。 （6）交互式的仿真分析。Simulink的示波器可以动画和图像显示数据，运行中可调整模型参数进行What-if分析，能够在仿真运算进行时监视仿真结果。这种交互式的特征可以帮助用户快速的评估不同的算法，进行参数优化。 由于Simulink完全集成于MATLAB，在Simulink下计算的结果可以保存到MATLAB工作空间之中，因而就能使用MATLAB所具有的众多分析、可视化及工具箱工具操作数据。基于上述原因，本次科研训练，我们小组在老师的建议下，选择了Simulink作为我们此次搭建模型的工具。可以说，Simulink很好的满足了我们此次的设计要求，简化了设计步骤，提高了我们的工作

16、效率。并且，在中途的调试，最终输出仿真结果时，Simulink都呈现出了更为优秀的效果。3.2 初次模型搭建 由于对Simulink中的各种模块了解的不够，进行初次模型搭建时，并没有能够找到合适的方法来表达微分方程。因此第一次搭建的模型只用了最基础的Sum、Gain、Product、Integrator等模块。虽然没有出现大的差错，但是仿真系统非常原始，仿真的效率不高，精度也难以评定。图3.2-1这种大量运用这些模块的后果，就是整个模型看起来非常混乱，给后期的整理、检查和修改增添了很大的难度。并且这种模型调试改进的空间也不大，不具备实用价值。所以最终我们并没有将这个模型作为我们最终模型的基础，

17、也没有浪费时间去运行调试这个模型，而是仅仅通过搭建该模型来锻炼根据微分方程搭建模型，熟悉Simulink工作环境，美化模块布局的能力。3.3 二次模型搭建有了第一次搭建模型的经验和教训后，面对这一次的模型搭建我们做好了更为充分的准备。在更加深入的了解了Simulink模块库中的各个模块的功用后，我们决定选择Fcn与Mux模块作为主体来表达微分方程。在变量的定义上，把原来容易在Simulink中引起歧义的角度“fi”和转动惯量“I”改为用角度“theta”和转动惯量“J”来代替。这样不仅不会再混淆变量，还可以让原来的微分方程式看起来更为整洁。由于运用了Fcn模块和Mux模块，模型看起来更加的简洁

18、明了，便于后续的检查与修改。图3.3-1此次的模型的搭建比较成功，完善的表达出了各个微分公式的结构，但是没有考虑到施加力的脉冲信号如何生成和输入，参数的设置也只能靠在代码区输入代码来添加到工作区中，应用和调整都有诸多不便。3.4 二次模型优化 对于上一次模型，我们能够肯定它在仿真时完成任务，但是对数据的输入输出的显示、调试及修改比较不友好。另外我们需要考虑怎样生成一个力的脉冲信号来模拟对倒立摆施加扰动。图3.4-1经过思考、实践，我们最终选用两个Step模块相减来来生成一个里的脉冲信号。用这样的方法，我们可以很方便的调节脉冲信号的大小和作用时间，达到我们想要的扰动效果。为了更方便调试模型和检查

19、仿真结果，加入Scope模块来对x和theta进行监视。相较于上一个模型，这次的模型无疑是更加容易使用了。3.5最终仿真模型及仿真结果考虑到模型完成后需要进行封装，之前直接在工作区内为各个参数赋值不可取，也不能很方便地对参数进行修改。因此我们决定，在模型中引入Constant模块，来将各个参数导入它们参与的微分方程中，这样既使得赋值和修改更加的简单和快捷了，也不会对封装和控制造成困扰。theta角度的初值theta0的设置方法也需要进行调整，由在积分器模块中设置，变更为在积分器打开的初值端口出链接一个Constant模块进行设置。另外为了显示起来更加简单直观，也为了进行PID控制时更加方便，还

20、是决定将theta减去pi变为fi 之后再输出到子系统之外。最终模型参数：小车质量 = 1 kg；摆杆质量 = 0.4 kg；小车摩擦系数 = 0.2 N/sec；摆杆转动轴心到杆质心的长度 =0.3 m；摆杆转动惯量 (模型图中表示为J）= 1 kg·m²；加在小车上的力 ；为小车位置；为摆杆与垂直向上方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向上）；为摆杆与垂直向上方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向上）。图3.5-1四个FCN模块：xddot图3.5-2thetaddot图3.5-3Nx(N)图3.5-4Ny(P)图3.5-5以下各图中，横坐标为时间t，单位为s纵坐标从上

21、至下依次为外力F、位移x、摆杆与竖直方向夹角，单位分别为N、m、rad。图3.5-6图3.5-7图3.5-8从仿真的效果来看，最终的模型能够很好地模拟倒立摆的平衡状态（图1），受到轻微扰动后的运动（图2）和初始状态摆杆有微小倾角的运动（图3）。倒立摆系统的仿真工作圆满完成。4.封装子系统4.1 封装子系统简介 （1）子系统的封装的意义 子系统封装技术可以让一个子系统有自己的特点。封装后的子系统可以有自己的图标、自己的参数和具有功能描述的控制对话框，甚至自己的help文档，同时参数的修改更为方便（不用深入子系统，只需在对话框中修改便可），内部结构也不易被修改。（2）什么是子系统的封装所谓子系统的

22、封装，就是为子系统定制对话框和图标，使子系统本身有一个独立的操作界面，把子系统中的各模块的参数对话框合成一个参数设置对话框，在使用时不必打开每个模块进行参数设置，这样使子系统的使用更加方便。 子系统的封装过程很简单，先选中所要封装的子系统，再选择模型编辑窗口Edit菜单中的Mask subsystem命令，这时将出现封装编辑器(Mask Editor)对话框。 Mask Editor对话框中共包括4个选项卡：Icon、Parameters、Initialization和Documentation。子系统的封装主要就是对这4页参数进行设置。4.2 封装子系统设置 Simulink 子系统有两种方

23、法：（1）对已经存在的模型的某些部分或全部使用菜单命令【Edit>Creat Subsystem】将你性压缩转换，使之成为子系统；（2）使用 Subsystems 模块库中的 Subsystem 模块直接创建子系统。 Simulink 子系统的两种作用：系统模型更加简捷和可读性高；（2）子系统可以反复调用，节省建模时间。5. PID控制5.1 PID控制理论【3】 当今的闭环自动控制技术都是基于反馈的概念以减少不确定性。反馈理论的要素包括三个部分：测量、比较和执行。测量关键的是被控变量的实际值，与期望值相比较，用这个偏差来纠正系统的响应，执行调节控制。在工程实际中，应用最为广泛的调节器控

24、制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制，又称PID调节。PID控制器（比例-积分-微分控制器）是一个在工业控制应用中常见的反馈回路部件，由比例单元P、积分单元I和微分单元D组成。PID控制的基础是比例控制；积分控制可消除稳态误差，但可能增加超调；微分控制可加快大惯性系统响应速度以及减弱超调趋势。 这个理论和应用的关键是，做出正确的测量和比较后，如何才能更好地纠正系统。PID（比例（proportion）、积分（integral）、导数（derivative）控制器作为最早实用化的控制器已有近百年历史，现在仍然是应用最广泛的工业控制器。PID控制器简单易懂，使用中不需精确的系统模型等先决条

25、件，因而成为应用最为广泛的控制器。PID控制由比例单元（P）、积分单元（I）和微分单元（D）组成。其输入与输出的关系为 因此它的传递函数为： 比例（P）控制 比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差。 积分（I）控制 在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”。积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，

26、它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。因此，比例+积分（PI）控制器，可以使系统在进入稳态后无稳态误差。 微分（D）控制 在微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分（即误差的变化率）成正比关系。自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳。其原因是由于存在有较大惯性组件（环节）或有滞后（delay）组件，具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化。解决的办法是使抑制误差的作用的变化“超前”，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。这就是说，在控制器中仅引入“比例”项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差

27、变化的趋势，这样，具有比例+微分的控制器，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例+微分（PD）控制器能改善系统在调节过程中的动态特性。PID控制之所以广泛使用：首先，PID应用范围广。虽然很多工业过程是非线性或时变的，但通过简化可以变成基本线性和动态特性不随时间变化的系统，这样PID就可控制了。其次，PID参数较易整定。也就是，PID参数，和可以根据过程的动态特性及时整定。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起系统动态特性变化，PID参数就可重新整定。第三，PID控制在实践中也不断的得到改进。但仍不可否认P

28、ID也有其固有的缺点：PID在控制非线性、时变、耦合及参数和结构不确定的复杂过程时，工作地不是太好。最重要的是，如果PID控制器不能控制复杂过程，无论怎么调参数都没用。虽然有这些缺点，PID控制是最简单的有时却是最好的控制方法。目前工业自动化水平已成为衡量各行各业现代化水平的一个重要标志。同时，控制理论的发展也经历了古典控制理论、现代控制理论和智能控制理论三个阶段。自动控制系统可分为开环控制系统和闭环控制系统。一个控制系统包括控制器、传感器、变送器、执行机构、输入输出接口。控制器的输出经过输出接口、执行机构，加到被控系统上；控制系统的被控量，经过传感器，变送器，通过输入接口送到控制器。不同的控

29、制系统，其传感器、变送器、执行机构是不一样的。比如压力控制系统要采用压力传感器，电加热控制系统的传感器是温度传感器。目前，PID控制及其控制器或智能PID控制器已经很多，产品已在工程实际中得到了广泛的应用，有各种各样的PID控制器产品，各大公司均开发了具有PID参数自整定功能的智能调节器(intelligent regulator），其中PID控制器参数的自动调整是通过智能化调整或自校正、自适应算法来实现。有利用PID控制实现的压力、温度、流量、液位控制器，能实现PID控制功能的可编程控制器(PLC），还有可实现PID控制的PC系统等等。可编程控制器（PLC)是利用其闭环控制模块来实现PID控

30、制，而可编程控制器（PLC）可以直接与CONTROLNET相连，还有可以实现PID控制功能的控制器，它可以直接与CONTROLNET相连，利用网络来实现其远程控制功能。5.2 基于SIMULINK的PID控制器设计首先，对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度，它的平衡位置为垂直向上。系统控制结构框图如下：图5.2-1 倒立摆系统控制结构图中是控制器传递函数，是被控对象传递函数。考虑到输入，结构图可以很容易的变换成：图5.2-2 倒立摆系统控制结构按照下面的步骤，我们将建立一个参考输入为摆杆角度，扰动为作用在小车上脉冲力的闭环模型。·首先，打开之前建立的一阶倒立摆的仿真模型·从Simulink/Continuous 中插入一个PID控制器模块。 ·双击修改其中的参数。·按下图连接各模块。 图5.2-3 倒立摆系统的simulink仿真系统结构图5.3 PID参数的确定1在I、D保持为零的情况下，先改变P的值。、，调节。如下图所示，从上到下分别为、的变化曲线。图5.3-1 scope1图示 可见变化