南京航空航天大学结构力学课后习题答案第3章

1、第三章能量原理习题解答3-1写出以下弹性元件的应变能和余应变能的表达式.a等轴力杆；b弯曲梁；c纯剪矩形板.解：a等轴力杆应变能余应变能其中L为杆的长度,f为杆的截面积,A为杆的变形量,E为材料的弹性模量.b弯曲梁应变能余应变能c纯剪矩形板3-2求图3-2所示桁架的应变能及应变余能,应力一应变之间的关系式为(a) E(b) E解：取节点2进行受力分析,如图3-2a所示根据平衡条件,有(a)E时N1cos45N3cos45F2N1sin45N3sin45FNiF1F2J2Nf1N1N313Ef1Ef3UAdVfldV0UvBdVfl0d(D(2)(3)(4)(5)联立1、2、联立1、2、3、4,

2、得到桁架的应变能为3、5,得到桁架的余应变能为(b)E1时Ni2EfN32(6)联立1、2、4、6,得到桁架的应变能为联立1、2、5、6,得到桁架的应变能为3-3一种假想的材料遵循如下二维的应力一应变规律其中E、G和是材料常数.导出用这种材料做成的二维物体的应变能密度解：应变能密度余应变能密度总应变能密度而所以应变能密度为3-4试用虚位移原理或最小位能原理确定题3-4图所示平面桁架的节点o的位置和各杆内力.各杆材料相同,弹性常数为E.Pi104N,P25103N,各杆截面积fi1.5cm2,f2V2cm2,f33cm2.解：设o点的位移为u、v,那么各杆的变形量如下：2,、o-1杆：1ucos

3、vsinuv2o-2杆：2Vo-3杆：3ucossin-uv2系统位能令0,那么0,0,从而：uv解得由Nf,得l3-5试用最小位能原理导出承受均布载荷q的弯曲等截面梁图3-5的平衡方程式.解：由教科书例3-2知悬臂梁的边界条件为：在x0处,w0,dw0dx在xl处,剪力Q0,弯矩M0dwzdx直法线假设又知在xl处,弯矩M0所以,当xl时,又知所以在xl处,剪力Q0,3所以,当xl时,驾0dx3由以上,如果那么有受均布载荷悬臂梁的平衡方程为EJ-4-q=0,并给出弯矩图.3-6试用最小余能原理求解图3-6所示圆框的弯矩表达式P圆框的截面弯矩刚度为EJ、qsin.R解：根据圆框的对称性可知,在

4、图3-6a的受力分析图中,只有轴力和弯矩,而无剪力.取右半局部的一段进行受力分析如图3-6a所小.根据平衡条件,可得到弯矩表达式余应变能外力余能故根据最小余能原理MoEJ0MRd(DM.N0EJMRR(1cos)d0(2)M03NoR27PR08联立1、2解得那么圆框截面的弯矩为3-7试用瑞利一李兹法确定图3-7所示梁的点A处横向挠度.解：梁两端简支,其位移边界条件为w|x00w|xLdx2|x00dx2|xL0选取正弦函数为基函数,取前两项,梁的应变能为因此梁的外力势能梁的总位能由最小位能原理2当x2L时33-8沿直平面内的正方形薄板,边长为2a,四边固定,只受重力g作用,如图3-8所示.设

5、0,试取位移分量的表达式为用瑞利一李兹法或伽辽金法求解.解：运用伽辽金法求解.此题中的四边形薄板四边周支,因此是一个平面应力问题.其根本方程为2v2y2u2y2vxXUmdxdy0vmdxdy0(Dm1,2,3L当只取A项和Bi项时,位移分量的表达式为2U2x2vx2u2y2ay22axy由于0,X0,Y3x22ag,2u2x2v:2y马Bi,a1支2a2u2y2v2y2v2xa2x-2a(2)4xyB4B1a所以1式可简化为12u假设12v2x212v将3、,及2即简化为由此解得代入位移表达式,由物理方程,得式代入3式,2xy12u2xy仔udxdy0gmdxdy(3)挠度函3-9用李兹法求

6、解受均布载荷作用双简支梁的最大挠度和最大弯矩,数选以下两种形式,比拟其计算结果.(a)w(x)a1sin(b)w(x)a1sinx.3x一a3sinll解：双简支梁两端的位移边界条件是2dw八在x0xl处,w00dx弯矩的表达式为,、x-,(a) w(x)a1sin7时梁的总位能由最小位能原理0有所以挠度函数的表达式最大挠度最大弯矩x.3xI(b) w(x)a1sin丁a3sin时梁的总位能由最小位能原理0有所以挠度函数的表达式最大挠度最大弯矩3-10用李兹法求解受均布载荷悬臂梁的挠度,挠度函数选以下各种形式,并比拟两种计算所得的最大挠度.(a) w(x)a2x2%x3x(b) w(x)A(1cos)2l解：悬臂梁的边界条件是在x=0处,w0dw0dx(a)w(x)a2x2a3x3时梁的总位能由最小位能原理0有213一04EJla26EJl2a3-ql30(1)a23Q1一06EJ