四年级数论进位制

1、进位制知识框架、数的进制1 .十进制：我们常用的进制为十进制,特点是“逢十进一.在实际生活中,除了十进制计数法外,还有其他的大于1的自然数进位制.比方二进制,八进制,十六进制等.2 .二进制：在计算机中,所采用的计数法是二进制,即“逢二进一.因此,二进制中只用两个数字0和1.二进制的计数单位分别是1、21、22、23、,二进制数也可以写做展开式的形式,例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1X25+0X24+0X23+1X22+1X21+0X20.二进制的运算法那么：“满二进一、“借一当二,乘法口诀是：零零得零,一零得零,零一得零,一一得一.注意：对于任意自然数n,我们有n0=

2、1o3 .k进制：一般地,对于k进位制,每个数是由0,1,2,i,(k1)共k个数码组成,且“逢k进一.k(k1)进位制计数单位是k°,k1,k2,如二进位制的计数单位是20,21,22,八进位制的计数单位是8°,81,82,.4 .k进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式(anan111131a0)kanknan1kn1|aka.十进制表示形式：Nan10nan110n1ao100；二进制表示形式：Nan2nan12n1I"a020;为了区别各进位制中的数,在给出数的右下方写上k,表示是k进位制的数如：(352%,(1010)2,(3145W,分别表示八进位

3、制,二进位制,十二进位制中的数.5 .k进制的四那么混合运算和十进制一样先乘除,后加减；同级运算,先左后右；有括号时先计算括号内的.、进制间的转换：一般地,十进制整数化为k进制数的方法是：除以k取余数,一直除到被除数小于k为止,余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数.反过来,k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次哥形式展开,然后按十进制数相加即可得结果.如右图所示：制进二八进制卜六进制一tt例题精讲【例1】把9865转化成二进制、五进制、八进制,看看谁是最细心的.【考点】十进制化成多进制【难度】3星【题型】解答【解析】一定要强调两点(1)商到0为止,(2)自下而上的顺序写

4、出来29H652|493212I246602123302lC16-12308_02再«59865需1519730WJ53<；5405H5Z39t0530a0103(9865)10(10011010001001)2(9865)10(303430)58198658|1233L8|15418I1928O-302(9865)10(23211)8【答案】(9865)10(10011010001001)2,(9865)1.(303430)5,(9865)10(23211)8【稳固】567()8()5()2；【考点】十进制化成多进制【难度】3星【题型】解答【解析】此题是进制的直接转化：567

5、(1067)8(4232)5(1000110111)2;【答案】567(1067)8(4232)5(1000110111)2【例2】将二进制数(11010.11)2化为十进制数为多少？【考点】多进制转化成十进制【难度】3星【题型】解答【解析】根据二进制与十进制之间的转化方法,(11010.(11) =1X24+1X23+0X22+1X21+0X20+1X2-1+1X2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75【答案】26.75【稳固】同学们请将(11010101)2,(4203)5,(7236)8化为十进制数,看谁算的又快又准.【考点】多进制转化成十进制【难度】3星【题型】解答【

6、7L木斤1/ddAdAdOdA7o7do6no5do4no3ao2no1a00L用牛优,(11010101)2I2I202I202I202I2128641641213_3_2_1_0_(4203)5453252051350500503553_3_2_1_0_(7236)878328238168035841282463742【答案】213,553,3742【例3】二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少?【考点】多进制转化成多进制【难度】4星【题型】解答【解析】根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表：八进制数01234567二进制数0000010100

7、11100101110111从后往前取三合一进行求解,可以得知1010101111001101010110122536325525363255R8【稳固】将二进制数11101001.1011转换为十六进制数.【考点】多进制转化成多进制【难度】4星【题型】解答【解析】在转换为高于9进制的数时,遇到大于9的数用字母代替,如：A代表10、B代表11、C代表12、D代表136根据取四合一法,二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B.【答案】E9.B【例4】例4(101)2(1011)2(11011)2;(11000111)2(10101)2(11)2()2；(63121)8(1247)

8、8(16034)8(26531)8(1744)8；【考点】多进制混合计算【难度】4星【题型】填空【解析】对于这种进位制计算,一般先将其转化成我们熟悉的十进制,再将结果转化成相应的进制：(101)2(1011)2(11011)2(5)10(11)10(27)10(28)10(11100)10；可转化成十进制来计算：(11000111)2(10101)2(11)2(199)10(21)10(3)10(192)10(1100000.2；如果对进制的知识较熟悉,可直接在二进制下对(10101)2(11)2进行除法计算,只是每次借位都是2,可得(11000111)2(10101)2(11)2(11000

9、1112(111)2(11000000)2；十进制中,两个数的和是整十整百整千的话,我们称为互补数,凑出互补数的这种方法叫凑整法,在n进制中也有凑整法,要凑的就是整n.原式(63121)8(1247)8(26531)8(16034)8(1744)8(63121)8(30000)8(20000)8(13121)8；【答案】(1)、(11100)10,(2)、(11000000)2,(3)、(13121)8在八进制中,1234456322在九进制中,1443831237120117705766.【考点】多进制混合计算【难度】4星【题型】填空【解析】原式1234(456322)12341000234

10、;原式14438(31235766)(712011770)1443810000200004438.【答案】(1)、234,(2)、4438【例5】例5假设(1030)n140,那么n.【考点】多进制的判断【难度】5星【题型】填空【解析】假设(1030)n140,那么n33n140,经试验可得n5.5【稳固】在几进制中有413100?【考点】多进制的判断【难度】5星【题型】解答【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于(4)10(3)10(12)10,由于式中为100,尾数为0,也就是说已经将12全部进到上一位.所以说进位制n为12的约数,也就是12,6,4,3,2中的一个.但是式子中出现了4,所

11、以n要比4大,不可能是4,3,2进制.另外,由于(4)10(13)10(52)10,由于52100,也就是说不到10就已经进位,才能是100,于是知道n10,那么n不能是12.所以,n只能是6.6【例6】例6有个吝啬的老财主,总是不想付钱给长工.这一次,拖了一个月的工钱,还是不想付.可是不付又说不过去,便故作大方地拿出一条金链,共有7环.对长工说：我不是要拖欠工资,只是想连这一个月加上再做半年的工资,都以这根金链来付.他望向吃惊的长工,心中很是得意,茶人说话,从不食言,可以请大老爷作证.大老爷可是说一不二的人,谁请他作证,他当作一种荣耀,总是分文不取,并会以命相拼也要兑现的.这越发让长工不敢相

12、信,要知道,这在以往,这样的金链中的一环三个月的工钱也不止.老财主越发得意,终于拿出杀手铜：不过,我请大老爷作证的时候,提到一项附加条件,就是这样的金链实在不能都把它断开,请你只能翻开一环,以后按月来取才行！当长工明白了老财主的要求后,不仅不为难,反倒爽快地容许了,而且,从第一个月到第七个月,顺利地拿到了这条金链,你知道怎么断开这条金链吗？【考点】进制在生活中的运用【难度】2星【题型】解答【解析】断开第三环,从而得到1,2,4环的三段,第一个月拿走一环,第二个月以一换二,第三个月取一环,第四个月以三换四,第五个月再取一环,第六个月以一换二,第七个月再取一环.【答案】1,2,4【稳固】现有1克,

13、2克,4克,8克,16克的祛码各1枚,在天平上能称多少种不同重量的物体？【考点】进制在生活中的运用【难度】2星【题型】解答【解析】由于祛码的克数恰好是1,2,4,8,16,而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1,2,22=4,23=8,24=16,在祛码盘上放1克祛码认为是二进位制数第一位从右数是1,放2克祛码认为是二进位制数第二位是1,；放16克祛码认为是二进位制数第五位是1,不放祛码就认为相应位数是零,这样所表示的数中最小的是1,最大的是111112=24+23+22+21+20=3110,这就是说1至31的每个整数克均能称出.所以共可以称出31种不同重量的物体.【答案】31【例7】例

14、7如果只考虑100克以内的重量,至少需要多少包？【考点】进制在生活中的运用【难度】3星【题型】解答【解析】至少需要1,2,4,8,16,32,647包【答案】至少需要1,2,4,8,16,32,647包【稳固】如果只许在天平的一边放祛码,要称量100g以内的各种整数克数,至少需要多少个祛码?【考点】进制在生活中的运用【难度】3星【题型】解答【解析】至少需要：1,2,4,8,16,32,64这七种重量的祛码即可.【答案】至少需要：1,2,4,8,16,32,64这七种重量的祛码即可【例8】例8有10箱钢珠,每个钢珠重10克,每箱600个.如果这10箱钢珠中有1箱次品,次品钢珠【难度】3星【题型】

15、解答每个重9克,那么,要找出这箱次品最少要称几次【考点】进制在生活中的运用【解析】略【答案】解决这个问题有一个巧妙的方法.将10箱钢珠分别编为110号,然后从1号箱中取1个钢珠,从2号箱中取2个钢珠；这样共取了12345678910=55个钢珠,重量是:5510=550克,如果轻了n1毛w1威,那么第几号箱就是次品.在这个方法中,第10号箱也可不取,这样共取出45个钢珠,如果重450克,那么10号箱是次品；否那么,轻几克几号箱就是次品.总结：不同的进制数与十进制数的对应关系,即：每个十进制数都能表示成一个相应的二进制数,反之,也是.【稳固】小马虎将一些零件装箱,每个零件10g,装了10箱,结果

16、发现,混进了几箱次品进去,每个次品零件9克,但从外观上看不出来,聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件都找出来么？【考点】进制在生活中的运用【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】解决这个问题有一个巧妙的方法.将10箱钢珠分别编为110号,然后从1号箱中取1个钢珠,从2号箱中取2个钢珠,从3号箱中取4个钢珠,从4号箱中取8个钢珠从10号箱中取512个钢珠,共取出1+2+4+8+-+512=1023个钢珠,将这些钢珠放到天平上称,本来应重10230克,如果轻了n(1嘀W1阴,就看n是由1,2,4,8,16,512中的那些数字组成,那么数字对应的那些号箱就是次品.在这个方法中,第10号箱也可不

17、取,这样共取出511个钢珠,如果重500克,那么1,2,4号箱是次品.【例9】例9正整数N的八进制表示为N(12345654321)8,那么在十进制下,N除以7的余数与N除以9的余数之和是多少？【考点】巧求余数问题【难度】3星【题型】解答【关键词】2021年,清华附中,入学测试题【解析】与十进制相类似,有：(12345654321)8(111111)82.根据8进制白弃7法,(111111)8被7除的余数等于其各位数字之和,为6,而6236除以7的余数为1,所以(111111)8的平方被7除余1,即(12345654321)8除以7的余数为1;另外,9(11)8,显然(111111)8能被(1

18、1)8整除,所以其平方也能被(11)8整除,即(12345654321)8除以9的余数为0.因此两个余数之和为101.1【稳固】在8进制中,一个多位数的数字和为十进制中的68,求除以7的余数为多少？【考点】巧求余数问题【难度】3星【题型】解答【关键词】2001年,人大附中,分班测试【解析】类似于十进制中的绛九法,8进制中也有弃7法,也就是说8进制中一个数除以7的余数等于这个数的各位数字之和除以7的余数.此题中,这个数的各位数字之和在十进制中为68,而68除以7的余数为5,所以这个数除以7的余数也为5.【答案】5【例10】在美洲的一个小镇中,对于200以下的数字读法都是采取20进制的.如果十进制

19、中的147在20进制中的读音是seythhaseythugens",而十进制中的49在20进制中的读音是nawhadewugens,那么20进制中读音是dewhanawugens的数指的是十进制中的数【考点】【难度】星【题型】填空【关键词】2021年,学而思杯,6年级,1试,第12题【解析】(147%0(77)20,(49)10(29)20,所以ha代表十位,ugens代表个位,dew代表9,naw代表2.(92)20=(182,0,所以答案是182.【答案】182【稳固】一个自然数,在3进制中的数字和是2007,它在9进制中的数字和最小是,最大是【考点】进制与位值的综合运用【难度】

20、5星【题型】解答【关键词】2007年,第五届,走美杯,初赛,六年级,第9题【解析】最大为2007X3=6021,最小为2007.【答案】最小2007,最大6021课堂检测【随练1】某数在三进制中为12120210210110121121,那么将其改写为九进制,其从左向右数第1位数字是几？【考点】多进制转化成多进制【难度】4星【题型】解答【解析】由于32=9,所以由三进制化为9进制需要取二合一.从后两个两个的取,取至最前边为12,用位值原理将其化为1X31+2X30=5所以化为9进制数后第一位为5.【答案】5【随练2】算几进制数的乘法？【考点】多进制的判断【难度】5星【

21、题型】解答【解析】注意到尾数,在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520,但是现在为4,说明进走20416,所以进位制为16的约数,可能为16、8、4或2.由于原式中有数字5,所以不可能为4、2进位,而在十进制中有1534253835043214,所以在原式中不到10就有进位,即进位制小于10,于是原式为8进制.【答案】8【随练3】茶叶店老板要求员工提升效劳质量,开展零等待活动,当顾客要买茶叶的时候,看谁最快满足顾客的需要那么为优秀.结果有一个员工总是第一名,而且顾客到他那儿不需要等待.原来他把茶叶先称出假设干包来,放在柜台上,顾客告诉他重量,他就拿出相应重量的茶叶.别的伙计看在眼里,立即学

22、习,可是柜台上却放不下许多包.奇怪的是,最正确员工的柜台上的茶叶包裹却不1,2,4,8,16,32,64,128,是很多.于是有员工去取经,发现最正确员工准备的茶叶数量是:256.你能解释一下其中的道理么？这些重量可以应付的顾客需要的最高重量是多少？【考点】进制在生活中的运用【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】由于1(1)2,2(10)2,4(100)28(1000)2,16(10000)2,32(100000)2口口观察一下你会发现最正确员工：所取的数字与二进制中的(1)2,(10)2,(100)2,(1000)2,(10000)2,(100000)2Mil对应,而我们所要的3,5,6

23、,7,9,等等数字都可以用这些二进制相加得来,老师可以在黑板上给学生列竖式演示此道理,说明取1,2,4,8,16,32,64,128,256的道理.【随练4】古代英国的一位商人有一个15磅的祛码,由于跌落在地碎成4块,后来,称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1至15磅之间的任意整数磅的重物(祛码只能放在天平的一边).那么这4块祛码碎片各重,【考点】【难度】星【题型】填空【关键词】2021年,第7届,走美杯,3年级,初赛,第15题【解析】由于二进制数可以表达所有的自然数,而且表达形式是唯一的,例如：9=1+8,31=1+2+4+8+16所以只要准备质量为1,2,4,8的二进制数

24、祛码即可.【答案】1,2,4,8家庭作业【作业1】计算(3021)4(605)7()10；【解析】此题涉及到3个不同的进位制,应统一到一个进制下.统一到十进制比拟适宜:32(3021)4(605)7(34241)10(675)10(500)1.【答案】(500)10【作业2】在几进制中有12512516324?【考点】多进制的判断【难度】5星【题型】解答【解析】注意(125)10(125)10(15625)10,由于1562516324,所以一定是不到10就已经进位,才能得到16324,所以n10.再注意尾数分析,(5)10(5)10(25)10,而16324的末位为4,于是25421进到上一位.所以说进位制n为21的约数,又小于10,也就是可能为7或3.由于出现了6,所以n只能是7.【答案】7【作业3】向电脑输入汉字,每个页面最多可输入1677个五号字.现在页面中有1个五号字,将它复制后粘贴到该页面,就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面,就得到4个字.每次复制和粘贴为1次操作,要使整个页面都排满五号字,至少需要操作次.【考点】进制在生活中的运用【难度】3星【题型】填空【关键词】20