利用导数证明不等式的九大题型

1、利用导数证实不等式的九大题型题型一：构造函数法把不等式的证实转化为利用导数研究函数的单调性或求最值的问题,从而证实不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是利用导数证实不等式的关键.例1.(人教版选修2-2第32页B组1题)利用函数的单调性,证实以下不等式.(1)sinx<g(0,7c);(2)x-x2>0,xe(0,l);(3) e>l+x,xw0;(4) lnx<x<er,x>0.这四道题比拟简单,证实过程略.概括而言,这四道题证实的过程分三个步骤：一是构造函数：二是对函数求导,判断函数的单调性；三是求此函数的最值,得出结论.例2.当x>

2、-l时,求证：1一一<ln(x+l)<x.x+1【证实】令/(x)=ln(x+l)-x,1 Y那么八)二-7一1=一三x+lX+1二当1VXV0时,r(x)>0,当4>0时,fx)<0,/(X)在(t,+8)上的最大值为/皿=/(o)=o,/./(x)</(0)=0,即ln(x+l)-xVO,Aln(x+l)<x(右面得证).再证左面,令ga)=ln(x+l)+1,那么g'(x)=7+l-(x+l)2=(x+l)2,当xw(1,0)时,g'(x)vo,当xw(0,+8)时,g'(x)>0,:.函数g(x)在(-l,+oo)

3、上的最小值2(%)面=g(0)=0,Ag(x)>g(0)=0,即ln(x+l)+!-1>0,x+Aln(x+l)>l一一(左面得证).x+1综匕当x>1时,有1一+.x+l【启示】证实分三个步骤：一是构造函数；二是对函数求导,判断函数的单调性：三是求此函数的最值,得出结论.题型二：通过对函数的变形,利用分析法,证实不等式例3.版工)=lnx+bx有两个不同的零点再,2,(1)求b的取值范围；(2)求证：牛>1.(1)【解】h(x)=nxbx,其定义域为(0,+oo).令3)=0,得6=-也,xiCx)=-,那么“二必%,XX7所以(p(x)=-叱在(0,e)单调递

4、减,在(e,+00)单调递增,x所以当时,奴工)=一叱取得最小值一1.xe又8(1)=0,所以当xe(0,1)时,(p(x)>0,而当xw(l,yo)时,岭)<0,所以b的取值范围是(-1,0).e(2)【证实】由题意得In再十如=0,lnx2+6叫=0,所以如工丫2+岭|+x2=0,lnx2-Inx,+bx2一%=0,所以1n中2lnx2-In.只需证Inx/z=五土乜(Inx?-lnx)>2,即证加4-1>亚二毛+不设,=卬>1),令F«)=ln£-生心=+'-2,须Z+lZ+1所以尸,=1-了二1>0,t(/+1)2/(/+

5、1),所以函数尸(.在(1,+8)上单调递增,而产=0,所以F(r)>0,即Inr>如二2,/+1所以工A>e2.【启示】解答第一问用的是别离参数法,解答第二问用的是分析法、构造函数,对函数的变形水平要求较高,大家应记住下面的变形：lnxx2_x+x2lnx2-lux,x2-x.,2(x2-x)=>lnx2_InX>-+修=Ini>2(匕/十1题型三：求最值解决任意、存在性变量问题解决此类问题,关键是将问题转化为求函数的最值问题,常见的有下面四种形式:由/(x)=(f-2)e*可知,当xe(0,2时,g(x)在区间(0,出)上单调递减,在区间(血,2上单调递

6、增,g(0)=g(2)=0,故g(x)m=0,所以只需证实/a)m<o即可.对函数/(X)来说,、八1、2(ax-l)(x-2)J(x)=ax-(2a+1)+=-xx当时,即0<,<2时,函数/(%)在区间(0,9)2aa上单调递增,在区间(,2上单调递减,a/fd)=-21na；2.a2a当a21时,显然f(x)小于0,满足题意；当1<<1时,令力(口)=-2111.一-2,22a门t、14a贝ijh(a)=2,2a可知该函数在=va<1时单调递减,2故力<%(；)=2m2-3<0,满足题意.综上,原命题得证.VX,VX2,/(X)<g(

7、X2)O/(X,4g(乙濡；Vx,Hr2,f(x1)<g(x2)<=>f(x1Kg(X2)g；期,依JO)<g(x2)=/(再)1nm<g(x2)mm；3x1,3x2,/(x1)<g(x2)<=>/(x1)mm<g(x2)max.只要分别求左右两边函数的最值就可以了.例4.函数/(x)=-ax2-(2a+l)x4-2hx(agR).2(1)当.=,时,求函数/(x)的单调区间；(2)当时,设或九)=(/-2乃",求证：对任2意玉e(0,2,均存在x2e(0,2,使得/(匹)<g(x2)成立.33(1)【解】增区间为(0,；)

8、,(2,+oo),减区间为(；,2).(2)【证实】假设要命题成立,只需当xe(0,2时,<g(x)皿故力(a)<力(；)=211123<0,满足题意.综上,原命题得证.题型四：分拆成两个函数研究要证实/(x)>g(x),如果能证实f(x)ma>g(x)w,便可证/(x)Ng(x),大家可以看到此处不等号左右两边都是相同的x,而上一种题型中不等号两边分别为玉/2由/COnin之gWnax=>f)>g(X),但由f(x)>g(x)推不出/(x)mn>g(x)皿；比方ex>l+x,推不出©:U之(X+1)皿,由于无+1没有最大值

9、,所以/(%),»g(x)皿比/«»g(x)更严格EX1例5.(2021新课标1理)设函数/(%)=画Inx+,x曲线y=/")在点(1,/(I)处的切线方程为y=e(x-l)+2,(1)求a,b；(2)证实：/(x)>1.(1)【解】a=,b=2.(2)如果按题型一的方法构造函数求导,会发现做不下去,只好半途而废,所以我们在做题时需要及时调整思路,改变思考方向.2(2)【证实】/(幻>1等价于田11%>定-'一±,e设g(x)=xlnx,贝ijg'a)=l+lnx,当xe(02)时,gx)<0,e当XE

10、(l,+8)时,gx)>0,e故g(x)在(o,l)单调递减,在(l,g)单调递增,ee从而g(x)在(0,小)的最小值为g(l)=ee2设a)=xe',那么力口)=,7(1-幻.e当xe(0,1)时,hx)>0,当X£(h+oo)时,hx)<0,从而入(X)在(0,欣)上的最大值为版1)=e由于g.)与(%)极值点不相同,所以恒有g(x)>/(x).综上,当x>0时,g(x)>h(x),B|J/(x)>1.【启示】掌握以下八个函数的图像和性质,对我们解决不等式的证实问题很有帮助,这八个函数分别为Wy=xext(2)y=xlnx,(3

11、)7=,(4)y=,Xx(7)y=,(8)y=In要求会画它们的图像,以后见到这种类型的函数,就能想到它们的性质.题型五：设而不求当函数的极值点(最值点)不确定时,可以先设出来,只设不解,把极值点代入,求出最值的表达式而证实.例6.(2021新课标I卷文)设函数f(x)=e2x-ainx.(1)讨论/(x)的导函数/'(X)的零点的个数；2(2)证实：当a>0时,f(x)>2a+aln-.a(1)【解】/(%)的定义域为(0,38),Ax)=2e2x-(x>0).X当.40时,/'(幻>0,故尸(X)没有零点；当4>0时,由于y单调递增,丁=一色单

12、调递增,X所以广.)在(0,+8)单调递增.又fa)>0,当b满足0<6<3且时,442eZh-<2e故当a>0时,/x>2a+aln-.【启示】设而不求,整体代换是一种常用的方法,在解析几何中表达很多.在本例第2问中,只设出了零点而没有求出零点,这是一种非常好的方法,同学们一定要认真体会,灵活应用.-=2e2-2<0,ba4所以rs<o.故当a>0时,1x存在唯一零点.解此问的关键是利用放缩技巧,对x范围的限制2【证实】由1知,可设/%在0,+oo的唯-零点为升,当X£0,Xo时,fx<0,当X£Xo<H&

13、#187;时,frx>0,故/X在0,%单调递减,在今,田单调递增,所以当=%时,/X取得最小值,最小值为/%.由于2e?&-色=0,得92"=_£_,.24所以2%=lna-ln2x0,2ax0=aInaaIn2x0=a2aInaInx0=-aInaIn,2a2-ahixQ=2axQ+aIn,no所以/、o=+2tzx0+ah>2a+“In,2x0aa112又由于Xo£(5,h2)(或者为9(/)>夕(In2)=hi2+-2«0.13>,即(%)：.J(x)>g(x)十,题型七：利用图象的特点,证实不等式X1例8.

14、函数/(x)=F(xeR).e(1)函数y=g(x)对任意x满足g(x)=/(4-x),证实：当x>2时,/(x)>g(x)；如果玉,旦/(Xl)=fCX2),证实：X1+工2>4,【证实】由于g(x)=/(4x),所以g(x)=R.e令/x)=/(%)g(x),即歹(%)=一娑,ee那么户口)=2r2rex"1c"x(2-x-e2)当x>2时,2-x<0,2x-l>3,从而/'T<0,那么函数F(x)>0,F(x)在(2,+2是增函数.所以尸Q)>尸(2)=l_,=0,故当x2时,/xgx成立.2由于/x在-8

15、,2内是增函数,在2,4-00内是减函数,XI且/%=/工2,所以不,4不可能在同一单调区间内.不妨设不2工2,由可知/工28工2,又8工2=/4-2,所以/电/4一电,由于/再=/工2,所以/不/4一,由于122,4-22,再2,/x在区间一8,2内为增函数,故玉4一%,即玉+4.【启示】第2问的证实也是一种常规方法,由于函数在两个单调区间上增减的速度不一样,导致出现了玉+W4,如果是二次函数/%=工-22+1,/再=/吃,那么可得到玉+W=4,玉+Z正好是对称轴的2倍.此题的证实思路是要证玉+W4,需证玉4一%,需证/不/4一%2题型八：证实数列不等式证实数列不等式时,常利用以下不等式：（

16、1） 1-Inxx-lx0；（2） x-ln(x+l)<-x2(x>0)；22一1所以下二>:h2-12上式中=1,2,个不等式相加,->-ln(2n+l)+2n-22/1+1例9.根据不等式Inxs/a-L),证实：2x,1111,八一n1十一十一十+>-/«f2n+lJ+-352丁122十1【证实】由InxW(工一,),可得不一1221nx.2xx入2w+1,令x=>1,neN*,2m-1/口2+12«-1个t2n+1得>21n,2-12/z+l2n-l2、2n+l)>21n,2/7+12-12n+1z11、1().2-1

17、22入12n+Y3,n.题型九：利用放缩法证实不等式例10.设函数/(x)=£(常数awK),在x=0处取x+a得极小值,gQ)="1+竽(.为自然对数的底数).Mx2(1)求/(功在Q/(D)处的切线方程；(2)对任意X(l,欣),求证:/(X)>g(x).(1)【解】易得.=1,/(X)在(1,/)处的切线方程为y=：(x+i).4【江】在解决第(2)问时,用构造函数法证不出来,又试着分开两个函数仍然不行,正当我一筹莫展时,突然想到与第一问题的切线联系,如果左边的函数的图像在切线的上方,右边函数的图像在切线的下方,这样问题不就得证了吗？心里非常快乐,马上付诸行动.

18、(2)【证实】令A(x)=(x+1),x6(1,+<»)x+14,xe*e(x那么m(x)=2ebx-4(=XXX"令w(x)=2exlnx-4x+4,xg(15+qo)那么n(x)=2e(lnx+l)-4=2elnx+2e-4>0,那么n(x)递增,n(x)>n(l)=0,mx)>0,那么m(x)递增,m(x)>m(l)=0./.I'M>0,那么«x)递增,.(1)不存在,由洛比达法那么,得lim7=limyT=lini7=1,x>1xx->i(mx),x>i2.X/.r(l)->0,.,(%)>r(l),.=t(x)>0,eze-2二+1)2TZ-Inx2+1>an(x+1)4(x+1)所以l(x)递增,Y(x)>Q)=O,所以力(x)递增,力(幻(1)=0,故一之£(工+1).x+14x-1e-2Inx2lnx+-le(lnx)2-4(lnx+'-1)x%Onx)24(ln工工2erlnx-4x+4令m(x)=e(tax)2一4(lnx+-1),xg(