概率论与数理统计第四章测试题

1、第4章随机变量的数字特征一、选择题1 .设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是(A)8(B)16(C)28(D)442 .若随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=0,则以下结论正确的是()(A)X与Y相互独立(B)D(X+Y)=DX+DY(C)D(X-Y)=DX-DY(D)D(XY)=DXDY3 .设随机变量X和Y相互独立，且XN(Ni,52),Y_N(%,。2),则Z=X+Y|_()(A)N。-2,2212(B)N12,2二222cc(C)N1Z9/4二2(D)NJ1-2J2,Ci2-4d4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量E=X

2、+Y与r=X-Y不相关的充要条件为(A)EX=EY(B)E(X2)-(EX)2=E(Y2)-(EY)2(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X2)+(EX)2=E(Y2)+(EY)25.设X、Y是两个相互独立的随机变量且都服从于N(0,1)，则Z=max(X,Y)的数学期望E(Z)=()(A)(B) 0(C)1(D)2,二6.设X、Y是相互独立且在(0,0)上服从于均匀分布的随机变量,则Emin(X,Y)j=()6(A)2(B)8(C) 38(D) 77.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0,贝UD(X+Y)=DX+DY是X和Y(A)不相关的充分条件，但不是必要条件(B)独立的充分条件，但不是

3、必要条件(C)不相关的充分必要条件(D)独立的充分必要条件8.若离散型随机变量X的分布列为PX=(1)n2n=；n(n=1,2jM),则E(X尸()(A)2(B)0(C)ln2(D)不存在9.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相(A)1(B)0(C) 12(D) 110 .设随机变量X和Y独立同分布，具有方差仃2>0,则随机变量U=X+Y和V=X-Y(A)独立(B)不独立(C)相关(D)不相关11 .随机变量X的方差存在，且E(X)=也则对于任意常数C,必有。(A)E(X-C)2=E(X2)-C2(B)E(X-C)2=E(X-N)2(C)E(X-C

4、)2<E(X-N)2(D)E(X-C)2>E(X-k)212 .设XU(a,b),E(X)=3,D(X)=1,则P(1<X<3)=()3(A)0(B)1(C)1(D)1432二、填空题1 .设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4,则2EX二2 .设一次试验成功的概率为p,进行了100次独立重复试验，当p=时，成功的次数的标准差的值最大，其最大值为1X03.设随机变量X在区间-1,2上服从均匀分布，随机变量Y=0X=0,则Y的方差-1X:二0DY=4 .D(X)=4,D(Y)=9,Pxy=0.5,则D(XY尸,D(X+Y)=5 .设随机变量X

5、服从于参数为九的泊松分布，且已知E(X-1XX-2)1=1,则6 .设(X,Y)的概率分布为:-10100.070.180.1510.080.320.2贝Ucov(X2,Y2)=-a,7 .已知P(X=k)=,(k=1,2,3),则E(X)=。k8 .X-N(N,a2),Y-N(也a),X与丫相互独立,则Cov(X+Y,X-Y)=9 .随机变量Xi,X2,X3相互独立，且都服从均匀分布U(0,2),令X=3X1-X2+2X3，则E(X)=,D(X)=。10 .设pxy=0.9,Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为11 .设随机变量Xij独立同分布，EXij=2,则行列式X11X21X12X22

6、XmX2n的数学期望EY=Xn1Xn2Xnn三、简答题1 .从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5。设X为同种遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。2、2 .已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y分别服从正态分布N(1,3)与O一1XYN(0,42),它们的相关系数Pxy=-一，令Z=一+,求Z的数学期望EZ与方差DZ232(2)求X与Z的相关系数PXZ。3 .已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求(1)乙箱中次品数

7、X的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率。4 .游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在0,60上均匀分布，求该游客等彳II时间Y的数学期望。5 .一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对某种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间10,20上的均匀分布。商店没售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了供货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。6 .两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数

8、为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f、数学期望和方差。7 .某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1),各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期1x望和方差。8 .设随机变量X的概率密度为f(X)=J2cos2,0-X-JI；对X独立地重复观察4次，用0,其他,Y表示观察值大于三的次数，求Y2的数学期望。39 .设随机变量X,Y相互独立，且都服从均值为0,方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差。10 .假设二维

9、随机变量(X,Y)在矩形G=(x,y)|0<x<1,0wyw1上服从均匀分布。记0,X<Y;10,X<2Y;U=V=。1,X>Y,1,X>2Y,(1)求(U,V)的概率分布；(2)求U和V的相关系数r。11.假设随机变量U在区间-2,2上服从均匀分布，随机变量1,U>-1;1,U>1;XY=1,U<-1-1,U<1,试求(1)X和Y的联合概率分布；(2)D(X+Y)。12.设A,B是两个随机事件；随机变量1,若A出现；1,若B出现；XjY1,右A不出现,11,右孙出现，试证明随机变量X和Y不相关的充要条件是A与B相互独立。参考答案、选

10、择题1.D2,B3.C4.B5.C6.C7.C8.D9.A10.D11.D12.D二、填空题1.18.42.1/2,53.8/94.7,195.16.-0.027.18/118.09.4,14/310.0.911.0三、简答题1 .解：X服从二项分布B(3,-),其分布律为5X0123P27/12554/12536/1258/125其分布函数为0,x<0,27/125,0<x<1,F(x)=81/125,1MxM2,117/125,2<x<3,1,x_3.,26X的数学期望为EX=3m=.55,2,2-1,XY1112 .解：因XLN(1,32),YN(0,42)

11、,Pxy=，Z=一十一,故有EZ=EX+EY=,232323cov(X,Y)=VDXVDYPxy=-1父3父4=-6,2XY111132142DZ=D()DX2cov(X,Y)-DY=-2一(-6)33 29324964_2XY1131-(2)covX,Z=cov(X,)DX-cov(X,Y)(-6)=0,：XZ=0323232333.解：（1）由题意知，X服从超几何分布，故EX=3m=一;6232121.又全概率公式，可得二理d+7-+7=1C；6c36c3645-X,0：X<5,4.解：有题意,25-X,5cxM25,Y=g(x)=55-X,25:二X<55,60-X5,55:

12、二X三60.因此160EY=Eg(X)=-g(x)f(x)dx°g(x)dxT60160255560(0(5-x)dx+5(25x)dx十(5(55一x)dx+J55(65一x)dx)=11.67。5.解：设Z表示商店每周所得的利润，则Z=g(X,Y)=Y<X,YX,1000Y,1000X+500(Y-X)=500(X+Y),所以EZ=Eg(X,Y)=：K：,Hg(x,y)f(x,y)dxdy2020120y1=1000yM,dxdy+(500(x+y)父,dxdy=14166.67。10Ly100'10为10025i0e&e2dx=25te”t>0,0,

13、t<0,6 .解：以X和Y表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则T=X+Y,从而有f(t)=.fX(x)fY(t-x)dx=1_1由已知，EX=EY=,DX=DY=,52522从而有：ET=EXEY=,DT=DXDY=一5257 .解：X服从几何分布，P(X=i)=qi-1p,i=1,2,EX=iqJp”(qi),qi),：p(-q-),：1；1 1i&i金1-qp2/2iAi1i1i12-2p12-p.EX=iqp=p(i(i-1)qiq)=pq(q)=二，yi1yi=2pppp221-pDX=EX2-(EX)2=-2.p8.解：设A表示X的观察值大于,故P(A)=P(X&g

14、t;)=(JJl-cos-dx=1;由题意可知,33二/3222111oYB(4,1/2);故EY2=DY+(EY)2=4父一父一十(4父一)2=5。2229.解：有独立正态分布的性质，X-YN(0,1),先求,z2_二|z|+E|XY|=|z|e2dz二册dz=20.2二再求E|XY|2=1+0=1；所以D|X-丫|=1-J二。Jn一一110.解：(1)P(U=0,V=0)=P(XEY)=;P(U=0,V=1)=0;4P(U11=1,V=0)=P(Y二X<2Y)=-；P(U=1,V=1)=-；(2)EU112，EUV，可计算cov(U,V)=EUV-EUEVDU2161DV=,取后信到P=4cov(X,Y).3DXDY32二11.解：（1）P(X_1=_1,Y=_1)=P(U£-1)；P(X=-1,Y=1)=0;411P(X=1,Y=1)=P(1<U<1)=-；P(X=1,Y=1)=P(U>1)=-；111(2)P(X+Y=-2)=,P(X+Y=0)=,P(X+Y=2)=,424所以E(X+Y)=0,D(X+Y)=2。12.证明：EX=P(A)-1-P(A)=2