几种常见的微分方程简介,解法

1、第十二章：微分方程教学目的：1 .了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2 .熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3 .会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4 .会用降阶法解下列微分方程：y(n)=f(x),y"+f(x,y')和y"=f(y,y')5 .理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6 .掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7 .求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8 .

2、会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9 .会解微分方程组(或方程组)解决一些简单的应用问题。教学重点：10 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程y(n)=f(x),y"+f(x,y')和y"=f(y,y)11 二阶常系数齐次线性微分方程；12 自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：13 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；14 线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

3、4、欧拉方程§12,1微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映.利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系.在实践中具有重要意义，在许多问题中.往往不能直接找出所需要的函数关系.但是根据问题所提供的情况.有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式,这样的关系就是所谓微分方程,微分方程建立以后.对它进行研究.找出未知函数来.这就是解微分方程.几个概念微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程.叫微分方程.常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程.叫常微分方程,偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程.叫偏微分方程,

4、微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.叫微分方程的阶.x3yx2y1-4xy'=3x2.y(4)-4y10y1-12y5y=sin2x(n)y1f一般n阶微分方程：F(xyyy(n)=0y(nZ(xyyy(nJ)微分方程的解：满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解.确切地说.设函数yJP(x)在区间I上有n阶连续导数.如果在区间I上.Fx(x)(x)(n)(x)=0那么函数yJP(x)就叫做微分方程F(x.y.y*.y(n)=0在区间I上的解，通解：如果微分方程的解中含有任意常数.且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.这样的

5、解叫做微分方程的通解初始条件：用于确定通解中任意常数的条件.称为初始条件.如xto时.y=yo.y'=y0.一般写成Iyx=y0-y'=y0.特解：确定了通解中的任意常数以后,即不含任意常数的解.就得到微分方程的特解初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程y'f(x.y)满足初始条件yxmo=y0的解的问题.记为'y'=f(x,y)yx=x)=y0'J积分曲线：微分方程的解的图形是一条曲线.叫做微分方程的积分曲线.例1一曲线通过点(1.2).且在该曲线上任一点M(x.y)处的切线的斜率为2x.求这曲线的方程解设所求曲线的

6、方程为y=y(x),根据导数的几何意义.可知未知函数y=y(x)应满足关系式(称为微分方程)dydx此外.未知函数y=y(x)还应满足下列条件：(2)x=1时.y=2.简记为y|xm=2，把(1)式两端积分.得(称为微分方程的通解)2y=2xdx.即y=x%.其中C是任意常数,把条件“xT时.y=2”代入(3)式.得224C由此定出CT.把CT代入(3)式.得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x=i=2的解):y=x21.例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶；当制动时列车获得加速度-04m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住.以及列车在这段时间里行驶了多少路

7、程？解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米，根据题意.反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式吟=-0.4.(4)dt2此外.未知函数s=s(t)还应满足下列条件：ds.t=0时.s=0.v=20.间记为s|t=o=0.s|t=0=20,dt把(4)式两端积分一次得(6)(7)v=ds-0.4Cidt再积分一次得s-02t2CitC2这里C1.C2都是任意常数.把条件v|t3=20代入(6)得把条件s|tw代入(7)得0H2,把Ci.C2的值代入(6)及(7)式得v04t20(8)sZ2t220t.(9)在(8)式中令v4.得到列车从开始制动到完全停住所需的时间t望=50(s).0

8、.4再把t=50代入(9).得到列车在制动阶段行驶的路程s=-025022050=500(m).解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米.s"=04.并且s|t=e=0.sit=0=20,把等式s''=04两端积分一次.得s'=04eCi,即v=04t怔i(Ci是任意常数).再积分一次.得s-02t2Wit怔2(Ci.C2都Ci是任意常数),由v|t=a=20得20=Ci.于是v=04t及0；2由s|t=Q=0得0t2.于是s-02t及0匕令vR.得tW0(s),于是列车在制动阶段行驶的路程s=-025022050400(m),例3验证：函数xWicosktC2s

9、inkt是微分方程d-xk2x=0dt2的解.解求所给函数的导数dxdt=-kGsinktkC2cosktd2xc.c.c.-2-k2C1coM-k2C2siikt-k2(C1coktC2slikt).将0及x的表达式代入所给方程.得dt2-k(CicosktC2sinkt)k(CicosktC2sinkt)三0吟+k2x=0的通解.求满足初始条件dt2这表明函数xHicoskt%2sinkt满足方程吟+卜2乂=0.因此所给函数是所给方程的解dt2例4已知函数xficosktWzsinkUk制)是微分方程x|tj=Ax|10=0由条件x|t=o=A及x=Cicoskt4Czsinkt.得再由条

10、件Ci=Ax|t=0=0.及x'(t)=-kCisinkt+kC2coskt.得把Ci、C2的值代入x=Cicoskt2sinkt中.得x=Acoskt.§i2.2可分离变量的微分方程观察与分析i,求微分方程y'Nx的通解.为此把方程两边积分.得y=x2C.一般地.方程y'=f(x)的通解为y=Jf(x)dx+C(此处积分后不再加任意常数),2,求微分方程y'Mxy2的通解，因为y是未知的.所以积分展xy2dx无法进行.方程两边直接积分不能求出通解1为求通解可将万程变为ydy=2xdx.两边积分.得y=x2+C.或y=-j1.yx2C可以验证函数y=_

11、-二是原方程的通解.x2C一般地.如果一阶微分方程y'4(x,y)能写成g(y)dyf(x)dx形式.则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G(y)于(x)C由方程G(y)=F(x)代所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式P(xy)dxQ(xy)dy力在这种方程中.变量x与y是对称的.若把x看作自变量、y看作未知函数.则当Q(x,y)超时.有dyP(x,y)dxQ(x,y),若把y看作自变量、x看作未知函数.则当P(x,y)刈时.有dx_Q(x,y)dyP(x,y),可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)

12、dx(或写成y'W(x)'(y)的形式.就是说.能把微分方程写成一端只含y的函数和dy.另一端只含x的函数和dx.那么原方程就称为可分离变量的微分方程讨论：下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？4y=2xy.是=ydy=2xdx,2.2(2)3x坳-y力.是.=dy=(3x抬x)dx,22.一(3)(x勺)dxydy=0.不是,222(4)y1xyxy是一y41x)(1y).(5)yW0xy是一10"dy=10xdx(6) y'=+,不是.yx可分离变量的微分方程的解法第一步分离变量.将方程写成g(y)dy=f(x)dx的形式；第二步两端积分：Jg(y)dy=

13、Jf(x)dx.设积分后得G(y)才(x)C；第三步求出由G(y)=F(x)4C所确定的隐函数y4(x)或x理(y)G(y)#(x)%.y(x)或x坐(y)者B是方程的通解.其中G(y)=F(x)坨称为隐式(通)解,例1求微分方程dy=2xy的通解，dx解此方程为可分离变量方程.分离变量后得1 .八.dy=2xdxy两边积分得-dy=2xdx即ln|y|=x2C1从而y=ex2Cl=eC1ex2.因为+eCl仍是任意常数.把它记作C.便得所给方程的通解y=Cex2.解此方程为可分离变量方程.分离变量后得1.八.dy=2xdxy两边积分得1dy=i2xdxy即ln|y|=x2inC一2从而y=C

14、ex.例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比,已知t=0时铀的含量为Mo,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律，解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dMdt由于铀的衰变速度与其含量成正比.故得微分方程其中MA0)是常数.九前的曲面号表示当t增加时M单调减少，即皿0dt由题意.初始条件为M|u0=Mo.将方程分离变量得两边积分.得对出lnM=?rHnC.也即MCe-/t,由初始条件.得M0=Ce0=C.所以铀含量M(t)随时间t变化的规律M川0e例3设降落伞从跳伞塔下落后.所受空气阻力与速度成正比.并设降落伞离开跳伞塔时速度为零.求降落伞下落速度与时间的函数关系解设降落伞

15、下落速度为v(t),降落伞所受外力为F=mg-kv(k为比例系数),根据牛顿第二运动定律F=ma.得函数v(t)应满足的方程为一dv一,mdt:mg-kv初始条件为v|tf=0,方程分离变量.得dvdtmg-kvm两边积分.得fdv=更mg-kvm1t-Jlnmg-kv)=Gkmmg-tq-kCi即v-mCem(C-e一)k、k将初始条件Mi=0代入通解得c=-mg.k_kt于是降落伞下落速度与时间的函数关系为v=3(1_e市)k,例4求微分方程dy=1+x+y2+xy2的通解,dx解方程可化为dydx=(1x)(1y2)分离变量得1-ATdy=(1x)dx.1y2两边积分得119一fdy=f

16、(1+x)dx.即arctany=7x2+x+C,1y2于是原方程的通解为y=tan(1x2xC).2例5有局为1m的半球形容器.水从它的底部小孔流出.小孔横截面面积为1cm.开始时容器内盛满了水.求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律解由水力学知道.水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算：Q=dV=0.62Sv2ghdt其中0.62为流量系数.S为孔口横截面面积.g为重力加速度.现在孔口横截面面积S=1cm2.故dV=0.62/2gh.或dV=0.6272ghdt.dt另一方面.设在微小时间间隔t.t%t内.水面高度由h降至h+dh(dh<0).则又可得到2dV=_r2d

17、h其中r是时刻t的水面半径.右端置负号是由于dh<0而dV>0的缘故.又因r=，.,100-(100h)2="200h2.所以dV-(200h-hjdh通过比较得到0.622ghdt=-：(200h-h2)dh.这就是未知函数h(t)应满足的微分方程,此外.开始时容器内的水是满的.所以未知函数h=h(t)还应满足下列初始条件：h|tj100.将方程0.62也ghdt=f(200h-h2)dh分离变量后得0.62,.2g13(200h2-h2)dh.两端积分得0.62.2g13(200h2-h2)dh.t一0.6212g其中C是任意常数,由初始条件得因此(4000.62v2

18、g30.62,2g(,0.62、2g351002-51002)+C.400000200000):0.62：2g14105,35(7105-103h23h2).上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系,§12.3齐次方程齐次方程如果一阶微分方程dy=f(x,y)中的函数f(x,y)可写成dxy的函数.即f(x,y)=%：),则称这方程为齐次方程,下列方程哪些是齐次方程？xy'_y_Jy2_x2=0是齐次方程=-x=dy=y+J(-y)2-1,dxxdxxx(2)Ji-x2yf=Jl_y2不是齐次方程.=dx='1一与，2222dyxydyxy

19、(3)(xyy)dx-xydy=0是齐次方程,=,dxxydxyx一、，、dv2xv-4(4)(2x4y-4)dx4(xy-1)dy=0不是齐次方程n=-,dxxy-1(5)(2xsh-+3ych-)dx-3xch-dy=0是齐次方程，xxx二dy.=w*-dx2xshy3ychx3xchyxdx3xx齐次方程的解法在齐次方程曳=邛(丫)中.令u=-.即y=ux.有dxxxuxd=(u).dx分离变量.得du=dx(u)-ux'两端积分.得du_dx(u)-u-x'求出积分后.再用y代替u.便得所给齐次方程的通解,x例1解方程y2+x2dy=xydy.dxdx解原方程可写成2小

20、dy二y2_(x)dxxy-x2_yix因此原方程是齐次方程,令丫=u则xdyduy=uxux-dxdx于是原方程变为duu2uxdxu-1即x亚dxu-1分离变量.得1dx(1)du=ux两边积分.得u-lnlulWTnlxl.或写成ln|xu|巾C以乂代上式中的u.便得所给方程的通解xln|y|=yCx例2有旋转曲面形状的凹镜.假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行，求这旋转曲面的方程.解设此凹镜是由xOy面上曲线L:y=y(x)(y>0)绕x轴旋转而成.光源在原点，在L上任取一点M(x,y).作L的切线交x轴于A,点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射

21、线，由光学及几何原理可以证明OA4M.因为OA=AP-OP=PMcot：-OP=y一xy而OM=.x2y2.于是得微分方程义-x-x2y2y整理得dx=x+j(_x)2+i,这是齐次方程，dyy'y问题归结为解齐次方程行广1令j=v.即x=yv.得v+y"dv=v+Jv2+1.即ydy=*v2idy分离变量.得T=dyv21y两边积分.得ln(v+Jv2+1)=lnylnC,=v+Jv2+1=,=(5v)2=v2+1,y22yv=1C2C以yv=x代入上式.得y2=2C(x这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线.它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为y2z2=2C(x.).这就是所求的

22、旋转曲面方程例3设一条河的两岸为平行直线.水流速度为a.有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O.设鸭子的游速为b(b>a).且鸭子游动方向始终朝着点O.已知OA*.求鸭子游过的迹线的方程,解取O为坐标原点.河岸朝顺水方向为x轴.y轴指向对岸，设在时刻t鸭子位于点P(x,y).则鸭子运动速度=(vx，vy)=(那第，故有衿，ydtdtdyVy另一方面v=ab=(a,0)b(-Xx2y2x2y2)V=(aT,即以dy=-b，M)2+i因此dx=vxdyVy问题归结为解齐次方程dxdy令=u.!Px=yu.得yduydya、u21b分离变量.得=一且u2ibydy两边积分.得arshu=b(lny+

23、lnC).a将u=X代入上式并整理.得x=y2Ci_ar.-(Cy)b-(Cy)b.以X|y.=0代入上式.得C=1.故鸭子游过的轨迹方程为haax却.户«)町0-y将u=x代入arshu=b(lny+lnC)后的整理过程：yaarshx=-b(lnylnC)yab=x=shln(Cy)a二y区=r(Cy)W-(Cy)ay2=x=：(Cy)a-(Cy)a=x=ii-会(Cy)a2Ci,b-(Cy)a.§12.4线性微分方程一、线性方程线性方程方程曳+P(x)y=Q(x)叫做一阶线性微分方程,dx如果Q(x)R,则方程称为齐次线性方程.否则方程称为非齐次线性方程方程dy+P(

24、x)y=0叫做对应于非齐次线性方程dy+P(x)y=Q(x)的齐次线性方程dxdx(x一2)=y=下列方程各是什么类型方程？dy工y=0是齐次线性方程dxx-2y(2) 3x24x-5y力=y'=3x2与x.是非齐次线性方程(3) v'Ncosx餐访x.是非齐次线性方程.廿.不是线性方程(y1)2dyx3=0二dxdyx3dx(y1)2=0或dx(y1)2dyx3.不是线性方程齐次线性方程的解法齐次线性方程dy+P(x)y=0是变量可分离方程，分离变量后得dx-P(x)dx.y两边积分.得ln|y产一：P(x)dxC1或y=CeiP(x)dx(C=±eC1).这就是齐

25、次线性方程的通解(积分中不再加任意常数)例1求方程(x2)dy=y的通解.dx解这是齐次线性方程.分离变量得dy_dxyx2两边积分得ln|y|=ln|x-2|InC方程的通解为yQx-2).非齐次线性方程的解法将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x).把P(x)dxy=u(x)e设想成非齐次线性方程的通解，代入非齐次线性方程求得u(x)e-P(x)dx-u(x)e-P(x)dxP(x)-P(x)u(x)e-P(x)dx=Q(x).化简彳导u(x)=Q(x)eP(x)dx.u(x)=Q(x)eP(x)dxdxC.于是非齐次线性方程的通解为y=e-P(x)dxQ(x)eP(x)dxdx

26、C.或y=Ce-P(x)dx-e-P(x)dxQ(x)eP(x)dxdx.非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和例2求方程“一0-=(x+1)2的通解.dxx1解这是一个非齐次线性方程，先求对应的齐次线性方程曳-2y=0的通解，dxx1分离变量得dy2dxyx1两边积分得lny=2ln(x1)InC齐次线性方程的通解为y£(x1)2.得用常数变易法，把C换成u.即令y印(x+1)2.代入所给非齐次线性方程25u(x1)22u(x1)u(x1)2=(x1/x11u=(x1)2.两边积分.得3u=2(x1)2C.再把上式代入y印(x*)2中.即得所求

27、方程的通解为223y=(x1)22(x1)2C.3解：这里P(x)=5.Q(x)=(x1)2.因为P(x)dx=()dx-2ln(x1).e-P(x)dx=e21n"=(x1)2.5)3Q(x)eF(x)dxdx=f(x-*1)2(x+1)"2dx=f(x+1)2dx=-2(x+1)2.3所以通解为3y=e-P(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC=(x1)2(x1)，C.3例3有一个电路如图所示.其中电源电动势为E=EmSin8t(Em、切都是常数).电阻R和电感L都是常量.求电流i(t),解由电学知道.当电流变化时.L上有感应电动势-L,由回路电压定律得出dtE-L%i

28、R=0dt即生R”E.dtLL把E=EmSin6t代入上式.得di.Ri-idtLEmsint.L初始条件为>|t=o=O,方程电+Ri=Emsincot为非齐次线性方程.其中dtLLREP(t)=R.Q(t)/sint.由通解公式.得一P(t)dtP(t)dt-RdtERdti(t)=eQ(t)edtC=eL(1msinteLdtC)_RteL(sinteLdtC).RtR2f2L2其中C为任意常数,(RsinttLcos，t)CeL将初始条件mm力代入通解.得c=J2LEm2.R22L2因此.所求函数i(t)为LE-RtEi(t)=meL吗、(Rsint-Lcost),R22L2R2

29、2L2二、伯努利方程伯努利方程：方程dy+P(x)y=Q(x)yn(n扣.1)dx叫做伯努利方程.卜列方程是什么类型方程？(1) dy1y(1-2x)y4.是伯努利方程，dx33(2) dy=y+xy5,=dy-y=xy5.是伯努利方程dxdx(3) y'=x+y尸y-1y=xy4.是伯努利方程yxx(4)曳-2xy=4x.是线性方程.不是伯努利方程,dx伯努利方程的解法：以yn除方程的两边.得ydyP(x)y1q=Q(x)dx令z=y1jn,得线性方程dz(1n)P(x)z=(1n)Q(x),dx例4求方程dy十丫a(lnx)y2的通解,dxx解以y2除方程的两端.得dy1yy=al

30、nxdxx即一"y-)1y=ainx.dxx令z寸.则上述方程成为dz-z=-alnx.dxx这是一个线性方程.它的通解为z=xC-|(lrx)2.以y,代z.得所求方程的通解为yxfC-2(ln:)2=1.经过变量代换.某些方程可以化为变量可分离的方程.或化为已知其求解方法的方程，例5解方程普=3，dxxy解若把所给方程变形为dx二xydy即为一阶线性方程.则按一阶线性方程的解法可求得通解，但这里用变量代换来解所给方程，令x，=u.则原方程化为里一1.即耍=八1.dxudxu分离变量.得du二dx两端积分得un|u1|=xn|C|,以u小包代入上式.得y-ln|x句*|=ln|C|

31、,或x=Cey-y-1,§12,5全微分方程全微分方程一个一阶微分方程写成P(x,y)dxQ(x,y)dy=0形式后.如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分：du(x,y)干(x,y)dxQ(x,y)dy那么方程P(x,y)dx4Q(x,y)dy=0就叫做全微分方程,这里d=P(x,y).=Q(x,y).x二y而方程可写为du(x,y)H.全微分方程的判定若P(x,y)、Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数.且2P=Q:yex则方程P(x,y)dx%(x,y)dy=0是全微分方程.全微分方程的通解若方程P(x,y)dx4Q(x,y)dy=0是全微分方程.且du(

32、x,y)=P(x,y)dxQ(x,y)dy则u(x,y)=Cxy即P(x,y)dxQ(x0,y)dx=C(m,y0)G).x0y。是方程P(x,y)dx4Q(x,y)dy=0的通解例1求解(5x4郑xy2y3)dxY3x2y-3xy2勺2)dy=0,解这里沪2Q=6xy-3y=一.y二x所以这是全微分方程.取(沏,yo)0,0),有u(x,y)=0(5x43xy2-y3)dx；y2dy=x5|x2y2-xy33y3.于是.方程的通解为5322313cxxy-xy3y;C.积分因子若方程P(x,y)dx4Q(x,y)dy=0不是全微分方程.但存在一函数N=x,y)(4x,y)打).使方程(x,y

33、)P(x,y)dx(x,y)Q(x,y)dy=0是全微分方程.则函数M(x,y)叫做方程P(x,y)dxW(x,y)dy=0的积分因子例2通过观察求方程的积分因子并求其通解：(1)ydx-xdy=0(2)(1xy)ydx(1-xy)xdyH.解(1)方程ydxdy=0不是全微分方程因为d(x)=Rx&yyy2所以2是方程ydx-xdy=0的积分因子.于是yydx，xdy=0是全微分方程.所给方程的通解为=c,y2y(2)Ta©(14xy)ydx1y)xdy=0不是全微分方程，将方程的各项重新合并.得(ydxxdy)xy(ydxxdy)=0再把它改写成d(xy)x2y2(-9)

34、=0.xy这时容易看出为积分因子.乘以该积分因子后.方程就变为(xy)2d(xy),dxdy=0(xy)2xy积分得通解i-+ln|-|=lnC.即x=Ce的，xyyy我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程y'用(x)y=Q(x),可以验证N(x)=eP(x)dx是一阶线，f方程y中(x)y=Q(x)的一个积分因子，在一阶线性方程的两边乘以N(x)=eF(x)dx得yeP(x)dxyP(x)eP(x)dx=Q(x)eP(x)dx.即yeP(x)dx-yeP(x)dx'=Q(x)eP(x)dx亦即yeP(x)dx:-Q(x)eP(x)dx.两边积分.便得通解yeP(x)dx=Q

35、(x)eP(x)dxdxC.或y=e-P(x)dxQ(x)eP(x)dxdx+C.例3用积分因子求生+2xy=4x的通解，dx解方程的积分因子为、2xdxx2(x)=e二ex.2万程两边乘以ex得22222yex+2xexy=4xex.即(exy)'=4xex.于是exy=4xexdx=2exC,v2v2因此原方程的通解为y=4xedx-2Ce.§12.6可降阶的高阶微分方程一、y(n)T(x)型的微分方程解法：积分n次y(n,)=f(x)dxCi.y(nN=f(x)dxC1dxC2.例1求微分方程y'"w2xYosx的通解,解对所给方程接连积分三次.得y&

36、#39;=：ie2x-sinxC1.y=1e2x+cox+C1x+C2.'4y=1e2xsinx1clx2C2xC3.82'"这就是所给方程的通解或y=1e2x-sinx2Gy=-4e2x+cox+2Gx+C2.y=1e2xsinxGx2C?xC38这就是所给方程的通解例2质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动.设力F仅是时间t的函数F=F(t),在开始时刻t=0时F(0)*0.随着时间t的增大.此力F均匀地减小.直到t=T时.F(T)=0.如果开始时质点位于原点.且初速度为零.求这质点的运动规律，解设x=x(t)表示在时刻t时质点的位置.根据牛顿第二定律.质点

37、运动的微分方程为md2X=F(t).dt2由题设.力F(t)随t增大而均匀地减小.且t田时.F(0)/0.所以F(t)=F0kt；又当t=T时.F(T)=0.从而F(t)=Fo(1,).于是质点运动的微分方程又写为d2xFot、m")其初始条件为x|t£=0,知田=0.dt把微分方程两边积分.得dx二包(t-R)G.dtm'2T7M再积分一次.得x=且(；t2-)CitC2.m26T由初始条件xlt=0=0dtg=0得Ci4力.于是所求质点的运动规律为解设x=x(t)表示在时刻t时质点的位置.根据牛顿第二定律.质点运动的微分方程为mx#(t).由题设.F(t)是线性

38、函数.且过点(0.F。)和(T.0).故且之十上=1.即F(t)=F0(1士).FoTT'于是质点运动的微分方程又写为X其初始条件为x|t=0=0x|t=0=0把微分方程两边积分.得x=-0(t-)Cim2T再积分一次.得xEjt2/)C2.m26T由初始条件x1tz0=0xIt=0=0得C1-C2_0.于是所求质点的运动规律为F0x=m二、y"=f(x.y)型的微分方程解法设y'=p则方程化为pf(xp).设pK(x.p)的通解为p«xCM则.(x,Ci).dx原方程的通解为y=-(xC)dxC2.y|xm=1.y'lxmX的特解.例3求微分方程(

39、1+x2y''=2xy'满足初始条件解所给方程是y'T(x.y')型的.设y中.代入方程并分离变量后.有dp2x.-=odx.p1x2两边积分.得2即由条件所以ln|p|=ln(1x)Cp¥4i(1x2)(Ci=eC),y|x=s.得C1=3.y=3(1x2).两边再积分.得y=3y*七2,又由条件ylxN.得C21.于是所求的特解为y=x33x1.例4设有一均匀、柔软的绳索.两端固定.绳索仅受重力的作用而下垂.试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线？三、y-f(yy)型的微分方程解法：设y，中有.也_dPdydpdxdydxPdy'原方程

40、化为dppf(y,p)-dy设方程pduMy,p)的通解为y'书=$yCi).则原方程的通解为dy=xC2例5求微分yy""y'2=0的通解,解设丫'则y"=p要.dy代入方程.得yp乎p2=0.dy在y加、p#0时.约去p并分离变量.得dpdypy'两边积分得ln|p|=ln|y|Inc即p=Cy或y'=Cy(C=±c),再分离变量并两边积分.便得原方程的通解为ln|y|=Cxlnci或y=CieCx(Ci=ci).例6一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向地面，求它落到地面时的速度和所需的时间(不计

41、空气阻力)§12.7高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例1设有一个弹簧.上端固定.下端挂一个质量为m的物体，取x轴铅直向下.并取物体的平衡位置为坐标原点.给物体一个初始速度vo巾后.物体在平衡位置附近作上下振动，在振动过程中.物体的位置x是t的函数：xr(t)，设弹簧的弹性系数为c.则恢复力f=cx,又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比.比例系数为也则dIdxR-dt由牛顿第二定律得-cx一Jdxdtd2xmdt22C移项.并记2n=.k2=-.mm2则上式化为d.x2ndxk2x=0dt2dt这就是在有阻尼的情况下.物体自由振动的微分方程如果振动物体还受到铅直扰力

42、F=Hsinpt的作用.则有d2xdt2k2x=hsinpt其中党.这就是强迫振动的微分方程例2设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路.其中R、L、及C为常数.电源电动势是时间t的函数：E=Emsin就.这里Em及0也是常数.设电路中的电流为i(t).电容器极板上的电量为q(t).两极板间的电压为“.自感电动势为El.由i=dqdt电学知道qdiucEL=-L.cCLdt根据回路电压定律.得E-Ldl-q-Ri-0dtC2即LCd-普RC曲cuc=Emsint.dt2出cmd2Ucdt2或写成10uc=_msin't.0LC其中P=巨.©0=1=,这就是串联电

43、路的振荡方程2LLC如果电容器经充电后撤去外电源(E4),则上述成为,2,duc-duc2.c2c2uc=0.dt2dt0c二阶线性微分方程：二阶线性微分方程的一般形式为yP(x)yQ(x)y=f(x)若方程右端f(x)E0时.方程称为齐次的.否则称为非齐次的二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程y"*(x)y'4Q(x)y=0.gp-dy+P(x)-dy+Q(x)y=0,dx2dx定理1如果函数yi(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y=0,的两个解.那么y=Ciyi(x)C2y2(x)也是方程的解.其中Ci、C2是任意常数,齐次线性方程的这个性质表明它的

44、解符合叠加原理证明CiyiC2y2CiyiC2y2CiyiC2y2CiyiC2y2.因为yi与y2是方程y”卡(x)y'P(x)y=0.所以有yi"中(x)yi'七(x)yi=0及y2"中(x)y2'为(x)y2=0.从而CiyiC2y2P(x)CiyiC2y2Q(x)CiyiC2y2二CiyiP(x)yiQ(x)yiC2y2P(x)y2Q(x)y2=00=0这就证明了y=Ciyi(x)402y2(x)也是方程丫"¥仪»'七a»=0的解函数的线性相关与线性无关设yi(x).y2(x).yn(x)为定义在

45、区间I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数ki.k2.kn.使得当*胃时有恒等式kiyi(x)k2y2(x)二二knyn(x)三0成立.那么称这n个函数在区间I上线性相关；否则称为线性无关，对于两个函数.它们线性相关与否.只要看它们的比是否为常数.如果比为常数.那么它们就线性相关.否则就线性无关,例如,1,cos2x.sin2x在整个数轴上是线性相关的,函数1.x.x2在任何区间(a,b)内是线性无关的定理2如果如果函数yi(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y=0的两个线性无关的解.那么y=Ciyi(x)%2y2(x)(Ci、C2是任意常数)是方程的通解例3验证yi=cosx与y

46、2=sinx是方程丫"勺=0的线性无关解.并写出其通解,解因为yiyi=-cosxcosx=0y2y2-sinx-sinx=0所以yi=cosx与y2=sinx都是方程的解,因为对于任意两个常数ki、k2.要使kicosxk2sinx三0只有ki42力.所以cosx与sinx在(见，依)内是线性无关的,因此yixosx与y2=sinx是方程丫"与力的线性无关解,方程的通解为y=CicosxC2sinx例4验证丫1与y2常是方程(xi)yMy*y=0的线性无关解.并写出其通解,解因为(x-i)yi次yiyi=0-xx=0(xT)y2次y2y2=(xT)ex-xexex=0所以

47、yi=x与y2rx都是方程的解因为比值ex/x不恒为常数.所以yir与y2Px在(-00,收)内是线性无关的.因此yi=x与y2=ex是方程(x-i)yM-xyH4y=0的线性无关解,方程的通解为y=CixC2ex.推论如果yi(x),y2(x),yn(x)是方程y(n)ai(x)y(n,J，an(x)yan(x)y=0的n个线性无关的解.那么.此方程的通解为yCyi(x)C2y2(x)Cnyn(x)其中C1c2'.Cn为任意常数.二阶非齐次线性方程解的结构我们把方程yP(x)yQ(x)y=0叫做与非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程定理3设y*(x)是二阶非齐次线性

48、方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解.Y(x)是对应的齐次方程的通解.那么y(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解证明提示Y(x)y*(x)P(x)Y(x)y*(x)Q(x)Y(x)y*(x)=YP(x)YQ(x)Yy*P(x)y*Q(x)y*力f(x)=f(x).例如.Y=Cicosx4C2Sinx是齐次方程丫"，=0的通解.y*m2-2是y”Wx2的一个特解.因此2-yCcosxC2Sinxx-2是方程y”W42的通解,定理4设非齐次线性微分方程y"用(x)y'HQ(x)y=f(x)的右端f(x)几个函数之和.如yP(x)yQ(x)y$(x)f2

49、(x)而W*(x)与y2*(x)分别是方程y"¥(x)y'七(x)y$(x)与yr*+(x)yr：*Q(x)yf2(x)的特解.那么山*(x)，2*(x)就是原方程的特解，证明提示y1y2*P(x)y1*y2*Q(x)y1*y2*4y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)y2*4l(X)f2(X).国2.8二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程ypyqy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程.其中p、q均为常数.如果yi、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解.那么yViyim2y2就是它的通解我们看看.能否适当选取r.

50、使ywrx满足二阶常系数齐次线性微分方程.为此将ywrx代入方程ypyqy=o得(r2prq)erx-0,由此可见.只要r满足代数方程r2？rp=0.函数ywrx就是微分方程的解.2特征方程：方程r4pKq=O叫做做分方程y",py4qy=0的特征方程,特征方程的两个根门、方可用公式-p二，p2-4qr1,2二求出特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根ri、2时.函数y1=eix、y2=er2X是方程的两个线性无关的解这是因为yQr1x函数y1=eriX、y2=e2X是万程的解.又上二七二心1'12)x不是常数.y2er2X因此方程的通解为y=GdXC2d2

51、X.(2)特征方程有两个相等的实根门勺2时.函数yi=er1X、V2=Xer1X是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为.y1=erix是方程的解.又(xer1x)p(xer1x)q(xer1x)=(2rixri2)erlxp(1xri)eriXqxrex=er1X(2rlp)xeriX(ri2pr1q)=0rix所以y2=xeix也是方程的解.且&="i=x不是常数.yie1因此方程的通解为y=Ger1xC2xer1x,(3)特征方程有一对共轲复根ri,2R±iP时.函数yAB取、y逢(史.是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数y总"c

52、osPx、ywsinPx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数yiw(ce锵/口y2=e(3版都是方程的解.而由欧拉公式.得yi"1)x=ex(cosxisin-x)y2=e(")x=ex(cosx-isinx)x：-v-1yiy2=2ecosxexcosx=/(yy2)x：-v.1,、yi-y2=2ie-sinx.exsinx=27(y1y2).故e°xcosPx、yzwdsinPx也是方程解,可以验证.yi=eacosPx>yzrsinPx是方程的线性无关解,因此方程的通解为y=ex(CicosxC2sinx).求二阶常系数齐次线性微分方程'

53、"y'tyR的通解的步骤为：第一步写出微分方程的特征方程r2prq=0第二步求出特征方程的两个根口、方.第三步根据特征方程的两个根的不同情况.写出微分方程的通解.例i求微分方程yM-2y-3y=0的通解，解所给微分方程的特征方程为r2-2r-34.即(r*)(rT)H,其根、=1120是两个不相等的实根.因此所求通解为x3xy£ieC2e.例2求方程y"42y'HyK满足初始条件y|x也H、卜用一2的特解,解所给方程的特征方程为r242r+1=0.即(r+1)2=0,其根ri=2-1是两个相等的实根.因此所给微分方程的通解为xy=(CiC2x)e.

54、将条件y|xm代入通解.得CiM.从而xy4c2x)e将上式对x求导.得y=(C2-4-C2x)e.再把条件y|x-2代入上式.得C2=2,于是所求特解为xx=(42x)e例3求微分方程yM-2yH45y=0的通解,解所给方程的特征方程为2r-2r5=0.特征方程的根为rii42j.r21-2i.是一对共轲复根.因此所求通解为y=ex(Cicos2cC2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程：方程y(n)piy(n3P2y(n-2)pn/ypny=0.称为n阶常系数齐次线性微分方程.其中Pi,p2.，.pn=.pn都是常数，二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式.可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D.及微分算子的n次多项式：L(D)=DnpiDn4p2Dn“一，pn/Dpn则n阶常系数齐次线性微分方程可记作nn1n2(D4pi